●楊蒼洲(泉州市第五中學福建泉州362000)

一類數(shù)列與導數(shù)壓軸試題命題手法揭秘

●楊蒼洲(泉州市第五中學福建泉州362000)

再次研究2011年湖南省數(shù)學高考理科壓軸試題，解完該試題，一直感覺意猶未盡.筆者思考:此類試題是如何命制的呢?洞悉命題手法是否有助于解題呢?借助此命題手法，是否可以依法炮制出相同類型的試題呢?

1 命題手法探究

例1已知函數(shù)f(x)=x3，

1)求函數(shù)h(x)=f(x)－g(x)的零點個數(shù)，并說明理由;

2)設數(shù)列{an}(其中n∈N*)滿足a1=a(其中a＞0)，f(an+1)=g(an)，證明:存在常數(shù)M，使得對于任意的n∈N*，都有an≤M.

(2011年湖南省數(shù)學高考理科試題)

讓我們結(jié)合函數(shù)的圖像來探究問題的本原.

首先作出函數(shù)f(x)=x3，的圖像(如圖1所示).從圖1我們可以看出，當x≥0時，函數(shù)f(x)與g(x)有2個交點，其中一個橫坐標為0，另一個記為x0.因此，h(x)=f(x)－g(x)的零點有2個，其中一個為0，另一個為x0.

問題1)的編制正是基于上述事實.

圖1

圖2

如圖2，當a1=a∈(0，x0)，過點A1(a1，g(a1))作y軸的垂線，交函數(shù)f(x)的圖像于點B1(a2，f(a2))，顯然g(a1)=f(a2);過點B1作x軸的垂線，交函數(shù)g(x)的圖像于點A2(a2，g(a2))，再過點A2作y軸的垂線，交函數(shù)f(x)的圖像于點B2(a3，f(a3))，顯然g(a2)=f(a3)……按照此規(guī)律依次作圖，從圖2可以看出，滿足條件f(an+1)=g(an)的數(shù)列{an}單調(diào)遞增，且an∈(0，x0).同理，當a1=a∈［x0，+∞)時，可結(jié)合圖像構造出滿足條件f(an+1)=g(an)的數(shù)列{an}，且{an}單調(diào)遞減，an∈(x0，a］.因此，存在常數(shù)M= max{x0，a}，使得對于任意的n∈N*，都有an≤M.

問題2)的編制源于上述圖像所呈現(xiàn)的數(shù)列規(guī)律.

2 命題手法對解題的啟示

在問題1)的求解過程中，大部分解題者采用了下述方法:

當x∈(0，+∞)時，h″(x)＞0，因此h'(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，則h'(x)在(0，+∞)內(nèi)至多只有1個零點.又因為h'(1)＞0，，則內(nèi)有零點，所以h'(x)在(0，+∞)內(nèi)有且只有1個零點.記此零點為x1，則當x∈(0，x1)時，h'(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減，而h(0)=0，從而h(x)在(0，x1］內(nèi)無零點;當x∈(x1，+∞)時，h(x)單調(diào)遞增，又因為

所以h(x)在(x1，+∞)內(nèi)有且只有1個零點.

綜上所述，h(x)有且只有2個零點.

上述解法相對繁瑣.其實，在問題1)的探究過程中，若能結(jié)合函數(shù)圖像，則能觀察出:函數(shù)h(x)的零點有2個，其中一個為0，另一個為x0＞0.因為，記，所以只需證明φ(x)有且只有1個零點.又因為，當x∈(0，+∞)時，φ'(x)＞ 0，所以φ(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增.由

知φ(x)在(0，+∞)內(nèi)有且只有1個零點.

綜上所述，h(x)有且只有2個零點.

由于問題2)的抽象性與交匯性，使得試題的難度陡然增大，大部分學生的探究活動無法繼續(xù).實際上，若能洞悉命題者的命題手法，居高臨下地審視試題，則能預知所求數(shù)列{an}應滿足:當a1= a∈(0，x0)時，{an}單調(diào)遞增，且an∈(0，x0);當a1=a∈［x0，+∞)時，{an}單調(diào)遞減，且an∈(x0， a］(其中x0為函數(shù)h(x)的正零點，即.因此，問題2)的求解需分2類情況進行討論.

由此猜測:當a＜x0時，an＜x0.下面用數(shù)學歸納法證明:

①當n=1時，a1＜x0顯然成立.

②假設當n=k(其中k≥1)時，有ak＜x0成立，則當n=k+1時，

從而ak+1＜x0.故對任意的n∈N*，an＜x0成立.

同理可猜測:當a≥x0時，an≤a.下面用數(shù)學歸納法進行證明:

①當n=1時，a1≤a顯然成立.

②假設當n=k(其中k≥1)時，有ak≤a成立，則當n=k+1時，

由第1)小題知，h(x)在(x0，+∞)上單調(diào)遞增，得

得ak+1≤a.故對任意的n∈N*，an≤a成立.

綜上所述，存在常數(shù)M=max{x0，a}，使得對于任意的n∈N*，都有an≤M成立.

3 基于此手法的試題命制

學習了上述命題手法，筆者嘗試進行試題命制，經(jīng)過努力，得題如下:

例2已知函數(shù)f(x)=ln(x+1).

1)求函數(shù)f(x)在x=0處的切線方程;

2)設數(shù)列{an}(其中n∈N*)滿足an+1= f(an)，證明:數(shù)列{|an|}(其中n∈N*)單調(diào)遞減.

分析1)略;

2)若a1＞0，下用數(shù)學歸納法證:an＞0.

①當n=1時，a1＞0.

②設當n=k時，ak＞0.又因為ak+1=f(ak)= ln(ak+1)，所以ak+1＞0.

由①②可得，對于任意n∈N*，an＞0.此時|an|=an，于是

令g(x)=ln(x+1)－x(其中x＞0)，則

從而g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，于是

即當x＞0時，ln(x+1)＜x.又an＞0，因此

從而數(shù)列{|an|}(其中n∈N*)單調(diào)遞減.同理可證，當a1＜0時，數(shù)列{|an|}(其中n∈N*)單調(diào)遞減.

綜上所述，數(shù)列{|an|}(其中n∈N*)單調(diào)遞減.

例3已知函數(shù)f(x)=ex，g(x)=cx+1.

1)若函數(shù)f(x)的圖像恒在函數(shù)g(x)的圖像的上方，求k的值.

2)當c=2，設數(shù)列{an}(其中n∈N*)滿足f(an+1)=g(an).試問是否存在常數(shù)M∈(1，2)，當a1∈(0，M)時，恒有an∈(0，M)(其中n∈N*).若存在，請寫出M滿足的關系式;若不存在，請說明理由.

分析1)略;

2)存在滿足題意的實數(shù)M，實數(shù)M應滿足

先證方程(1)有且僅有1個解.令h(x)=ex－(2x+1)，則

當x∈(1，2)時，h'(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增.又因為h(1)=e－3＜0，h(2)=e2－5＞0，所以h(x)在(1，2)有且只有1個零點，即存在唯一實數(shù)M∈(1，2)使得方程(1)成立.

下用數(shù)學歸納法證明:當eM=2M+1，a1∈(0，M)時，恒有an∈(0，M)(其中n∈N*).

①當n=1時，a1∈(0，M).

②設當n=k時，ak∈(0，M).因為f(ak+1)= g(ak)，所以eak+1=2ak+1.又ak∈(0，M)，從而

即eak+1∈(1，eM)，因此ak+1∈(0，M).

由①②可得，當a1∈(0，M)時，恒有an∈(0，M)(其中n∈N*).