●楊蒼洲(泉州市第五中學福建泉州362000)
一類數(shù)列與導數(shù)壓軸試題命題手法揭秘
●楊蒼洲(泉州市第五中學福建泉州362000)
再次研究2011年湖南省數(shù)學高考理科壓軸試題,解完該試題,一直感覺意猶未盡.筆者思考:此類試題是如何命制的呢?洞悉命題手法是否有助于解題呢?借助此命題手法,是否可以依法炮制出相同類型的試題呢?
例1已知函數(shù)f(x)=x3,
1)求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的零點個數(shù),并說明理由;
2)設數(shù)列{an}(其中n∈N*)滿足a1=a(其中a>0),f(an+1)=g(an),證明:存在常數(shù)M,使得對于任意的n∈N*,都有an≤M.
(2011年湖南省數(shù)學高考理科試題)
讓我們結(jié)合函數(shù)的圖像來探究問題的本原.
首先作出函數(shù)f(x)=x3,的圖像(如圖1所示).從圖1我們可以看出,當x≥0時,函數(shù)f(x)與g(x)有2個交點,其中一個橫坐標為0,另一個記為x0.因此,h(x)=f(x)-g(x)的零點有2個,其中一個為0,另一個為x0.
問題1)的編制正是基于上述事實.
圖1
圖2
如圖2,當a1=a∈(0,x0),過點A1(a1,g(a1))作y軸的垂線,交函數(shù)f(x)的圖像于點B1(a2,f(a2)),顯然g(a1)=f(a2);過點B1作x軸的垂線,交函數(shù)g(x)的圖像于點A2(a2,g(a2)),再過點A2作y軸的垂線,交函數(shù)f(x)的圖像于點B2(a3,f(a3)),顯然g(a2)=f(a3)……按照此規(guī)律依次作圖,從圖2可以看出,滿足條件f(an+1)=g(an)的數(shù)列{an}單調(diào)遞增,且an∈(0,x0).同理,當a1=a∈[x0,+∞)時,可結(jié)合圖像構造出滿足條件f(an+1)=g(an)的數(shù)列{an},且{an}單調(diào)遞減,an∈(x0,a].因此,存在常數(shù)M= max{x0,a},使得對于任意的n∈N*,都有an≤M.
問題2)的編制源于上述圖像所呈現(xiàn)的數(shù)列規(guī)律.
在問題1)的求解過程中,大部分解題者采用了下述方法:
當x∈(0,+∞)時,h″(x)>0,因此h'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則h'(x)在(0,+∞)內(nèi)至多只有1個零點.又因為h'(1)>0,,則內(nèi)有零點,所以h'(x)在(0,+∞)內(nèi)有且只有1個零點.記此零點為x1,則當x∈(0,x1)時,h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,而h(0)=0,從而h(x)在(0,x1]內(nèi)無零點;當x∈(x1,+∞)時,h(x)單調(diào)遞增,又因為
所以h(x)在(x1,+∞)內(nèi)有且只有1個零點.
綜上所述,h(x)有且只有2個零點.
上述解法相對繁瑣.其實,在問題1)的探究過程中,若能結(jié)合函數(shù)圖像,則能觀察出:函數(shù)h(x)的零點有2個,其中一個為0,另一個為x0>0.因為,記,所以只需證明φ(x)有且只有1個零點.又因為,當x∈(0,+∞)時,φ'(x)> 0,所以φ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.由
知φ(x)在(0,+∞)內(nèi)有且只有1個零點.
綜上所述,h(x)有且只有2個零點.
由于問題2)的抽象性與交匯性,使得試題的難度陡然增大,大部分學生的探究活動無法繼續(xù).實際上,若能洞悉命題者的命題手法,居高臨下地審視試題,則能預知所求數(shù)列{an}應滿足:當a1= a∈(0,x0)時,{an}單調(diào)遞增,且an∈(0,x0);當a1=a∈[x0,+∞)時,{an}單調(diào)遞減,且an∈(x0, a](其中x0為函數(shù)h(x)的正零點,即.因此,問題2)的求解需分2類情況進行討論.
由此猜測:當a<x0時,an<x0.下面用數(shù)學歸納法證明:
①當n=1時,a1<x0顯然成立.
②假設當n=k(其中k≥1)時,有ak<x0成立,則當n=k+1時,
從而ak+1<x0.故對任意的n∈N*,an<x0成立.
同理可猜測:當a≥x0時,an≤a.下面用數(shù)學歸納法進行證明:
①當n=1時,a1≤a顯然成立.
②假設當n=k(其中k≥1)時,有ak≤a成立,則當n=k+1時,
由第1)小題知,h(x)在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,得
得ak+1≤a.故對任意的n∈N*,an≤a成立.
綜上所述,存在常數(shù)M=max{x0,a},使得對于任意的n∈N*,都有an≤M成立.
學習了上述命題手法,筆者嘗試進行試題命制,經(jīng)過努力,得題如下:
例2已知函數(shù)f(x)=ln(x+1).
1)求函數(shù)f(x)在x=0處的切線方程;
2)設數(shù)列{an}(其中n∈N*)滿足an+1= f(an),證明:數(shù)列{|an|}(其中n∈N*)單調(diào)遞減.
分析1)略;
2)若a1>0,下用數(shù)學歸納法證:an>0.
①當n=1時,a1>0.
②設當n=k時,ak>0.又因為ak+1=f(ak)= ln(ak+1),所以ak+1>0.
由①②可得,對于任意n∈N*,an>0.此時|an|=an,于是
令g(x)=ln(x+1)-x(其中x>0),則
從而g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,于是
即當x>0時,ln(x+1)<x.又an>0,因此
從而數(shù)列{|an|}(其中n∈N*)單調(diào)遞減.同理可證,當a1<0時,數(shù)列{|an|}(其中n∈N*)單調(diào)遞減.
綜上所述,數(shù)列{|an|}(其中n∈N*)單調(diào)遞減.
例3已知函數(shù)f(x)=ex,g(x)=cx+1.
1)若函數(shù)f(x)的圖像恒在函數(shù)g(x)的圖像的上方,求k的值.
2)當c=2,設數(shù)列{an}(其中n∈N*)滿足f(an+1)=g(an).試問是否存在常數(shù)M∈(1,2),當a1∈(0,M)時,恒有an∈(0,M)(其中n∈N*).若存在,請寫出M滿足的關系式;若不存在,請說明理由.
分析1)略;
2)存在滿足題意的實數(shù)M,實數(shù)M應滿足
先證方程(1)有且僅有1個解.令h(x)=ex-(2x+1),則
當x∈(1,2)時,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.又因為h(1)=e-3<0,h(2)=e2-5>0,所以h(x)在(1,2)有且只有1個零點,即存在唯一實數(shù)M∈(1,2)使得方程(1)成立.
下用數(shù)學歸納法證明:當eM=2M+1,a1∈(0,M)時,恒有an∈(0,M)(其中n∈N*).
①當n=1時,a1∈(0,M).
②設當n=k時,ak∈(0,M).因為f(ak+1)= g(ak),所以eak+1=2ak+1.又ak∈(0,M),從而
即eak+1∈(1,eM),因此ak+1∈(0,M).
由①②可得,當a1∈(0,M)時,恒有an∈(0,M)(其中n∈N*).