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        對數(shù)學(xué)高考一題多空填空題命制的探討

        2015-04-05 02:07:20曹鳳山余杭高級中學(xué)浙江杭州311100
        關(guān)鍵詞:填空題考試題一題

        ●曹鳳山(余杭高級中學(xué)浙江杭州311100)

        對數(shù)學(xué)高考一題多空填空題命制的探討

        ●曹鳳山(余杭高級中學(xué)浙江杭州311100)

        填空題被稱為數(shù)學(xué)高考命題的“試驗田”,其命題形式、內(nèi)容等方面都處在不斷變革和完善之中,一題多空是命題技術(shù)創(chuàng)新的形式之一.2004年北京市數(shù)學(xué)高考試卷中開始出現(xiàn)一題兩空,一些省市(如湖南、湖北、廣東、天津等)相繼引入這種題型.

        1 一題多空是對填空題題型功能的進一步優(yōu)化與完善

        填空題通過提供一個不完整的敘述,讓考生根據(jù)要求填寫空缺的部分(定量或者定性),形成一個正確的命題,填寫內(nèi)容可以是條件,也可以是結(jié)論,命題形式比較靈活,主要考查基本概念、基本技能.

        填空題與選擇題同屬客觀題,題型的特點與功能都很突出.如試題形式簡潔,考查針對性強、單題立意鮮明;評分客觀、快捷,定量化的試題還可以考慮計算機輔助閱卷;單題知識點有效控制,一組試題又有比較理想的知識覆蓋率等.

        相比選擇題,填空題沒有備選項,既沒有提示,又避免了干擾,能更真實地反映學(xué)生的客觀水平,顯示出這種題型在考查雙基方面的優(yōu)勢.相對于解答題,由于不顯示解題步驟,沒有過程分,一筆失誤與根本不會的結(jié)果沒有任何區(qū)別,填空題也成為考生最頭疼的題型之一,得分率相對較低,區(qū)分度也受到一定影響.另外,一題一空的填空形式,命題時考查的知識點數(shù)量與考查深度必須嚴格控制,如求解的過程宜短,不宜超過3步,否則難以保證信度,也勢必降低區(qū)分度.一題多空形式在發(fā)揮一題一空題型優(yōu)勢的同時,設(shè)立“中間站”,體現(xiàn)局部結(jié)果,部分彌補了填空題的不足:一方面可以增加考查內(nèi)容,擴大知識覆蓋面,一個主題下分解成2個(或者更多)答題點,考查更多的雙基,考生可以更加“知無不言”,避免沒有步驟造成考生一筆寫錯,整體失分,更真實地反映客觀水平;另一方面,對于難度較大的試題,一些學(xué)生“分步得分”,體現(xiàn)考生之間的差異,在送出一定分數(shù)的基礎(chǔ)上,提高一些試題的考查深度,既豐富了命題形式,又可以提高試卷的區(qū)分度,從而更好地完成高考在人才選拔中的任務(wù).

        2 一題多空填空題的數(shù)量、試題位置及評分標準豐富了試卷模式

        整卷整體在布局,單題重在立意.由于沒有選擇項提示,在解法上,填空題直接求解較多,一些間接方法的使用遠不如選擇題有效、準確,解題速度明顯低于選擇題.在一張試卷中填空題的數(shù)量要充分考慮考生的實際,合理安排,使用太多會給考生造成心理負擔,使用過少則不能顯示其在調(diào)整區(qū)分度、體現(xiàn)選拔等方面的作用.

        續(xù)表1

        從表1可以看出:各省市使用一題多空(基本都是一題兩空)試題的數(shù)量都不一樣,同一省市不同年份的試卷中試題數(shù)量也有區(qū)別;從試題位置來看,同樣不固定,根據(jù)選材、內(nèi)容等特點,靈活擺放其位置,命題人一般根據(jù)素材的類型和難度預(yù)設(shè)、預(yù)估,按照難度次序從易到難排列,有些與一題一空混合排列,有些則集中出現(xiàn),沒有固定次序.試卷模式每年都可能有變化,打破“八股”模式,靈活構(gòu)筑令人耳目一新的高考試卷.

        從評分的角度看,一題多空豐富了評分模式.如一些省份一道一題兩空(共5分)的選擇題,根據(jù)試題難度、考查目的、功能定位等,可以前空2分后空3分,或者前空3分后空2分,或者只對一空得2分、2空都對得5分,更客觀地體現(xiàn)了“按勞取酬、優(yōu)工優(yōu)酬、體現(xiàn)側(cè)重”的原則.

        3 一題多空填空題的設(shè)計示例

        在一題一空填空題的基礎(chǔ)上,一題多空試題設(shè)計形式更加多樣.根據(jù)不同的分類標準分為不同的類型,當然,這些分類不是絕對的,沒有絕對的零點、分界線.

        3.1 從考查目的看

        可以分為概念型、計算型、推理型以及閱讀理解型等.概念型填空題,一般是通過實例檢測學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解是否正確,一題多空可以在一個主干知識下考查幾個相關(guān)的知識點,使主干知識的考查更加突出,避免蜻蜓點水式的點到為止.同樣,計算型填空題通過一些運算,檢測對算理、公式、性質(zhì)的理解和運算的準確性,一題多空可以有簡單的計算,也可以有一定程度的推演與算理考查;推理型填空題主要通過推理能力的訓(xùn)練與考查,檢測學(xué)生是否熟練掌握推理能力,是否熟練掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)基本性質(zhì),一題多空一般前特殊后一般,步步推進;閱讀理解型又稱新定義問題,通過給出的材料“命題作文”,一題多空可以更真實地反映考生的閱讀理解以及進一步學(xué)習的潛能.

        例1已知雙曲線的離心率為2,焦點與橢圓的焦點相同,那么雙曲線的焦點坐標為______,漸近線方程為______.

        (2010年北京市數(shù)學(xué)高考試題第13題)

        分析本題屬概念型問題.主要考查雙曲線離心率、焦點、漸近線、橢圓的焦點等基本概念,基本沒有計算量,體現(xiàn)“會即對”的特點.雙曲線焦點即為橢圓焦點,不難算出焦點坐標為(±4,0),又雙曲線的離心率為2,即,c=4,故a=2,,漸近線方程為

        類題再現(xiàn)從某小學(xué)隨機抽取100名學(xué)生,將他們的身高(單位:厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖1所示).由圖1中的數(shù)據(jù)可知a= ______.若要從身高在[120,130),[130,140),[140,150]這3組內(nèi)的學(xué)生中,用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動,則從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為______(答案:0.030,3).

        圖1

        (2010年北京市數(shù)學(xué)高考試題第11題)

        例2設(shè)f(x)是定義在(0,+∞)上的函數(shù),且f(x)>0.對任意a>0,b>0,若經(jīng)過點(a,f(a)),(b,-f(b))的直線與x軸的交點為(c,0),則稱c為a,b關(guān)于函數(shù)f(x)的平均數(shù),記為Mf(a,b).例如,當f(x)=1(其中x>0)時,可得,即Mf(a,b)為a,b的算術(shù)平均數(shù).

        1)當f(x)=______(其中x>0)時,Mf(a,b)為a,b的幾何平均數(shù);

        2)當f(x)=______(其中x>0)時,Mf(a,b)為a,b的調(diào)和平均數(shù)

        (以上2空各只需寫出1個符合要求的函數(shù)即可.)

        (2014年湖北省數(shù)學(xué)高考試題第14題)

        分析本題屬于閱讀理解型(新定義),這類問題常出現(xiàn)教材中沒有學(xué)過的一些概念、運算、符號,要求考生讀懂題意并結(jié)合已有的知識加以理解,根據(jù)新定義進行運算、推理.閱讀理解型問題一般文字敘述較長,信息量較大,各種關(guān)系錯綜復(fù)雜,考查的知識也靈活多樣,既考查學(xué)生的閱讀能力,又考查學(xué)生的解題能力等.如果一題一空則顯得題干大而無當,利用率太低,一題兩空可以充分顯示考生的理解深度.

        本題中,定義了c為a,b關(guān)于函數(shù)f(x)的平均數(shù),實際上本題還考查了直線的相關(guān)知識.同時,試題結(jié)論呈現(xiàn)開放性,考生可以根據(jù)自己的理解與熟練程度選擇不同的函數(shù)形式.過點(a,f(a)),(b,-f(b))的直線的方程為

        類題再現(xiàn)回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù).如22,121,3 443,94 249等.顯然2位回文數(shù)有9個:11,22,33,…,99,3位回文數(shù)有90個:101,111,121,…,191,202,…,999,則

        1)4位回文數(shù)有______個;

        2)2n+1(n∈N+)位回文數(shù)有______個.

        (答案:90,9×10n.)

        (2012年湖北省數(shù)學(xué)高考試題第13題)

        例3已知離散型隨機變量X的分布列如圖2所示.若EX=1,DX=1,則a= ______,b =______.

        圖2

        (2009年廣東省數(shù)學(xué)高考試題第12題)

        分析本題屬于計算型問題.主要考查利用離散型隨機變量的分布列、方差、數(shù)學(xué)期望的相應(yīng)公式與性質(zhì),通過建立方程組,求解方程組解決問題,顯示了一個完整的問題形式.由題意知

        (2011年北京市數(shù)學(xué)高考試題第11題)

        例4如圖3放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動.設(shè)頂點P(x,y)的軌跡方程是y=f(x),則f(x)的最小正周期為______;y=f(x)在其2個相鄰零點間的圖像與x軸所圍區(qū)域的面積為______.

        圖3

        (2010年北京市數(shù)學(xué)高考試題第14題)

        說明“正方形PABC沿x軸滾動”包括沿x軸正方向和沿x軸負方向滾動.沿x軸正方向滾動指的是先以頂點A為中心順時針旋轉(zhuǎn),當頂點B落在x軸上時,再以頂點B為中心順時針旋轉(zhuǎn),如此繼續(xù).類似地,正方形PABC可以沿x軸負方向滾動.

        分析本題屬于探索型問題.探索型問題可以是條件探索型,也可以是結(jié)論探索型,或者存在型.與閱讀理解問題類似,一題多空有利于題目設(shè)計的完整性、考查的深刻性.

        不難想象,從某一個頂點(比如點A)落在x軸上時開始計算,到下一次點A落在x軸上,這個過程中4個頂點依次落在了x軸上,而每2個頂點間距離為正方形的邊長1,因此該函數(shù)的周期為4.

        下面考察點P的運動軌跡.不妨考察正方形向右滾動,點P從x軸上開始運動的時候,首先是圍繞點A運動(軌跡是一個圓),該圓半徑為1;然后以點B為中心,滾動到點C落地,期間是以BP為半徑,旋轉(zhuǎn)90°;然后以點C為圓心,再旋轉(zhuǎn)90°,這時候的圓以CP為半徑,因此最終構(gòu)成圖像如圖4所示:

        圖4

        因此不難算出這塊區(qū)域的面積為π+1.

        類題再現(xiàn)設(shè)N=2n(其中n∈N*,n≥2),將N個數(shù)x1,x2,…,xN依次放入編號為1,2,…,N的N個位置,得到排列P0=x1x2…xN.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出,并按原順序依次放入對應(yīng)的前個位置,得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN,將此操作稱為C變換,將P1分成2段,每段個數(shù),并對每段作C變換,得到P2;當 2≤i≤n-2時,將Pi分成2i段,每段個數(shù),并對每段作C變換,得到Pi+1.例如,當N=8時,P2= x1x5x3x7x2x6x4x8,此時x7位于P2中的第4個位置.

        1)當N=16時,x7位于P2中的第______個位置;

        2)當N=2n(其中n≥8)時,x173位于P4中的第______個位置.

        (答案:6,3×2n-4+11.)

        (2012年湖南省數(shù)學(xué)高考試題第16題)

        3.2 從層次結(jié)構(gòu)看

        可以分為并列型、遞進型.并列型的多空問題之間知識內(nèi)容、思維層次沒有前后關(guān)系,各自獨立求解,只是增加考查知識的覆蓋面;遞進型,前一空的解決是后一空解決的必需,第1空的解決為第2空作鋪墊,難度拾階而上,既有區(qū)分度又讓一些學(xué)生得到部分分數(shù).

        例5如圖5,雙曲線(其中a>0, b>0)的2個頂點為A1,A2,虛軸2個端點為B1,B2,2個焦點為F1,F(xiàn)2.若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2,切點分別為A,B,C,D,則

        圖5

        1)雙曲線的離心率e= ______;

        2)菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值=______.

        (2012年湖北省數(shù)學(xué)高考試題第14題)

        分析本題屬于遞進型問題.主要考查雙曲線中離心率及實軸虛軸的相關(guān)定義,以及一般平面幾何圖形的面積計算.其中,第2空的解決要依靠第1空的結(jié)果.

        1)由于以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2,因此點O到直線F2B2的距離為a,又由于虛軸2個端點為B1,B2,因此OB2的長為b.在△F2OB2中,由三角形的面積公式知

        又c2=a2+b2,聯(lián)立可得

        2)設(shè)∠F2OB2=θ,顯然∠F2A2O=∠AOB2=θ,因此

        在△F2OB2中,求得

        菱形F1B1F2B2的面積S1=2bc,再根據(jù)第1)小題中求得的e值可以得出

        類題再現(xiàn)橢圓的焦點為F1,F(xiàn)2,點P在橢圓上,若|PF1|=4,則|PF2|=______;∠F1PF2的大小為______(答案:2,120°).

        (2009年北京市數(shù)學(xué)高考試題第12題)

        例6已知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點,則的值為______的最大值為______.

        圖6

        (2012年北京市數(shù)學(xué)高考試題第13題)

        分析本題屬于并列型問題,2個問題同一題干,前后沒有因果關(guān)系,可以獨自求解,難度上一般是依次遞增.根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式

        類題再現(xiàn)已知數(shù)列{an}滿足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an(其中n∈N*),則a2009= ______,a2014=______(答案:1,0).

        (2009年北京市數(shù)學(xué)高考試題第14題)

        對于一題多空填空題的求解,與一題一空類似,主要是采用直接推演,即由因?qū)Чǎ墙馓羁疹}的基本方法.根據(jù)填空題的題設(shè)條件,通過定義、公理、定理、公式等經(jīng)過計算、變形、分析、推理或判斷,得出正確的結(jié)論.只是一題多空要注意前后填寫內(nèi)容之間的邏輯關(guān)系,采取分步得分、跳步得分、階梯得分等策略,當然,在一定條件下,也要注意特殊化方法、數(shù)形結(jié)合方法等特殊解法的運用.

        [1]教育部考試中心.高考數(shù)學(xué)測量理論與實踐[M].北京:高等教育出版社,2005.

        [2]曹鳳山,趙冬梅.高考數(shù)學(xué)試題是如何考查繼續(xù)學(xué)習潛能的[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:上旬,2011(11):45-48.

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