張 奇 張笑笑（.遼寧師范大學(xué) 心理學(xué)院，遼寧 大連 6029；2.北京師范大學(xué) 心理學(xué)院，北京 00875）

●實證研究：數(shù)學(xué)認(rèn)知與學(xué)習(xí)專題研究

數(shù)學(xué)運算規(guī)則的樣例學(xué)習(xí)：實驗研究與理論探索

張 奇1張笑笑2*
（1.遼寧師范大學(xué) 心理學(xué)院，遼寧 大連 116029；2.北京師范大學(xué) 心理學(xué)院，北京 100875）

特約主持人：陳英和

主持人簡介：陳英和，北京師范大學(xué)心理學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師，中國心理學(xué)會教育心理學(xué)專業(yè)委員會主任。

主持人話語：數(shù)學(xué)認(rèn)知能力是一個人智力的重要體現(xiàn)，反映了一個人的抽象邏輯思維能力，個體的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程一直是心理學(xué)界及其研究者關(guān)注的重點。2014年10月，在全國心理學(xué)學(xué)術(shù)大會上，教育心理學(xué)專業(yè)委員會組織了“數(shù)學(xué)認(rèn)知與學(xué)習(xí)”的專題論壇，介紹了數(shù)學(xué)認(rèn)知領(lǐng)域的最新研究進展?；诖?，特選三篇相關(guān)研究報告組成“數(shù)學(xué)認(rèn)知與學(xué)習(xí)專題”推薦給《蘇州大學(xué)學(xué)報（教育科學(xué)版）》發(fā)表，以展示我國數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域的最新研究成果，反映我國數(shù)學(xué)認(rèn)知與學(xué)習(xí)領(lǐng)域的最新研究進展。《數(shù)學(xué)運算規(guī)則的樣例學(xué)習(xí)：實驗研究與理論探索》以樣例學(xué)習(xí)理論為基礎(chǔ)，提出了數(shù)學(xué)運算樣例中新算符及新規(guī)則設(shè)計的“解釋法”“轉(zhuǎn)換標(biāo)記法”和“解釋—標(biāo)記法”，并在數(shù)學(xué)運算規(guī)則的樣例學(xué)習(xí)實驗中證實了這些樣例設(shè)計方法的優(yōu)越性，為數(shù)學(xué)教育實踐提供了實證依據(jù)?！肚榫硨Υ髮W(xué)生解決文字應(yīng)用題的影響：來自眼動的證據(jù)》采用眼動指標(biāo)，更全面地考察了情境對應(yīng)用題解決的影響，彌補了行為數(shù)據(jù)的不足，結(jié)果發(fā)現(xiàn)熟練解題者在解決問題時，仍需要構(gòu)建情境模型，這為數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)提供了理論指導(dǎo)?！恫呗砸庾R對初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略的影響：策略情感的中介效應(yīng)》考察了策略意識和策略情感對初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略的影響，揭示了情感態(tài)度在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，結(jié)果提示在數(shù)學(xué)教育中不應(yīng)忽視學(xué)生的態(tài)度和情感。

在樣例學(xué)習(xí)研究領(lǐng)域，作者著眼于規(guī)則的樣例學(xué)習(xí)研究，尤其是對數(shù)學(xué)運算規(guī)則的樣例學(xué)習(xí)做了一系列的實驗研究和理論探索。最初的實驗研究在小學(xué)生四則混合運算規(guī)則和“去括號”運算規(guī)則的實驗中取得了預(yù)期結(jié)果。但在小學(xué)生代數(shù)運算規(guī)則的樣例學(xué)習(xí)實驗研究中卻遇到了問題。經(jīng)過對問題原因的深入分析，提出了數(shù)學(xué)運算樣例中新算符及新規(guī)則設(shè)計的“解釋法”“轉(zhuǎn)換標(biāo)記法”和“解釋—標(biāo)記法”，并在指數(shù)與對數(shù)轉(zhuǎn)換規(guī)則和對數(shù)運算規(guī)則以及分?jǐn)?shù)和比例運算規(guī)則的樣例學(xué)習(xí)實驗中證實了這些樣例設(shè)計方法的優(yōu)越性。根據(jù)上述實驗研究，作者對樣例學(xué)習(xí)的性質(zhì)、樣例學(xué)習(xí)理論的建構(gòu)等理論問題以及樣例學(xué)習(xí)如何兼顧學(xué)生個體差異等教學(xué)實踐問題作出了明確的回答。

運算規(guī)則；樣例學(xué)習(xí)；新算符；解釋法；轉(zhuǎn)換標(biāo)記法；解釋—標(biāo)記法

一、引言：樣例學(xué)習(xí)研究的簡要回顧

（一）樣例學(xué)習(xí)研究的源起

問題解決技能的培訓(xùn)，尤其是科學(xué)與數(shù)學(xué)領(lǐng)域問題解決技能的培訓(xùn)，早在20世紀(jì)初就引起教育家和心理學(xué)家們的關(guān)注。［1］有關(guān)專家與新手的能力差異研究表明，單純讓學(xué)生進行問題解決的練習(xí)，不一定符合問題解決技能形成的一般規(guī)律。有些研究發(fā)現(xiàn)，專家與新手在棋局復(fù)盤成績上的差異、采用策略解決問題上的差異，以及在問題分類上的差異主要是因為專家擁有相關(guān)領(lǐng)域的知識結(jié)構(gòu)，而新手沒有形成相應(yīng)的知識結(jié)構(gòu)或圖式。［2-4］因此，Anderson提出了“程序性知識的習(xí)得應(yīng)該從陳述性知識的學(xué)習(xí)開始”［5］的觀點。

由于單純的問題解決訓(xùn)練不利于問題解決圖式的獲得，學(xué)者們開始關(guān)注如何通過問題解決的樣例學(xué)習(xí)，來提高學(xué)生的問題解決技能。一些研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生可以通過樣例的學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)并運用規(guī)則來解決類似的問題。［6-8］而且，與單純的問題解決練習(xí)相比，樣例學(xué)習(xí)能夠減輕學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，有助于規(guī)則的學(xué)習(xí)和問題解決圖式的獲得。［9］Sweller等人還對選擇、呈現(xiàn)和排列樣例的順序等進行了實驗研究，并提出了認(rèn)知負(fù)荷理論。這些研究使“樣例學(xué)習(xí)”成為一個備受心理和教育學(xué)者們關(guān)注的研究領(lǐng)域。

（二）樣例學(xué)習(xí)早期實驗研究所關(guān)注的問題

樣例學(xué)習(xí)的早期實驗研究關(guān)注的研究課題是樣例內(nèi)特征、樣例間特征和“自我解釋”對樣例學(xué)習(xí)效果的影響。

樣例內(nèi)特征是單個樣例的信息結(jié)構(gòu)特征。整合樣例中的各種信息，能夠促進并提高樣例學(xué)習(xí)的效果。［10］需要整合的信息包括：文本與圖示信息的整合、視覺與聽覺信息的整合以及對解題步驟加上子目標(biāo)編碼。

樣例中既有圖形又有文字，例如，在幾何證明例題中，既有幾何圖形（即圖示信息）又有文字證明（即文本信息）。如果兩者過于分散，就會耗費學(xué)生的注意力、降低樣例學(xué)習(xí)的效率。有人稱這種現(xiàn)象為“分散注意效應(yīng)”。［11］避免分散注意效應(yīng)的方法就是將文本信息整合到圖示信息中。［12-16］

有人認(rèn)為，工作記憶的視、聽通道是相對獨立的。［17］許多研究發(fā)現(xiàn)，同時采用視、聽兩個通道加工信息其效果好于單通道加工信息的效果。［18-20］這種現(xiàn)象稱為“通道效應(yīng)”。［21-22］有學(xué)者以中學(xué)生為被試，以幾何證明題為樣例材料進行了實驗研究。實驗設(shè)計了三種樣例：一種是視覺呈現(xiàn)幾何圖形和證明過程（即“視—視”）；另一種是視覺呈現(xiàn)幾何圖形、聽覺呈現(xiàn)證明過程（即“視—聽”）；第三種是視覺呈現(xiàn)幾何圖形，并以視、聽兩種形式呈現(xiàn)證明過程（即“視—視—聽”）。實驗結(jié)果表明，第一種樣例的學(xué)習(xí)效果最差。［23］后來，有人又創(chuàng)設(shè)了“視—視—視覺提示”呈現(xiàn)的樣例，即利用一個“視覺提示”（即一個閃爍的光標(biāo)）將被試的注意力集中在幾何圖形與證明過程上。結(jié)果表明，該種樣例的學(xué)習(xí)效果顯著好于前者。［24］

Catrambone等人提出“子目標(biāo)編碼”的樣例設(shè)計方法來克服學(xué)生在樣例學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的分散注意效應(yīng)。［25-26］子目標(biāo)編碼是使用一種“標(biāo)記”，提醒學(xué)生著重注意樣例中解決問題的子目標(biāo)。［27］有研究發(fā)現(xiàn)，有標(biāo)記的樣例比無標(biāo)記的樣例明顯地提高了學(xué)習(xí)成績。［28］國內(nèi)學(xué)者對子目標(biāo)編碼在解決新問題中的作用進行了研究，結(jié)果顯示，采用子目標(biāo)編碼的解題步驟有利于學(xué)生消除由于表面概貌及對應(yīng)變化所帶來的消極影響，并能夠促進原理的理解和概化圖式的獲得。［29］

樣例間特征研究所考慮的主要問題是多重樣例的數(shù)量、多重樣例之間的變異及樣例與練習(xí)的結(jié)合方式。

樣例既有表面特征又有結(jié)構(gòu)特征。樣例的表面特征是由樣例中的具體事物或內(nèi)容所決定的特征；而樣例的結(jié)構(gòu)特征則是直接關(guān)系到問題解決規(guī)則的選擇和運用，并直接影響問題能否獲得解決的內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征。［30-31］多重樣例之間的變異性是指樣例之間的各種不同。其中，既有表面特征的不同也有結(jié)構(gòu)特征的不同。國內(nèi)學(xué)者在研究中發(fā)現(xiàn)，多重樣例的變異和自我解釋雖然對近遷移成績影響不大，卻能明顯提高遠遷移成績。［32］還有研究發(fā)現(xiàn)，二重樣例表面特征的變異對初學(xué)者近遷移成績的提高有明顯的促進作用，但對提高遠遷移成績的促進作用不明顯。而結(jié)構(gòu)特征的變異卻能明顯提高被試的遠遷移成績。［33］

Chi及同事較早對樣例學(xué)習(xí)的個體差異進行了研究。他們發(fā)現(xiàn)，被試在樣例學(xué)習(xí)過程中，如果能夠發(fā)現(xiàn)自己的知識中存在“缺口”，就會嘗試提出解釋“缺口”的一個暫時性假設(shè)，并結(jié)合樣例的后續(xù)學(xué)習(xí)來檢驗自己所提出的假設(shè)。Chi將這種現(xiàn)象稱為“自我解釋”效應(yīng)。［34］很多學(xué)者進行了自我解釋效應(yīng)的實驗研究，并關(guān)注對學(xué)生進行自我解釋的訓(xùn)練。一些研究取得了明顯的實驗結(jié)果和訓(xùn)練效果。［35-37］

（三）樣例學(xué)習(xí)的理論

在樣例學(xué)習(xí)實驗研究的過程中，有學(xué)者借鑒概念樣例學(xué)習(xí)的理論，提出了樣例學(xué)習(xí)的相似性理論和解釋性理論。相似性理論用對多個相似樣例進行分析、綜合、抽象和概括得出規(guī)則來解釋樣例學(xué)習(xí)。［38］解釋性理論則用對一個或幾個樣例的自我解釋而領(lǐng)悟規(guī)則來說明樣例學(xué)習(xí)過程。

后來，Anderson等人根據(jù)ACT-R理論，提出了四階段模型來描述認(rèn)知技能的習(xí)得過程。該理論模型將問題解決技能的習(xí)得過程劃分為緊密聯(lián)系且相互重疊的四個階段，即問題類比解決階段、規(guī)則提取階段、程序性規(guī)則形成階段和樣例儲存階段。［38］

上世紀(jì)后期，Sweller又提出了與樣例學(xué)習(xí)和樣例設(shè)計密切相關(guān)的認(rèn)知負(fù)荷理論。該理論以工作記憶認(rèn)知資源總量的有限性為基本前提，并明確指出學(xué)習(xí)任何知識或進行任何信息加工都要占用工作記憶的有限認(rèn)知資源，即產(chǎn)生認(rèn)知負(fù)荷。所以，認(rèn)知負(fù)荷就是學(xué)習(xí)知識或加工信息所需要的認(rèn)知資源總量。［40］如果某種知識的學(xué)習(xí)所需要的認(rèn)知資源超過了學(xué)生的認(rèn)知資源總量，就會出現(xiàn)“認(rèn)知的超負(fù)荷”，從而降低學(xué)習(xí)效果或使學(xué)習(xí)中斷。

Paas等人還將認(rèn)知負(fù)荷劃分為內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷、外在認(rèn)知負(fù)荷和相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷三種。［41］內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷是由知識內(nèi)容本身的復(fù)雜程度所引起的認(rèn)知負(fù)荷。內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷的高低取決于所學(xué)知識內(nèi)容的復(fù)雜程度和學(xué)生已有的知識水平。［42-43］外在認(rèn)知負(fù)荷則是由學(xué)習(xí)材料的組織形式和呈現(xiàn)方式不當(dāng)所引起的干擾信息加工的效率和效果，影響知識獲得的認(rèn)知負(fù)荷。［44-47］一般來說，教學(xué)信息越是模糊不清、傳遞不暢，學(xué)習(xí)材料越分散，學(xué)習(xí)活動方式越復(fù)雜，所引起的外在認(rèn)知負(fù)荷就越大。因此，樣例設(shè)計就是要盡量減少外在認(rèn)知負(fù)荷，使學(xué)生把認(rèn)知資源盡可能多地用到學(xué)習(xí)知識內(nèi)容上，從而提高學(xué)習(xí)效果。

相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷是為了幫助學(xué)生更有效地加工知識信息所人為增加的外在認(rèn)知負(fù)荷。它雖然增加了學(xué)生的外在認(rèn)知負(fù)荷，但由于它能降低學(xué)習(xí)難度并減少內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷，所以，它對學(xué)習(xí)有利。樣例設(shè)計的主要任務(wù)就是通過增加有效的相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷，降低學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷，進而達到削減學(xué)習(xí)難度、提高學(xué)習(xí)效果的目的。

（四）樣例學(xué)習(xí)研究的新進展

近年來，樣例學(xué)習(xí)的研究有新的進展，主要表現(xiàn)為三點。一是樣例學(xué)習(xí)所應(yīng)用的學(xué)科領(lǐng)域和學(xué)習(xí)功能不斷擴大，應(yīng)用的范圍已經(jīng)由原來的數(shù)學(xué)、物理學(xué)等少數(shù)學(xué)科擴展到化學(xué)、醫(yī)療、寫作、藝術(shù)等諸多學(xué)科領(lǐng)域。樣例學(xué)習(xí)的功能也由原來的問題解決能力訓(xùn)練擴展到學(xué)習(xí)策略、教學(xué)策略、人際交往策略等策略學(xué)習(xí)和各種操作、運動技能訓(xùn)練等諸多實踐領(lǐng)域。二是樣例類型的劃分維度越來越多，由原來比較單一維度的劃分發(fā)展為多維度的樣例劃分，相繼出現(xiàn)了正確樣例與錯誤樣例的劃分和組合、單內(nèi)容樣例與雙內(nèi)容樣例以及多內(nèi)容樣例的劃分與運用、動態(tài)樣例與靜態(tài)樣例的劃分與利用等等。三是樣例學(xué)習(xí)的理論有所增加，班杜拉的社會學(xué)習(xí)理論也被納入到樣例學(xué)習(xí)理論的范疇。

二、小學(xué)生數(shù)學(xué)運算規(guī)則樣例學(xué)習(xí)的實驗研究

在諸多樣例學(xué)習(xí)研究中，我們所關(guān)注的是如何設(shè)計樣例，使學(xué)生經(jīng)過樣例的學(xué)習(xí)，領(lǐng)悟和學(xué)會運用隱含在其中的原理或規(guī)則（以下統(tǒng)稱為“規(guī)則”）。由此，我們首先開展了小學(xué)生數(shù)學(xué)運算規(guī)則樣例學(xué)習(xí)的實驗研究。

（一）二年級小學(xué)生四則混合運算規(guī)則樣例學(xué)習(xí)的實驗研究

1.研究問題

小學(xué)生能否經(jīng)過數(shù)學(xué)運算樣例的學(xué)習(xí)，領(lǐng)悟并學(xué)會運用隱含在樣例中的新的運算規(guī)則呢？這是我們的實驗要考察的首要問題。其次要考察的是“子目標(biāo)編碼”在運算樣例設(shè)計上的運用是否會提高樣例學(xué)習(xí)的效果。

2.研究方法

以二年級小學(xué)生為被試選擇群體。因為他們學(xué)習(xí)了整數(shù)的加減法運算和乘法口訣內(nèi)的乘除法運算，但是還沒有學(xué)習(xí)四則混合運算。以整數(shù)的四則混合運算樣例為實驗材料（即讓被試學(xué)習(xí)的樣例學(xué)習(xí)材料）。因為，四則混合運算規(guī)則對于這些被試來說是還沒有學(xué)習(xí)的新運算規(guī)則。為了防止個別二年級小學(xué)生已經(jīng)了解了四則混合運算規(guī)則，用“前測”篩選那些不會作四則混合運算測題的學(xué)生為正式實驗的被試。為了進一步考察“子目標(biāo)編碼”在運算樣例上的運用是否會提高樣例學(xué)習(xí)的效果，設(shè)計了“有運算標(biāo)記”和“沒有運算標(biāo)記”的兩種四則混合運算的樣例。兩種運算樣例除了有、無運算標(biāo)記之外，其他都相同。將篩選出的被試隨機分為兩組。實驗時，一個組被試學(xué)習(xí)有運算標(biāo)記的樣例，即“有標(biāo)記”組；另一組被試學(xué)習(xí)無運算標(biāo)記的樣例，即“無標(biāo)記”組。四則混合運算規(guī)則有3個子規(guī)則：（1）有小括號算式的運算規(guī)則；（2）有大、中、小括號算式的運算規(guī)則；（3）沒有任何括號算式的運算規(guī)則。為了考察二年級小學(xué)生學(xué)習(xí)三個子規(guī)則的難易程度和所需樣例的數(shù)量，實驗采用運算樣例和練習(xí)題“交替呈現(xiàn)”的方式。

3.實驗結(jié)果

主要的統(tǒng)計分析結(jié)果如下：

（1）有、無標(biāo)記組的被試學(xué)習(xí)“無括號”運算規(guī)則的通過率分別是62.5％和20.8％；學(xué)習(xí)“中括號”運算規(guī)則的通過率分別是91.7％和75％；學(xué)習(xí)“小括號”運算規(guī)則的通過率分別是91.7％和95.8％。

統(tǒng)計分析結(jié)果表明，大多數(shù)被試可以經(jīng)過樣例學(xué)習(xí)掌握“小括號”和“中括號”運算規(guī)則，但多數(shù)被試較難掌握“無括號”運算規(guī)則。

（2）從學(xué)習(xí)“無括號”規(guī)則的通過率來看，“有標(biāo)記”組被試分別經(jīng)過1至3個樣例學(xué)習(xí)的通過率顯著高于“無標(biāo)記”組（Z=3.719，p＜0.001；Z=2.015，p＜0.05；Z=5.233，p＜0.001）。

從學(xué)習(xí)“小括號”規(guī)則的通過率來看，“有標(biāo)記”組與無標(biāo)記組的通過率之間無顯著差異（Z=0.799，p＞0.05；Z=1.202，p＞0.05）。

用1個樣例學(xué)會“中括號”規(guī)則的，“有標(biāo)記”組被試的通過率顯著高于“無標(biāo)記”組（Z=4.375，p＜0.001）；而分別用2、3個樣例學(xué)會的，有、無標(biāo)記組之間無顯著差異（Z=1.083，p＞0.05；Z=0.858，p＞0.01）。也就是說，運算標(biāo)記對學(xué)習(xí)“無括號”和“中括號”運算規(guī)則有明顯促進作用，但對學(xué)習(xí)“小括號”規(guī)則促進作用不顯著。原因是“小括號”運算規(guī)則顯而易學(xué)，沒有運算標(biāo)記也可以學(xué)會。

（3）分析結(jié)果還表明，學(xué)習(xí)不同子規(guī)則所需要的樣例數(shù)量不同。在有標(biāo)記情況下，用1個樣例就可以學(xué)會“小括號”和“中括號”運算規(guī)則。而要學(xué)會“無括號”運算規(guī)則，至少需要3個樣例。在無標(biāo)記情況下，用1個樣例可以學(xué)會“小括號”運算規(guī)則；用1到2個樣例可以學(xué)會“中括號”規(guī)則；用3到4個樣例才能學(xué)會“無括號”規(guī)則。［48］

4.研究結(jié)論

實驗研究表明二年級小學(xué)生可以通過運算樣例的學(xué)習(xí)，不同程度地掌握并運用四則混合運算規(guī)則。運算標(biāo)記對樣例學(xué)習(xí)起到了明顯的促進作用。樣例學(xué)習(xí)所需要的樣例數(shù)量與子規(guī)則學(xué)習(xí)的難易程度有關(guān)。

（二）三至五年級小學(xué)生“去括號”運算規(guī)則樣例學(xué)習(xí)的實驗研究

1.研究問題

雖然二年級小學(xué)生可以經(jīng)過運算樣例的學(xué)習(xí)，掌握四則混合運算規(guī)則?？墒牵W(xué)生是否可以經(jīng)過其他運算樣例的學(xué)習(xí)，掌握其他運算規(guī)則呢？為了回答這個問題，我們以有理數(shù)加、減法運算的樣例為實驗材料，考察三至五年級小學(xué)生可否經(jīng)過樣例學(xué)習(xí)，掌握有理數(shù)加、減法運算規(guī)則（即“去括號”規(guī)則）。

2.實驗方法

實驗之所以選擇學(xué)習(xí)“去括號”運算規(guī)則，是因為我們在深入小學(xué)進行實驗研究的過程中發(fā)現(xiàn)，多數(shù)三年級小學(xué)生已經(jīng)有了負(fù)數(shù)的概念。選擇三至五年級的小學(xué)生為被試，是想考察小學(xué)生樣例學(xué)習(xí)能力的發(fā)展情況。“去括號”規(guī)則有4個子規(guī)則，每個子規(guī)則設(shè)計兩個運算樣例。所以，讓被試學(xué)習(xí)的共有8個去括號運算樣例。它們隨機排成兩列，要求被試在學(xué)習(xí)樣例時，將自己認(rèn)為是同類子規(guī)則的兩個運算樣例用直線連接在一起。這樣做的目的是考察分類作業(yè)成績與樣例學(xué)習(xí)成績的相關(guān)程度。

3.實驗結(jié)果

統(tǒng)計結(jié)果顯示：（1）四個子規(guī)則測驗成績的年級差異均顯著［F（2，267）=36.074，p＜0.001；F（2，267）=56.282，p＜0.001；F（2，267）=23.153，p＜0.001；F（2，267）=17.732，p＜0.001］。事后分析結(jié)果顯示，各年級之間的差異均顯著（p＜0.05）。（2）被試分類作業(yè)成績與后測成績有顯著的正相關(guān)（r=0.535，p＜0.01）。［49］

4.研究結(jié)論

三年級以上的小學(xué)生可以經(jīng)過運算樣例的學(xué)習(xí)，學(xué)會運用“去括號”運算規(guī)則。這種樣例學(xué)習(xí)的能力隨年級的增長而提高。樣例分類作業(yè)與樣例學(xué)習(xí)成績有顯著的正相關(guān)。

（三）六年級小學(xué)生因式分解運算規(guī)則樣例學(xué)習(xí)的實驗研究

1.研究問題

小學(xué)生是否可以經(jīng)過兩種因式分解代數(shù)運算樣例的學(xué)習(xí)，掌握因式分解運算規(guī)則呢？這是本實驗要考察的主要問題。其次要考察完整樣例與不完整樣例的學(xué)習(xí)效果。還要考察在各種不完整樣例的學(xué)習(xí)過程中，有、無反饋對學(xué)習(xí)效果的影響。

2.實驗方法

以六年級小學(xué)生為被試。樣例學(xué)習(xí)材料是運算步驟完整和不完整的“完全平方和”和“平方差”因式分解代數(shù)運算樣例。實驗程序是先用“前測”篩選被試并將其隨機分配到完整樣例學(xué)習(xí)組和各個不完整樣例學(xué)習(xí)組，不完整樣例的各個組又分為“有反饋”的學(xué)習(xí)組和“無反饋”的學(xué)習(xí)組。然后分組進行樣例學(xué)習(xí)。最后進行遠、近遷移測驗。

3.實驗結(jié)果

實驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析的主要結(jié)果如下：

（1）近遷移測驗的通過率表明，學(xué)會“平方差”因式分解的人數(shù)極少（χ2=67.222，p＜0.001）；學(xué)會與沒學(xué)會“完全平方和”的人數(shù)之間差異不顯著（χ2=1.422，p＞0.05）。遠遷移測驗的通過率顯示，學(xué)會“平方差”和“完全平方和”因式分解運算的人數(shù)都極少（χ2=160.556，p＜0.001；χ2=160.556，p＜0.001）。近遷移測驗通過率之間的差異分析表明，學(xué)習(xí)“平方差”的通過率分別低于或顯著低于學(xué)習(xí)“完全平方和”的通過率。遠遷移測驗通過率之間的差異分析表明，各組學(xué)習(xí)“平方差”與學(xué)習(xí)“完全平方和”的通過率之間均無顯著差異。

（2）有、無反饋的各種不完整樣例學(xué)習(xí)組遷移測驗通過率之間的差異檢驗結(jié)果表明，在近遷移測驗的通過率上，反饋對步驟刪除少的樣例學(xué)習(xí)效果有顯著促進，但對步驟刪除較多的樣例無顯著促進；而在遠遷移測驗上，反饋對學(xué)習(xí)的促進作用均不顯著。

（3）在有反饋的條件下，用4種不完整樣例學(xué)習(xí)“平方差”和“完全平方和”的通過率差異都顯著（ps＜0.01或p＜0.05）。在無反饋的條件下，用刪除首步和首尾步樣例學(xué)習(xí)“平方差”與學(xué)習(xí)“完全平方和”的通過率之間差異不顯著（ps＞0.05），用刪除中間步和首中步樣例學(xué)習(xí)“平方差”與學(xué)習(xí)“完全平方和”的通過率差異顯著（ps＜0.05）。分析結(jié)果表明，用不完整樣例學(xué)習(xí)“平方差”因式分解運算規(guī)則效果較差，用不完整樣例學(xué)習(xí)“完全平方和”運算規(guī)則的效果較好。

（4）通過完整樣例（完整樣例的學(xué)習(xí)無反饋）與有反饋的各種不完整樣例學(xué)習(xí)兩種因式分解運算規(guī)則的非參數(shù)檢驗結(jié)果顯示：完整和4種不完整樣例學(xué)會“平方差”因式分解規(guī)則的人數(shù)之間差異顯著（χ2=11.756，p＜0.05）；學(xué)會“完全平方和”因式分解規(guī)則的人數(shù)之間差異顯著（χ2=10.873，p＜0.05）。［50］

4.研究結(jié)論

六年級小學(xué)生不論學(xué)習(xí)完整的或不完整的“平方差”和“完全平方和”因式分解運算樣例，多數(shù)被試很難學(xué)會因式分解運算規(guī)則，其原因值得深入探究。

三、小學(xué)生代數(shù)運算規(guī)則樣例學(xué)習(xí)中遇到的問題與理論思考

上述三個實驗結(jié)果表明，小學(xué)生可以通過運算樣例的學(xué)習(xí)掌握算術(shù)運算規(guī)則，卻很難學(xué)會代數(shù)運算規(guī)則。難道小學(xué)生只能用運算樣例學(xué)習(xí)算術(shù)運算規(guī)則，而不能學(xué)習(xí)代數(shù)運算規(guī)則嗎？回答當(dāng)然是否定的。究竟是什么原因?qū)е滦W(xué)生不能用運算樣例學(xué)習(xí)代數(shù)運算規(guī)則呢？

（一）促進“關(guān)鍵步驟”學(xué)習(xí)的樣例設(shè)計方法的提出

經(jīng)過對比分析和思考，我們發(fā)現(xiàn)，對于代數(shù)運算樣例，被試并不是每個運算步驟都看不懂，只有個別步驟看不懂，從而導(dǎo)致整個樣例學(xué)習(xí)的失敗。因此，我們把被試看不懂的運算步驟稱為樣例學(xué)習(xí)的“關(guān)鍵步驟”并提出一種檢測“關(guān)鍵步驟”的方法——“補寫法”，即給被試呈現(xiàn)刪除一個運算步驟的代數(shù)運算樣例，并要求被試在學(xué)習(xí)時，根據(jù)上下運算步驟的聯(lián)系將缺失的步驟補寫出來。如果被試能夠正確補寫出來，則該步驟就不是關(guān)鍵步驟；如果被試不能補寫或補寫錯誤，則可判定該步驟為“關(guān)鍵步驟”。

為了解決運算樣例中關(guān)鍵步驟的學(xué)習(xí)問題，我們還提出了“解釋”“分解”和“整合”三種化解關(guān)鍵步驟學(xué)習(xí)難度的樣例設(shè)計方法。我們分別用解釋法設(shè)計了絕對值不等式運算樣例、用分解法設(shè)計了同底數(shù)冪數(shù)字運算樣例、用整合法設(shè)計了求解一元二次方程的數(shù)字運算樣例，并分別與對應(yīng)的普通樣例（即“原樣例”）進行了對比實驗研究。實驗結(jié)果表明3種方法設(shè)計的運算樣例的學(xué)習(xí)遷移成績均明顯優(yōu)于各自對應(yīng)的普通樣例的學(xué)習(xí)遷移成績。［51］

（二）促進“新算符”學(xué)習(xí)的樣例設(shè)計新方法的提出

“關(guān)鍵步驟”概念的提出以及化解關(guān)鍵步驟學(xué)習(xí)難度的三種樣例設(shè)計方法的運用雖然收到了顯著的效果?？墒沁@三種方法設(shè)計的運算樣例都是算術(shù)運算樣例，而不是代數(shù)運算樣例。究竟是什么原因?qū)е滦W(xué)生不能用運算樣例學(xué)習(xí)代數(shù)運算規(guī)則的問題仍然沒有得到回答和解決。經(jīng)過一段時間的分析和思考之后，我們有了新的發(fā)現(xiàn)。我們注意到代數(shù)運算符號與算術(shù)運算符號有一些明顯的不同之處。算術(shù)的乘法算式在被乘數(shù)和乘數(shù)之間有個乘法運算符號“×”，例如“2乘以5”，寫作“2×5”。可是代數(shù)乘法運算卻沒有任何算符，例如“a乘以b”，寫作“ab”。六年級小學(xué)生之所以難以用代數(shù)運算樣例學(xué)習(xí)“平方差”和“完全平方和”的代數(shù)運算規(guī)則，主要因為他們不理解代數(shù)運算符號的運算含義。這些代數(shù)運算符號對于沒有代數(shù)知識的小學(xué)生來說，屬于新的運算符號（以下簡稱為“新算符”）。在代數(shù)運算中有很多運算符號，例如log，ln，sin，cos，∑，等等。如果想讓學(xué)生經(jīng)過代數(shù)運算樣例的學(xué)習(xí)來掌握新的代數(shù)運算規(guī)則，那么，他們在代數(shù)運算樣例中就難免會遇到這樣的新算符。學(xué)生不理解這些新算符的運算含義，就很難通過運算樣例的學(xué)習(xí)，掌握新的運算規(guī)則。

如何在運算樣例中幫助學(xué)生理解新算符的運算含義呢？方法當(dāng)然很多。例如，可以用前面提出的“文字解釋法”，即在新算符旁邊加上文字解釋或說明。還可以像van Gog等人設(shè)計“以過程為導(dǎo)向的樣例”（process-oriented worked examples）那樣，將新算符的運算含義、原理和運用策略等知識用語言文字解釋得清清楚楚。［52］其實，這兩種方法和其他帶有指導(dǎo)性解釋的樣例設(shè)計方法如出一轍，都是在運算樣例中附加文字解釋?？墒?，這樣的運算樣例雖然容易學(xué)，卻如同聽教師的講解一樣，降低了樣例學(xué)習(xí)的難度和作用。

經(jīng)過對數(shù)學(xué)運算規(guī)則的邏輯分析，我們清楚地認(rèn)識到，所有的數(shù)學(xué)運算規(guī)則之間都有邏輯聯(lián)系。我們完全可以根據(jù)這種邏輯聯(lián)系，用被試已經(jīng)熟知的運算規(guī)則解釋新算符的運算含義。如果小學(xué)生學(xué)習(xí)了算術(shù)的加減乘除運算，但還沒有學(xué)習(xí)代數(shù)運算，也不理解“ab”和“a2”的運算含義，我們就可以設(shè)計諸如“ab=a×b”，“a2=a×a”的運算樣例，讓他們學(xué)習(xí)。他們學(xué)習(xí)了這樣的運算樣例后，就可以理解“ab”和“a2”的運算含義了。我們將這種新算符的樣例設(shè)計方法仍然稱為“解釋法”。為了區(qū)別于前面提出過的解釋法，將前一種解釋法稱為“文字解釋法”；后一種可稱為“算式解釋法”（以下簡稱為“解釋法”）。這種解釋法與前面提出的文字解釋法相比，既實現(xiàn)了簡捷明快的數(shù)學(xué)運算樣例設(shè)計，突出了數(shù)學(xué)語言的運用，又減少了樣例學(xué)習(xí)的相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷并對新算符的運算含義作出了準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)解釋。

除了用解釋法設(shè)計運算樣例中的新算符外，我們還開發(fā)出“轉(zhuǎn)換標(biāo)記法”和“解釋—標(biāo)記法”兩種新算符的樣例設(shè)計方法。所謂“轉(zhuǎn)換標(biāo)記法”，就是用連線標(biāo)記轉(zhuǎn)換運算前后變量的對應(yīng)關(guān)系，以此幫助學(xué)生理解轉(zhuǎn)換運算的數(shù)學(xué)含義。例如，指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)換運算就可以運用轉(zhuǎn)換標(biāo)記法來設(shè)計運算樣例。我們在下面介紹的實驗研究中驗證了這種設(shè)計方法的優(yōu)越性?！敖忉尅獦?biāo)記法”是解釋法與標(biāo)記法的結(jié)合，即對運算樣例中起解釋作用的算式加上不同的顏色（如紅色），目的是引起學(xué)生的關(guān)注和思考，提高解釋的效率和效果。這些方法的有效性和優(yōu)越性也在下面介紹的實驗研究中得到證實。

四、“轉(zhuǎn)換標(biāo)記法”“解釋法”和“解釋—標(biāo)記法”的運用及實驗結(jié)果

（一）指數(shù)與對數(shù)轉(zhuǎn)換運算規(guī)則樣例學(xué)習(xí)的實驗研究

1.實驗?zāi)康?/p>

主要考察學(xué)習(xí)用“轉(zhuǎn)換標(biāo)記法”設(shè)計的樣例，其學(xué)習(xí)的效果是否優(yōu)于學(xué)習(xí)無標(biāo)記樣例的效果。其次考察樣例學(xué)習(xí)的數(shù)量對學(xué)習(xí)遷移效果的影響。

2.實驗方法

（1）被試的選取。經(jīng)過“前測”從初三學(xué)生中選出男女生各60名，共120名被試。隨機分為4組，每組男女生各半共30人。第一和第二組學(xué)習(xí)有“轉(zhuǎn)換標(biāo)記標(biāo)記”的樣例（第一組學(xué)習(xí)其中的3個樣例，第二組學(xué)習(xí)6個樣例）。第三、四組學(xué)習(xí)無“轉(zhuǎn)換標(biāo)記標(biāo)記”的樣例（第三組學(xué)習(xí)其中的3個樣例，第四組學(xué)習(xí)6個樣例）。

（2）實驗是2（樣例類型）×2（樣例數(shù)量）被試間隨機分組實驗設(shè)計。樣例類型分為有、無轉(zhuǎn)換標(biāo)記的兩種。有轉(zhuǎn)換標(biāo)記的用紅色虛線箭頭標(biāo)示出指數(shù)與對數(shù)轉(zhuǎn)換前后的對應(yīng)關(guān)系。樣例的數(shù)量分兩種：一種是3個樣例；另一種是6個樣例。以樣例學(xué)習(xí)后的遷移測驗成績作為因變量。

（3）實驗材料中的“前測”材料由指數(shù)計算和對數(shù)運算各6道題組成。樣例學(xué)習(xí)材料分為有、無轉(zhuǎn)換標(biāo)記的兩種。每種樣例學(xué)習(xí)分為3個樣例和6個樣例各兩組。遷移測驗材料由6道“指—對數(shù)”轉(zhuǎn)換運算題組成。近遷移測題是3道指數(shù)向?qū)?shù)轉(zhuǎn)換的題目；遠遷移測題是3道對數(shù)轉(zhuǎn)換為指數(shù)的題目。每作對一道遷移測題計1分，遠、近遷移測驗成績滿分各是3分。

3.實驗結(jié)果

統(tǒng)計分析結(jié)果表明，學(xué)習(xí)兩種樣例的近遷移成績差異顯著［F（1，116）=400.00，p＜0.05］，但學(xué)習(xí)兩種數(shù)量樣例的近遷移成績差異不顯著（F（1，116）=1.00，p＞0.05）；樣例數(shù)量與類型的交互作用差異不顯著［F（1，116）=0.03，p＞0.05］。學(xué)習(xí)兩種樣例的遠遷移成績差異顯著［F（1，116）=1.85，p＜0.01］，但學(xué)習(xí)兩種樣例數(shù)量的遠遷移成績差異不顯著［F（1，116）=25.00，p＞0.05］；樣例數(shù)量與類型的交互作用差異不顯著［F（1，116）=0.01，p＞0.05］。［53］

4.研究結(jié)論

初中三年級學(xué)生在指數(shù)與對數(shù)轉(zhuǎn)換運算規(guī)則的樣例學(xué)習(xí)中，采用“轉(zhuǎn)換標(biāo)記法”設(shè)計對數(shù)符號，與普通樣例相比明顯地提高了樣例學(xué)習(xí)的遷移成績，說明這種新算符的樣例設(shè)計方法對含有新算符的代數(shù)運算樣例學(xué)習(xí)有促進作用，比普通樣例更優(yōu)越。學(xué)習(xí)樣例的數(shù)量對遷移測驗成績無顯著影響，可能是因為指數(shù)與對數(shù)轉(zhuǎn)換運算只有三種變式規(guī)則，學(xué)習(xí)3個樣例就涵蓋了這三種變式。所以，與學(xué)習(xí)6個樣例的效果沒有顯著差別。

（二）對數(shù)運算規(guī)則樣例學(xué)習(xí)的實驗研究

1.實驗?zāi)康?/p>

采用“解釋法”設(shè)計對數(shù)運算的樣例。主要考察學(xué)習(xí)“解釋法”樣例的遷移成績是否優(yōu)于學(xué)習(xí)普通樣例。其次考察學(xué)習(xí)過“指—對數(shù)轉(zhuǎn)換運算”的被試是否會提高對數(shù)運算樣例學(xué)習(xí)的遷移成績。

2.實驗方法

（1）被試的選取。從參加過前面“指數(shù)與對數(shù)轉(zhuǎn)換運算規(guī)則樣例學(xué)習(xí)實驗”的被試中選取60名成績優(yōu)秀的學(xué)生，隨機分為兩組：一組學(xué)習(xí)“解釋法”樣例；另一組學(xué)習(xí)普通樣例；再用“前測”從未參加過“指數(shù)與對數(shù)轉(zhuǎn)換運算規(guī)則樣例學(xué)習(xí)實驗”的初三年級學(xué)生中選取60名學(xué)生并隨機分為兩組（每組30人）：一組學(xué)習(xí)“解釋法”樣例；另一組學(xué)習(xí)普通樣例。

（2）實驗是2（被試類型）×2（樣例類型）被試間隨機分組實驗設(shè)計。被試類型是學(xué)過和未學(xué)習(xí)過轉(zhuǎn)換規(guī)則的兩種學(xué)生；兩種樣例類型是“解釋法”樣例和普通樣例，因變量是遷移測驗成績。

（3）實驗材料中的樣例學(xué)習(xí)材料分為兩種：一種是6個普通的對數(shù)運算樣例，另一種是采用“解釋法”設(shè)計的。兩種樣例的題目和題目數(shù)量都相同，只有運算步驟的設(shè)計不同。遷移測驗由6道與樣例題目相似但不同的題目組成。

3.實驗結(jié)果

統(tǒng)計分析結(jié)果是：（1）學(xué)習(xí)“解釋法”樣例的遷移成績明顯優(yōu)于學(xué)習(xí)普通樣例［F（1，116）=4.90，p＜0.05］；（2）學(xué)習(xí)了轉(zhuǎn)換規(guī)則被試的遷移成績明顯優(yōu)于未學(xué)過的被試［F（1，116）=50.04，p＜0.001］；（3）樣例與被試類型交互作用有顯著差異［F（1，116）=7.01，p＜0.01］。

經(jīng)過簡單效應(yīng)分析，在學(xué)過轉(zhuǎn)換規(guī)則的被試中，學(xué)習(xí)“解釋法”樣例的遷移成績顯著優(yōu)于學(xué)習(xí)普通樣例的［F（1，117）=8.32，p＜0.01］；在未學(xué)轉(zhuǎn)換規(guī)則的被試中，學(xué)習(xí)普通與“解釋法”樣例的遷移成績之間沒有顯著差異［F（1，117）=0.07，p＞0.05］。不論學(xué)習(xí)哪種樣例，兩種被試的遷移成績差異都顯著［F（1，117）=45.73，p＜0.001；F（1，117）=9.48，p＜0.01］。也就是說，學(xué)過“指—對數(shù)轉(zhuǎn)換”規(guī)則被試的遷移成績顯著高于未學(xué)過的被試。［53］

4.研究結(jié)論

“解釋法”樣例的學(xué)習(xí)明顯提高了學(xué)習(xí)遷移測驗成績，即促進了對數(shù)運算規(guī)則的學(xué)習(xí)。指數(shù)與對數(shù)轉(zhuǎn)換規(guī)則的學(xué)習(xí)對學(xué)習(xí)對數(shù)運算規(guī)則也有顯著促進作用。

（三）分?jǐn)?shù)和比例運算規(guī)則樣例學(xué)習(xí)的實驗研究

1.實驗?zāi)康?/p>

實驗的主要目的是考察“解釋—標(biāo)記法”樣例是否會對學(xué)習(xí)起促進作用，而且是否優(yōu)于“解釋法”樣例。其次考察學(xué)生的分?jǐn)?shù)運算知識對學(xué)習(xí)比例運算規(guī)則的影響。

2.實驗方法

實驗研究分為3個子實驗，分別依次進行。

第一個子實驗的被試來自一所城市普通小學(xué)的四年級學(xué)生。先經(jīng)過“前測”選出男女各30名，共60名被試，再將他們隨機分到每組30人的兩個實驗組。實驗材料有前測、樣例學(xué)習(xí)和遷移測驗三種材料。（1）前測材料有8個算術(shù)題，前4道題是兩位整數(shù)加、減運算題，后4道題是分?jǐn)?shù)加、減運算題。只有能夠在“前測”中做對前4題而不能正確計算后4題的學(xué)生才能成為正式的實驗被試。（2）樣例學(xué)習(xí)材料的設(shè)計分為兩種：一種是普通的8個分?jǐn)?shù)加、減法運算樣例；另一種是用“解釋法”設(shè)計的8個樣例。兩種樣例的題目和題目數(shù)量都相同，只有新規(guī)則的運算步驟設(shè)計不同。（3）遷移測驗材料：遷移測題共8道，遠、近遷移測驗題各4道。被試答對一個題計1分，答錯計0分。遷移測驗成績滿分共8分，遠、近遷移測驗滿分各4分。實驗采用單因素被試間隨機分組實驗設(shè)計。實驗在教室內(nèi)分3個階段進行。首先進行前測。其次進入樣例學(xué)習(xí)階段，被試分組在不同的教室里同時學(xué)習(xí)各自不同的樣例材料。一組學(xué)習(xí)“解釋法”樣例；二組學(xué)習(xí)普通樣例材料。最后進行遷移測驗，讓被試完成8個測驗題。

第二個子實驗與第一個子實驗相似，不同的是篩選出90名被試，隨機分為三組，樣例學(xué)習(xí)材料也設(shè)計為3種：采用“解釋—標(biāo)記法”設(shè)計的；用“解釋法”設(shè)計的；8個分?jǐn)?shù)乘除法運算的普通樣例。三種樣例題目和題目數(shù)量都相同，只有新運算規(guī)則的運算步驟設(shè)計不同。實驗設(shè)計和實驗程序與第一個子實驗基本相同。

第三個子實驗的被試選取比前兩個實驗復(fù)雜些。先用前兩個子實驗的“前測”，從四年級學(xué)生中選擇待選被試，再通過本子實驗的“前測”從中篩選出60名被試，男女生各半，隨機分到第一和第四組。又從第一個子實驗的被試中選取遷移成績得滿分的被試為待選被試，再通過本實驗的“前測”從中篩選60名被試，男女生各半，隨機分到第二和第五組。最后，從第二個子實驗的被試中選取遷移成績得滿分的被試作為待選被試，再通過本實驗的“前測”從中篩選60名被試，男女生各半，隨機分到第三和第六組。這樣選擇被試的目的是想考察被試學(xué)習(xí)過分?jǐn)?shù)加減運算或乘除運算后，哪種運算對學(xué)習(xí)比例運算的影響較大。實驗中的樣例學(xué)習(xí)材料設(shè)計為兩種：一種是比例運算的普通樣例；另一種是采用“解釋法”設(shè)計的比例運算樣例。實驗程序與前兩個子實驗基本相同。

3.實驗結(jié)果

第一個子實驗的結(jié)果如下：

“解釋”樣例組的遠、近遷移實驗成績（平均分和標(biāo)準(zhǔn)差）分別是1.23±0.63、3.03±0.57。普通樣例組被試遠、近遷移測驗成績的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差分別為1.07±0.25、2.20±0.49。

方差分析結(jié)果表明：兩組被試的近遷移成績之間差異顯著［F（1，59）=38.319，p＜0.001］；但遠遷移成績之間差異不顯著［F（1，59）=1.826，p＞0.05］。

第二個子實驗的結(jié)果如下：

“解釋—標(biāo)記”樣例組被試遠、近遷移測驗成績的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差分別為2.63±1.21、3.60±0.50?！敖忉尅睒永M被試遠、近遷移測驗成績的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差分別為1.77±0.82、3.53±0.57。普通樣例組被試遠、近遷移測驗成績的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差分別為1.20±0.41、3.27±0.58。

方差分析結(jié)果如下：近遷移成績的組別差異不顯著［F（2，89）=3.565，p＞0.05］。遠遷移成績的組別差異顯著［F（2，89）=20.260，p＜0.001］。事后分析（Tamhane）結(jié)果是，“解釋—標(biāo)記”組分別與“解釋”組和普通組的遠遷移成績之間差異顯著（p＜0.01；p＜0.001）；“解釋”組與普通組的遠遷移成績之間差異也顯著（p＜0.05）。

第三個子實驗的實驗結(jié)果如下：

三組學(xué)習(xí)“解釋”樣例被試的遠、近遷移成績（均值和標(biāo)準(zhǔn)差）分別是：第一組1.10±0.31，1.60±0.72；第二組1.53±0.51，2.47±0.78；第三組1.97±0.18，3.03±0.45。學(xué)習(xí)普通樣例的三組被試遠、近遷移測驗成績的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差分別是：第四組0.10±0.31，0.24±0.50；第五組0.17±0.38，0.43±0.90；第六組0.40±0.67，0.67±1.12。

方差分析結(jié)果是，兩種遷移成績的樣例類型主效應(yīng)都存在顯著差異［F（1，179）=431.41，p＜0.001；F（1，179）=270.30，p＜0.001］；被試類型的主效應(yīng)也都差異顯著［F（2，179）=28.66，p＜0.001；F（2，179）=21.37，p＜0.001］；樣例和被試類型的交互作用都有顯著差異［F（2，179）=6.91，p＜0.01；F（2，179）=6.32，p＜0.01］。

對二因素交互作用作簡單效應(yīng)分析的結(jié)果是，兩種學(xué)習(xí)“解釋”樣例的被試，其兩種遷移測驗成績都存在顯著差異［F（2，179）=9.08，p＜0.001；F（2，179）=10.01，p＜0.001］，普通樣例的近遷移成績差異均不顯著［F（2，179）=1.20，p＞0.05；F（2，179）=0.90，p＞0.05］。［54］

4.研究結(jié)論

“解釋法”樣例設(shè)計對四年級小學(xué)生通過運算樣例學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)運算規(guī)則和比例運算規(guī)則均有明顯的促進作用?！敖忉尅獦?biāo)記法”樣例設(shè)計對四年級小學(xué)生通過運算樣例學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘除法運算規(guī)則所起的促進作用明顯優(yōu)于“解釋法”。四年級小學(xué)生學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)乘、除法運算后，對他們學(xué)習(xí)比例運算規(guī)則起明顯的促進作用。

五、樣例學(xué)習(xí)的理論建構(gòu)與教學(xué)實踐：回答幾個普遍關(guān)注的問題

（一）樣例學(xué)習(xí)的性質(zhì)如何？

樣例學(xué)習(xí)的性質(zhì)如何？當(dāng)然包括記憶和模仿。因為任何學(xué)習(xí)都包括記憶，任何樣例學(xué)習(xí)都不能擺脫模仿的影子。但是，樣例學(xué)習(xí)絕不是機械的記憶和簡單的模仿。因為從樣例學(xué)習(xí)的內(nèi)容來看，它學(xué)習(xí)的是某種規(guī)則和實際運用規(guī)則的方法及程序。規(guī)則是人們對事物之間內(nèi)在關(guān)系的認(rèn)識。如果用概念來表征事物，那么規(guī)則就是人們對概念之間內(nèi)在關(guān)系的認(rèn)識。人們認(rèn)識世界，不僅要認(rèn)識同類事物的共同屬性和不同事物之間的差別，更重要的是認(rèn)識事物之間的內(nèi)在關(guān)系。因為掌握了事物之間的內(nèi)在關(guān)系，才能實現(xiàn)對事物運動和變化的預(yù)測、控制和調(diào)整。也就是說，只有掌握了規(guī)則，才能用規(guī)則解決問題。規(guī)則既是人類認(rèn)識的結(jié)晶，又是解決實際問題的有利工具。概念學(xué)習(xí)只是規(guī)則學(xué)習(xí)的前提和基礎(chǔ)，掌握和運用規(guī)則才是學(xué)習(xí)的真正目的。所以，規(guī)則學(xué)習(xí)比概念學(xué)習(xí)更為重要。可是，以往的學(xué)習(xí)理論和實驗研究較多地關(guān)注于簡單行為反應(yīng)和概念的學(xué)習(xí)。而涉及規(guī)則學(xué)習(xí)的理論和實驗研究一直以來都十分貧乏。樣例學(xué)習(xí)的研究終于使規(guī)則學(xué)習(xí)的研究經(jīng)過迂回的途徑呈現(xiàn)在樣例學(xué)習(xí)的研究平臺之上。從前面對樣例學(xué)習(xí)研究的簡要歷史回顧來看，學(xué)者們最初所關(guān)注的是樣例學(xué)習(xí)如何促進學(xué)生應(yīng)用規(guī)則，即關(guān)注的是樣例學(xué)習(xí)對學(xué)生解決問題能力的培訓(xùn)功能。這顯然是本末倒置了。因為，他們沒有首先關(guān)注規(guī)則的學(xué)習(xí)和獲得，倒是直接關(guān)注了規(guī)則的應(yīng)用。我們則一直關(guān)注于學(xué)生經(jīng)過怎樣的樣例學(xué)習(xí)來學(xué)習(xí)規(guī)則，從而將規(guī)則學(xué)習(xí)的研究引上了順行道。我們的研究與Anderson等人提出的四階段模型也有根本不同。Anderson主張，要想掌握解決問題的技能，得先學(xué)習(xí)規(guī)則的陳述性知識，再經(jīng)過4個階段的學(xué)習(xí)和練習(xí)，熟練掌握問題解決的程序化規(guī)則。我們所從事的規(guī)則樣例學(xué)習(xí)研究，是直接從樣例學(xué)習(xí)入手，在樣例學(xué)習(xí)過程中領(lǐng)悟隱含在樣例中的規(guī)則，并學(xué)會規(guī)則的運用。規(guī)則既可以用文字和符號來表述，也可以表現(xiàn)為操作和運用的程序。所以，它既是程序性知識，也是陳述性知識?？墒牵瑢W(xué)習(xí)和掌握規(guī)則未必都要像Anderson主張的那樣，從陳述性知識的學(xué)習(xí)開始。

規(guī)則是人們在科學(xué)研究和各種社會實踐活動中發(fā)現(xiàn)并概括出來的。學(xué)生卻可以經(jīng)過以下幾種途徑或方法學(xué)習(xí)規(guī)則：一是通過重復(fù)前人做過的實驗來領(lǐng)悟規(guī)則，例如，做物理和化學(xué)實驗等。二是經(jīng)過邏輯推理或公式推導(dǎo)領(lǐng)悟規(guī)則，例如，數(shù)學(xué)定理的推導(dǎo)和證明等。三是觀察前人的實際操作來學(xué)習(xí)操作規(guī)則，例如，觀察工程師如何操作儀器等。四是經(jīng)過類比聯(lián)想來領(lǐng)悟規(guī)則，例如，用水流與水壓的關(guān)系來理解電流與電壓的關(guān)系。五是通過樣例學(xué)習(xí)，領(lǐng)悟隱含在樣例中的解題規(guī)則，例如，閱讀教材中的例題等。由此看來，樣例學(xué)習(xí)只是規(guī)則學(xué)習(xí)的有效途徑之一。

以往樣例學(xué)習(xí)的研究，有的既關(guān)注學(xué)生在樣例學(xué)習(xí)時對規(guī)則的領(lǐng)悟，也關(guān)注規(guī)則的應(yīng)用，更關(guān)注規(guī)則應(yīng)用技能的訓(xùn)練、提高和熟練運用；有的卻只關(guān)注規(guī)則的應(yīng)用和解決問題能力的提高。我們的研究卻著重關(guān)注學(xué)生在樣例學(xué)習(xí)過程中對規(guī)則的領(lǐng)悟和掌握。因為，樣例都是應(yīng)用規(guī)則解決問題或完成作業(yè)的樣例，所以，樣例學(xué)習(xí)不可能與學(xué)習(xí)規(guī)則的應(yīng)用分開。

從學(xué)習(xí)規(guī)則的活動特征來看，樣例學(xué)習(xí)屬于學(xué)生自主的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，而不是聆聽教師講解的接受學(xué)習(xí)。從樣例學(xué)習(xí)的功能來看，它不僅是學(xué)生領(lǐng)悟規(guī)則、學(xué)習(xí)應(yīng)用規(guī)則的必由之路，而且已經(jīng)成為策略學(xué)習(xí)、技能訓(xùn)練，乃至學(xué)習(xí)行為模式、情感特征、意志品質(zhì)等人格特征的主要途徑之一。如果樣例設(shè)計和呈現(xiàn)得當(dāng)，經(jīng)過樣例學(xué)習(xí)不僅可以使學(xué)生學(xué)會掌握和運用規(guī)則，還能激發(fā)學(xué)生的智慧潛能和學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生主動探究、深入思考的優(yōu)秀品質(zhì)和治學(xué)精神。

（二）怎樣建構(gòu)樣例學(xué)習(xí)的理論？

如前所述，已有的樣例學(xué)習(xí)理論只涉及到樣例學(xué)習(xí)的簡單心理過程、自身和外部的必要條件以及與規(guī)則應(yīng)用技能形成過程的描述。相似性理論和解釋性理論只涉及樣例學(xué)習(xí)的一些顯而易見的心理過程，不足以解釋或說明樣例學(xué)習(xí)復(fù)雜的認(rèn)知加工過程。四階段模型描述了問題解決心智技能的形成過程。它雖然強調(diào)了陳述性知識的學(xué)習(xí)對技能形成的重要作用，但是，由于它沒有說明規(guī)則的陳述性知識是怎樣習(xí)得的，所以，不能從根本上解釋規(guī)則樣例學(xué)習(xí)的過程和條件。認(rèn)知負(fù)荷理論較好地回答了樣例學(xué)習(xí)者必備的自身條件——認(rèn)知資源總量和先備知識水平，以及樣例學(xué)習(xí)的外部條件——知識內(nèi)容的復(fù)雜程度或?qū)W生學(xué)習(xí)的難易程度、學(xué)習(xí)材料的性質(zhì)、外在認(rèn)知負(fù)荷的減少、相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷的增加對降低內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷的作用等。但是，它沒有解釋樣例學(xué)習(xí)的認(rèn)知活動過程，只能屬于樣例學(xué)習(xí)的條件性理論之一。納入到樣例學(xué)習(xí)理論范疇的社會學(xué)習(xí)理論，既較詳細(xì)地闡釋了觀察學(xué)習(xí)的過程（四個階段），又論述了觀察學(xué)習(xí)的條件或影響因素（如：榜樣的行為特征、學(xué)生的自身特征、學(xué)生與榜樣的關(guān)系和三種強化作用等）。所以，該理論對于解釋行為動作、操作和運動技能的樣例學(xué)習(xí)是恰當(dāng)?shù)?。但是，對于解釋非行為動作的樣例學(xué)習(xí)，尤其是解釋許多靜態(tài)樣例（如數(shù)學(xué)例題和范文等）的學(xué)習(xí)就顯得鞭長莫及了。我們在數(shù)學(xué)運算規(guī)則樣例學(xué)習(xí)的研究中也揭示出一條數(shù)學(xué)運算規(guī)則樣例學(xué)習(xí)的基本規(guī)律：只要利用“解釋法”“轉(zhuǎn)換標(biāo)記法”和“解釋—標(biāo)記法”等有效的樣例設(shè)計方法設(shè)計并解釋運算樣例中新算符和新規(guī)則的運算含義，且學(xué)生具備學(xué)習(xí)新規(guī)則的基礎(chǔ)知識，就能夠經(jīng)過樣例學(xué)習(xí)，自主領(lǐng)悟并學(xué)會運用隱含在運算樣例中的新運算規(guī)則。如果將其稱為理論的話，也屬于數(shù)學(xué)運算規(guī)則樣例學(xué)習(xí)的條件性理論。因為，這條規(guī)律只說明了數(shù)學(xué)運算規(guī)則樣例學(xué)習(xí)所必備的內(nèi)外條件，并沒有說明數(shù)學(xué)運算規(guī)則樣例學(xué)習(xí)的認(rèn)知過程。

關(guān)于樣例學(xué)習(xí)的動力機制可以作出如下解釋：學(xué)生之所以能夠進行樣例學(xué)習(xí)，一定是具備了相應(yīng)的基礎(chǔ)知識。所以，樣例中一定要有學(xué)生已經(jīng)掌握的部分知識內(nèi)容和能夠看懂的成分或步驟。當(dāng)然，樣例中也一定要有學(xué)生不熟悉的知識內(nèi)容、成分或步驟。對于學(xué)生來說，樣例就是把學(xué)生熟悉的（學(xué)習(xí)過的）和不熟悉的（沒學(xué)過的）知識有機地整合在一起。面對這樣的知識體，學(xué)生一定會產(chǎn)生認(rèn)知興趣和求知欲望，并力圖借助自己熟悉的知識來學(xué)習(xí)不熟悉的知識，這就是樣例學(xué)習(xí)的動機來源之一。

樣例學(xué)習(xí)的認(rèn)知過程是復(fù)雜的，加上不同學(xué)生的思維方式、學(xué)習(xí)策略以及知識經(jīng)驗的不同，個體樣例學(xué)習(xí)的思維活動或認(rèn)知加工過程會有很大差異。所以，描述樣例學(xué)習(xí)的一般認(rèn)知過程很困難。但是，任何樣例學(xué)習(xí)過程中一定包括對舊知識的回憶和聯(lián)想，對新知識的分析、判斷、比較、綜合、抽象和概括，以及新舊知識之間的邏輯推理和意義聯(lián)系等?？傊?，樣例學(xué)習(xí)不論認(rèn)知過程多么復(fù)雜、個體差異多么大，但基本的認(rèn)知傾向和認(rèn)知過程都是利用已有的舊知識經(jīng)驗來理解或同化新規(guī)則，也就是利用已有的舊知識經(jīng)驗學(xué)習(xí)新規(guī)則。其中，學(xué)生注意到的新舊知識之間的相似性是樣例和練習(xí)題設(shè)計所提供的有利條件。這種有利條件促進了學(xué)生對新舊知識之間的分析、對比、抽象和概括。樣例學(xué)習(xí)過程中的自我解釋是學(xué)生將新舊知識進行邏輯聯(lián)系或意義聯(lián)系后的自我表述。如果樣例的設(shè)計適應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和知識水平，學(xué)生就能夠經(jīng)過自己的努力和有效的認(rèn)知加工實現(xiàn)新舊知識之間的正確邏輯聯(lián)系，學(xué)懂并掌握樣例中隱含的新規(guī)則。這樣的樣例學(xué)習(xí)所占用的認(rèn)知資源一定不會超負(fù)荷。如果樣例的設(shè)計和呈現(xiàn)不當(dāng)，超出了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和知識基礎(chǔ)（即超出了學(xué)生認(rèn)知資源的總量），這時的樣例學(xué)習(xí)一定是超負(fù)荷的，必將導(dǎo)致樣例學(xué)習(xí)的失敗。總之，樣例學(xué)習(xí)是學(xué)生利用自己已有的知識經(jīng)驗，借助樣例所給予的有利學(xué)習(xí)條件，經(jīng)過自己努力的思考或認(rèn)知加工，建立新舊知識之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系、領(lǐng)悟并學(xué)會運用新規(guī)則的過程。

（三）樣例學(xué)習(xí)能使學(xué)生對新規(guī)則的理解達到何種程度？

有人擔(dān)心，這樣的樣例學(xué)習(xí)可能會導(dǎo)致學(xué)生對新規(guī)則的膚淺理解，甚至根本就沒有理解規(guī)則，只是對新規(guī)則“依樣畫葫蘆”似的模仿式應(yīng)用。有這種擔(dān)心是正常的。在一些甚至多數(shù)初學(xué)者中，這種情況也不可避免。樣例學(xué)習(xí)當(dāng)然達不到那種聽懂了老師的精彩講解，學(xué)生對新學(xué)規(guī)則的理解水平甚至達到了老師的理解水平，而且在應(yīng)用規(guī)則解決問題時準(zhǔn)確無誤的學(xué)習(xí)效果。可是，單純進行這樣的接受學(xué)習(xí)，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力怎么培養(yǎng)，學(xué)生的認(rèn)知欲望和挑戰(zhàn)心理怎么滿足，學(xué)生的探究精神怎么發(fā)揮。況且，人們對規(guī)則的理解是一個由淺入深的過程，學(xué)生對新規(guī)則的應(yīng)用也是一個逐步熟練并在應(yīng)用過程中不斷加深理解的過程。老師講解得再細(xì)致、再深入，也不一定能夠涵蓋規(guī)則的全部內(nèi)涵和達到對規(guī)則認(rèn)識的極至；學(xué)生聽了老師的講解后也不可能把規(guī)則理解和應(yīng)用到極至。人們對事物的認(rèn)識是不斷深入的，學(xué)習(xí)是一個過程。任何學(xué)生都不可能從老師那里學(xué)到將來再不需要做進一步的思考和修正的知識。因此，樣例學(xué)習(xí)的特有功能不可偏廢。盡管學(xué)生最初的樣例學(xué)習(xí)僅僅是“依樣畫葫蘆”，可是學(xué)會了“依樣畫葫蘆”總比不會畫進步了。況且，兒童早期的學(xué)習(xí)乃至成人對新規(guī)則的最初學(xué)習(xí)，哪些人沒有經(jīng)歷過這種過程和階段呢？擔(dān)心學(xué)生經(jīng)過樣例學(xué)習(xí)后對新規(guī)則的理解膚淺甚至根本就沒理解。沒關(guān)系，理解膚淺的以后可以加深，不理解的還可以再學(xué)習(xí)嘛。那種一蹴而就式的學(xué)習(xí)只能滿足一時的功利需求，而滿足不了學(xué)生一生的求知需要。

（四）樣例學(xué)習(xí)怎樣兼顧學(xué)生的個體差異？

還有一種擔(dān)心是，樣例學(xué)習(xí)可能只適用于優(yōu)秀的學(xué)生或領(lǐng)悟能力較強的學(xué)生，而不適用于一般的學(xué)生或?qū)W習(xí)能力較差的學(xué)生。這種擔(dān)心沒有必要。因為只要我們了解每個學(xué)生學(xué)習(xí)能力和知識基礎(chǔ)的實際情況，加上對樣例精心而有效的設(shè)計和呈現(xiàn)，只要給學(xué)生呈現(xiàn)適合他學(xué)習(xí)的樣例，就不愁學(xué)生不能進行樣例學(xué)習(xí)，也不愁學(xué)生不能從樣例學(xué)習(xí)中獲益。完全可以針對不同的學(xué)生，分別設(shè)計出適應(yīng)各種學(xué)生甚至每個學(xué)生學(xué)習(xí)需要和實際情況的樣例，從而兼顧學(xué)生樣例學(xué)習(xí)的個體差異。只是教師要懂得樣例學(xué)習(xí)的原理和樣例設(shè)計的方法，加上對學(xué)生的深入了解、細(xì)致而有效的樣例設(shè)計和呈現(xiàn)，就可以滿足各種學(xué)生的樣例學(xué)習(xí)需要，并適用于各種學(xué)習(xí)能力和知識水平的學(xué)生。

研究樣例學(xué)習(xí)并不追求一體化的樣例學(xué)習(xí)和教學(xué)，而是提供滿足各種學(xué)生學(xué)習(xí)需要的有效樣例學(xué)習(xí)材料。樣例學(xué)習(xí)是學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)的一種，也有發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的缺點和局限，例如耗時較多、學(xué)習(xí)效率較低、受個體差異的影響較大等?？墒?，哪一種學(xué)習(xí)沒有局限和缺點呢？不過，如果樣例設(shè)計得適當(dāng)，學(xué)習(xí)中的一些缺點是可以彌補的，其應(yīng)用的范圍也可以擴大。因此，樣例學(xué)習(xí)的深入研究正在為教材設(shè)計、學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和教師的課堂教學(xué)源源不斷地提供原理的指導(dǎo)和方法的借鑒。

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［責(zé)任編輯：江 波］

The Worked-Examples Learning of Mathematic Operation Rules：Experimental Studies and Theoretical Exploration

Zhang Qi Zhang Xiao-xiao
（1.College of Psychology，Liaoning Normal University，Dalian Liaoning 116029，China；2.College of Psychology，Beijing Normal University，Beijing 100875，China）

The authors conducted a series of experimental studies and theoretical exploration of mathematic operation rules.The initial experimental studies about elementary school student’s worked-examples learning the rules of“four fundamental operations arithmetic”and“removal of parenthesis”had acquired expected results.But the authorsd encountered problems in the experimental studies of the elementary school student’s workedexamples learning of algebraic operation rules.The authors proposed new methods that designed the new operators and new operation rules of the mathematic operation worked-examples，they were named the method of explanation，the method of converting label and the method of explanation-labels whose superiority had been verified in the experiments of the worked-examples learning of the rules of conversion form index to logarithmic，the rules of logarithmic operation，the rules of fractional arithmetic and the rules of proportion operation.On the basis of these experimental studies，the authors answered some questions in this paper，such as characters of worked-examples learning，the construction of the theory of worked-examples learning and the consideration of individual differences in student’s learning the rules with worked-examples learning.

operation rules；worked-examples learning；new operators；method of explanation；method of converting label

張奇（1955— ），男，遼寧遼陽人，博士，遼寧師范大學(xué)心理學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師，主要從事學(xué)習(xí)與教學(xué)心理研究；張笑笑（1984— ），女，遼寧大連人，北京師范大學(xué)心理學(xué)院博士研究生，主要從事學(xué)習(xí)與社會心理研究。

國家自然科學(xué)基金面上資助項目“數(shù)學(xué)運算樣例中關(guān)鍵步驟的學(xué)習(xí)研究”（項目編號：30970888）的階段性研究成果。

B845.1

A

2095-7068（2015）01-0083-13

2014-12-19

*通訊作者：張笑笑，E-mail：xiaoxiao19841028@126.com。