●崔道永(沛縣中學江蘇沛縣221600)

一道“最值”試題的講評歷程與教學啟示

●崔道永(沛縣中學江蘇沛縣221600)

高三數(shù)學一輪復習常以試題為載體，試題可以選取千錘百煉的經(jīng)典試題，也可以選取富有變化的創(chuàng)新試題，但選取的原則都要具有夯實基礎知識、熟練基本技能、貫通基本思想方法的功能，教學中應該挖掘試題本身的價值以提高復習的有效性.最值問題在高考中出現(xiàn)的頻率較高，常常受到命題專家的青睞，現(xiàn)筆者以講解一道最值問題時出現(xiàn)的一個片段為例，談談對高三數(shù)學復習課的一些看法，不當之處望同行指正.

1 試題呈現(xiàn)

例1若實數(shù)x，y滿足x2+y2=2(x+y)，則x+y的最大值為______.

2 教學實錄

師:觀察試題結構，如何處理?

生1:運用基本不等式進行放縮，從而構建關于x+y的不等式?

師:如何構建?

生1:條件x2+y2=2(x+y)可化為(x+y)2－2(x+y)=2xy，運用基本不等式，得

令x+y=t，可得

易得tmax=4.

師:很具體.還有其他思路嗎?

(小組活動，時間5分鐘.)

設計意圖這里通過對試題表征的觀察，讓學生掌握解決此類題目的通性通法(其實通性通法在應試中才是學生致勝的法寶).接著教師又拋出問題“還有其他思路嗎?”促進學生進一步觀察試題.通過小組合作交流、探究問題可以幫助基礎較差的學生查漏補缺，通過合作研究新思路、新解法也可促進并提高學生思維的靈活性與廣闊性.

設計意圖繼續(xù)鞏固平方平均數(shù)與代數(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)的關系，以及基本不等式等重要的不等式模型，加深學生利用這些不等式模型構造不等關系的理解.

師:審視條件x2+y2=2(x+y)，我們能聯(lián)想到什么?看結論x+y的特點再聯(lián)想，我們在什么情況下經(jīng)常碰到?

生3:令x+y=t，可以采取線性規(guī)劃的方法:滿足條件的點(x，y)均在以(1，1)為圓心、為半徑的圓上，而目標函數(shù)可化為y=－x+t，其中t的幾何意義為直線在y軸上的截距，最優(yōu)解就是動直線與圓相切時2個切點中的一個.

生4:x2+y2=2(x+y)可化為

不難求得其最大值為4.

師:生3是從數(shù)形結合的角度研究最值，生4則是從函數(shù)的角度研究最值，很好!但從科學的角度來說，線性規(guī)劃是建立在線性的可行域與線性的目標函數(shù)之上，在這里不能稱“線性規(guī)劃的方法”，而是采用了“線性規(guī)劃的思想”.

(生3、生4板書過程，全體學生查漏補缺，時間5分鐘.)

師:大家能否總結與點評本題的解題思想?

生5:解決最值問題常用的方法有函數(shù)思想、基本不等式、直接或間接建構不等式、數(shù)形結合等，我們還應該注意隱含條件的發(fā)掘與使用.

(學生自主整理1分鐘.)

師:很好!下面看變式練習.

生6:受生3的啟發(fā)，我還有另一種方法:x+ y=t可變形為

代入x2+y2=2(x+y)，得

令判別式Δ=4t2－4×2(t2－2t)≥0，也可求得t的最大值為4.

點評1)對問題的表征能力是學生需要周而復始磨練的主要能力，不僅僅是簡單地對條件與結論的分析，更重要的是不斷地參與和積累;2)教學不是簡單地重復，也不是機械地羅列，分析完一道試題的表征與解法不要直接進行下一題，要給學生留出短暫的時間內(nèi)化(該課中，教師故意留出1分鐘，這可以形成一種習慣，而我們經(jīng)?？吹皆S多教師講完第1題緊接著第2題、第3題，久而久之學生會變成呆板的解題工具而缺乏靈氣);3)讓學生自主探究并總結問題的主要思想方法等核心內(nèi)容，對提升學生的問題遷移能力意義深遠(生5將解決最值問題的方法進行了梳理，本身就是對知識體系的補充與完善);4)教學過程不可操之過急，否則學生會失去自我表現(xiàn)的機會(生6在教師要進入下一環(huán)節(jié)時補充了判別式法，雖然不常用但讓我們眼前為之一亮).因此，不要小看學生的能力，更不要吝惜課堂上看似寶貴的45分鐘，讓學生盡情地發(fā)揮.這樣的課堂容量不一定小!

變式練習已知x＞0，y＞0，且滿足x+3y+ xy=9，求x+3y的最小值.

設計意圖無論是復習課中的鞏固性練習還是試卷講評課中的補救性練習都是深化知識的必要步驟.簡單的就題論題當時有一些作用，但會隨著時間的流逝遺忘殆盡，而變式練習作為加深問題理解的主要形式，不要僅僅局限于簡單的數(shù)字與字母變化，應有一定的梯度且能暴露重點、難點、易錯點，否則就不能刺激學生對問題的二次理解.變式練習的設計可以是正向的也可以是逆向的，甚至可將題目的條件與結論均作適當調(diào)整，只要能反映相似或相關的思想方法即可.

師:觀察本題如何解決? (小組合作交流5分鐘.)生7:x+3y+xy=9可化為

令x+3y=t，得

可求出x+3y的最小值為6.

師:用基本不等式配湊時需要簡單的系數(shù)變換，很好!還有嗎?

師:“三相等”滿足嗎?

生8:應該吧!

師:不能妄加推斷，哪位學生幫幫他?

生10:借鑒生8的解法，還能利用導數(shù)法:令

最小值應該在函數(shù)的極小值點處取得，但生9求變量的范圍不可省略.

(生8、生10通過板演檢驗解法的可行性，時間5分鐘.)

點評通過例1的教學過程，學生基本掌握了求最值的常用方法，收獲了對隱含條件深究的意識，甚至還輕松地發(fā)現(xiàn)了解決超越函數(shù)最值的常用方法——導數(shù).部分學生對該問題的認識比較到位，同時其他學生開闊了視野并拓寬了思路.

生11:作為生7的補充:x+3y+xy=9也可變形為

在“乘積一定”的條件下，如何將x+3y變形，再利用“乘積一定，和最小”呢?

點評將x+3y+xy=9變形為(x+3)(y+ 1)=12屬于逆向思維，該方法難度大，同時將x+ 3y配湊為(x+3)+3(y+1)－6也需要一定的基礎.生11向大家提出的問題是本節(jié)課的一次質(zhì)的飛躍，他代替教師進行了提問、啟發(fā)、點撥，最終使問題得以圓滿解決.

3 教學啟示

3.1 教學中教師的角色應該發(fā)生轉(zhuǎn)變

“如何提高數(shù)學教學的實效”對每一個數(shù)學教育工作者來說都是永恒的話題.隨著課改的實施，數(shù)學教學的方式方法發(fā)生了翻天覆地的變化，以適應時代對高中學生越來越嚴格的知識與能力要求.通過以“學生為主體，教師為主導”為指導方針的自主學習方式進行知識建構，能逐步幫助學生內(nèi)化知識、提高能力、提升素養(yǎng)，同時也必然會成為切合實際的有效教學方式.

2013年，江蘇省徐州市教育局以政府行為在全市各中小學大力推進“學進去，講出來”的教學模式(簡稱“學講方式”)，取得了有目共睹的實效，其意義就是加大學生活動的自主性，要求學生積極參與到活動中來，通過小組合作交流不僅自己學會而且能講給別人聽.有專家認為最高層次的教學是教師不講(如果受學生基礎等因素的制約一時做不到也應該少講而不是越俎代庖)，只有將時間還給學生，通過不斷地邊學邊講必然會使他們由“學會”走向“會學”.

本節(jié)課的教學片段源于高三基本不等式的專題復習，在此之前學生對最值問題已經(jīng)有了整體的認知基礎.在這里，教師僅僅扮演引路人的角色，同時不同層次的學生均得到進步的快樂.由此可見，將課堂還給學生并通過師生、生生之間的提問、交流，不僅可以加深對問題的理解，還可以培養(yǎng)學生思維的深刻性、靈活性、廣闊性、批判性.

一道例題及一道變式練習在傳統(tǒng)式的教學框架下估計10分針就可以完成，而本節(jié)課學生活動則花去了大半時間，很多教師認為這樣會耽誤教學進度，但仔細回想，活動性強的課或許更有意義.記得多年前的一次經(jīng)歷:期中考試前一天模擬試卷評講的一道原題在第二天的期中考試中出現(xiàn)了，而該題的得分率遠遠低出預期的估計.這說明傳統(tǒng)、機械的“教師講、學生聽”在一定程度上效率不高，相反看似費時費力的活動課效率也不一定低，因為后者學生通過自己動手、動腦后有真真切切的收獲.當然這里讓課堂慢下來不是消極地慢也不是機械地等待，而是教師要把功夫花在研究上，使課堂更有活力.

3.2 高三復習選擇的試題應以點帶面——認真選取“骨架題”

低檔題、中檔題及難題在高考中的比例為4∶4∶2，由此可見80%的內(nèi)容為難度不大的基礎知識.如何掌握這些知識并融會貫通?在高三復習的過程中，或許學生應該用大量時間反復錘煉試題，但教師不得不思考一個問題:很多高三學生在經(jīng)歷高一、高二及高三的一輪、二輪、三輪甚至更多輪的復習不知做了多少套模擬、全真試題;經(jīng)歷了多少次調(diào)研、質(zhì)檢考試;用了多少本參考書，試題做了不下幾萬道，但在20多道高考試題面前還是顯得力不從心，為什么功夫與效果不成正比?為什么量變沒有引起質(zhì)變?我們是否夸大了題海戰(zhàn)術的作用?減負增效的出路何在?

在典型試題的框架下挖掘試題的價值并通過反復的打磨加工，通過少量的試題讓學習變得有意義更輕松，選取“骨架題”越來越成為大家的共識.所謂骨架題就是那些與骨架內(nèi)容(重要概念、公式)相關的試題，選取骨架題難度不一定要大，只要它們能客觀地反映問題解決的內(nèi)容、思想、方法即可，這一學習的目的在于把握整體的骨架.其實，很多課本上的試題都可作為骨架題的素材，課程標準對基礎題就有略高于課本甚至來源于課本的要求.

本文的例1及它的變式練習反映了解決最值問題幾乎所有的方法，即:函數(shù)思想、不等式、數(shù)形結合，不僅鞏固了之前復習過的簡單函數(shù)的最值、導數(shù)、線性規(guī)劃等內(nèi)容，還加深了對基本不等式及重要不等式的認知，在高三后期復習中意義更重要.為此，教師可以編制為數(shù)不多的幾道試題，還可以選取簡單的填空、判斷、選擇題等，不必拘泥于形式，讓學生感覺負擔不重、有意義、對高考更有指向性，長期堅持可以使學生對知識的來龍去脈更清晰，對問題解決的思想方法認識更透徹，對問題的表征能力、遷移能力更強化.

意大利經(jīng)濟學家巴萊多發(fā)現(xiàn)了著名的“二八定律”，其內(nèi)容是:任何事物中最重要的、起決定性的只占20%，其余的80%卻是次要的、非決定性的.數(shù)學教學應重視那寶貴的20%有決定性的骨架內(nèi)容，骨架題可以將骨架內(nèi)容串聯(lián)起來，這樣可以真正避免過度教學，實現(xiàn)減負增效.

3.3 形成機制，長效滾動

艾賓浩斯遺忘曲線告訴我們:隨著時間的流逝，記憶也呈現(xiàn)有規(guī)律的變化趨勢.因此，數(shù)學教學需要一種長效的機制不斷地刺激學生的思維，而滾動練習就是效果明顯的教學策略之一.所謂滾動練習，就是在正常的教學計劃的基礎上，每過一個時間段進行復習、提高的訓練.現(xiàn)在的高三復習往往都是一個專題接一個專題，到考試時來一個突擊復習，很多教師抱怨學生把講過的內(nèi)容還給了自己.如果能做到有效設計滾動練習，那么學生不至于只記住剛講過的內(nèi)容.

1)在下一專題復習時，不斷注意與上一個或幾個專題的聯(lián)系，給學生留有足夠的時間探究問題的不同解法，不僅可以發(fā)現(xiàn)新知，更重要的是還能鞏固舊知.通過一題多變、一題多解、多題一解，最終實現(xiàn)多題歸一并形成網(wǎng)絡.

2)高三的數(shù)學復習緊張而有節(jié)奏，很多內(nèi)容高考的要求很簡單，但要靠學生不斷地練習形成感覺，針對這些內(nèi)容采取長效滾動也會提高教學的效率.如果在學習的過程中按階段不停地有規(guī)律地進行數(shù)量不多、難度不大的專題滾動練習，再經(jīng)歷系統(tǒng)復習的磨練，這些問題可能已不再是問題，也將為高考打下更堅實的基礎.