佐春梅 尹淑卯

摘 要：排列與組合問(wèn)題的熟練掌握和精通，對(duì)后續(xù)概率的學(xué)習(xí)起到非常重要的作用。高中數(shù)學(xué)中遇到的排列與組合計(jì)數(shù)問(wèn)題主要可以歸納為以下六類，即含特殊元素型、有相同元素型、元素相鄰型、元素不相鄰型、分堆型、涂色型問(wèn)題。而每一類型都有著其特有的解題策略與方法。

關(guān)鍵詞：排列與組合；分類加法原理；分步乘法原理

關(guān)于排列與組合問(wèn)題的解決是要講究方法和策略的。首先，要認(rèn)真審題，弄清楚是完成“什么樣的一件事”。其次，要分析出完成的“這件事”是屬于哪一類排列與組合問(wèn)題，即先從整體上給出一個(gè)定性的分析。最后，要思考“怎樣完成這件事”：結(jié)合各類排列與組合問(wèn)題其特有的解題策略和兩個(gè)計(jì)數(shù)原理即分類加法、分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)數(shù)。一個(gè)排列與組合問(wèn)題解決的對(duì)與錯(cuò)還應(yīng)該注意以下兩點(diǎn)：首先，思考、分析、解決問(wèn)題要做到不重復(fù)、不遺漏，要縝密、要全面。其次，分析清楚某一問(wèn)題是排列還是組合，還是先組合后排列。區(qū)分某一問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，關(guān)鍵是看所選的元素與順序是否有關(guān)，若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問(wèn)題，否則是組合問(wèn)題。高中數(shù)學(xué)中遇到的排列與組合計(jì)數(shù)問(wèn)題主要可以歸納為以下六類，而每一類都有著特有的解題策略與方法。下面我們借助具體的例題進(jìn)行講解。

一、“含特殊元素”的排列組合問(wèn)題——采取特殊元素優(yōu)先考慮法

例1.現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩人中安排一人，第四道工序只能從甲、丙兩人中安排，則有多少種不同的安排方案？

解：此題中有兩個(gè)特殊位置，第一道工序和第四道工序。一個(gè)特殊的人——“甲”。所以可以考慮先從甲入手，甲的位置有三類，然后再考慮第一、四道工序的安排。

第一類：甲在第一道工序，這時(shí)有C11·C11·A24=12（種）排法；第二類：甲在第四道工序，這是有C11·C11·A24=12（種）排法；第三類：甲不在第一道工序也不在第四道工序，這時(shí)有C11·C11·A24=12（種）排法。利用分類加法計(jì)數(shù)原理知，總共有N=12+12+12=36種不同的分配方案。

變式1：有3名男生，4名女生，求全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾，有多少種不同的排法？

解：“甲”元素受限制、比較特殊優(yōu)先排。先排甲有A15=5種排法，再排其他人有A66=720種排法。根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有 種排法。

二、“含相同元素”的排列組合問(wèn)題——采取給為相同元素找位置的方法

例2.今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列，有多少種不同的排法？

解：此題同色球不加以區(qū)分，導(dǎo)致有相同元素，排列時(shí)相同元素間無(wú)順序之分，因此相同元素按組合問(wèn)題選位置。

分三步：第一步，排2個(gè)紅球，有C29=36（種）排法；第二步，排3個(gè)黃球，有C37=35（種）排法；第三步，排4個(gè)白球，有C44=1（種）排法.利用分步乘法原理，總共有N=36×35×1=1260種排法。

變式2：把英語(yǔ)單詞“error”中字母的拼寫(xiě)順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤的種數(shù)是多少？

解：此題實(shí)質(zhì)是“含相相同元素”的排列問(wèn)題.考慮“e、o、r、r、r”排成一列共有C15·C14·C33=20排法，其中拼寫(xiě)正確的只有1種，所以把英語(yǔ)單詞“error”中字母的拼寫(xiě)順序?qū)戝e(cuò)有20-1=19種。

三、“元素相鄰型”的排列組合問(wèn)題——采取“捆綁法”，即將相鄰的元素視為一個(gè)整體參與其他元素的排列，同時(shí)注意捆綁元素內(nèi)部排列

例3.有3名男生，4名女生，求全體排成一排，女生必須相鄰有多少種不同的排法？

解：先把4名女生合在一起看作一個(gè)元素，和3名男生參加全排列共有A44=24種排法，然后4名女生局部排列共有A33=6種

排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有N=24×6=144種排法。

四、“元素不相鄰型”的排列組合問(wèn)題——采取“插空法”，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中

例4.有3名男生、4名女生，全體排成一排，男生互不相鄰有多少種不同的排法？

解：4名女生不受限制，則先排4名女生有A44=24種排法，然

后將3名男生插入4名女生產(chǎn)生的5個(gè)空檔中，有A35=60種排法。根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有N=A44·A35=1440種排法。

變式3：我國(guó)第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有6架殲-15飛機(jī)準(zhǔn)備著艦。如果甲、乙兩機(jī)必須前后相鄰，而丙、丁兩機(jī)不能前后相鄰著艦，那么不同的著艦方法有多少種？

解：“相鄰與不相鄰”的混合型問(wèn)題，捆綁法和插空法相結(jié)合。設(shè)其他兩機(jī)為A，B。先將甲、乙合在一起看作一個(gè)元素，和A，B參加全排列共有A33=6種排法，然后甲、乙局部排有A22=2種排法，最后將丙、丁插入甲、乙合在一起看作一個(gè)元素和A，B產(chǎn)生的4個(gè)空擋中，有A24=12種插入法。由分步乘法計(jì)數(shù)原理N=A33·A22·A24=144種方法。

五、“分堆型”的排列組合問(wèn)題——需要注意辨別是“平均分組”還是“非平均分組”

平均分組型是指把k、n個(gè)不同元素平均分成k組，每組n個(gè)元素，共有■種不同的分法，其特點(diǎn)是每堆的個(gè)數(shù)相同。

非平均分組型是指n個(gè)不同元素分成個(gè)數(shù)為n1，n2，L，nk的k堆，其中n1≠n2≠n3≠L≠nk，n1+n2+L+nk=n，有Cn1n·Cn2n-n1·Cn3n-n1-n2·L·

Cnknk種不同的分法，其特點(diǎn)是每堆的個(gè)數(shù)都互不相同。

例5.六本不同的書(shū)，按下列要求，各有多少種不同的分法？

（1）分成三堆，每堆兩本；

（2）分成三堆，一堆一本，一堆兩本，一堆三本；

（3）分給甲、乙、丙三人，每人兩本；

（4）分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；

（5）分給甲、乙、丙三人，每人至少一本。

解：（1）按照平均分堆的計(jì)算公式，共有■=15種分法。

（2）按照非均勻分堆的計(jì)算公式，共有C16·C25·C33=60種分法。

（3）均勻分堆和排列相結(jié)合.先把六本不同的書(shū)均勻分成三堆有■=15種分法，再把這三堆分別給甲乙丙三人有A33=6種分法。由分步乘法原理N=■·A33=C26·C24·C22=90種分法。

（4）非均勻分堆和排列相結(jié)合。先把六本不同的書(shū)分成個(gè)數(shù)分別為1，2，3的不均勻三堆有C16·C25·C33=60種分法，再把這三堆分別給甲乙丙三人有A33=6種分法。由分步乘法原理N=C16·C25·C33·A33=360種分法。

（5）注意此題中涉及的“至少問(wèn)題”實(shí)際上是一個(gè)隱性的分堆問(wèn)題。

如圖，六本不同的書(shū)，甲、乙、丙每人至少一本，則剩下的三本書(shū)有三種給法，都給同一個(gè)人，或者分給兩個(gè)人，或者分給三個(gè)人，相應(yīng)六本書(shū)有三種分堆法即三堆個(gè)數(shù)為4，1，1或者3，2，1或者2，2，2.因此分三類完成。第一類，六本不同書(shū)分成每堆個(gè)數(shù)分別為4，1，1的三堆，然后分給甲、乙、丙，則有C46·1·A33=90種分法；第二類，六本不同書(shū)分成每堆個(gè)數(shù)分別為3，2，1的三堆，然后分給甲、乙、丙，則有C36·C23·C11·A33=360種分法；第三類，六本不同書(shū)分成每堆個(gè)數(shù)分別為2，2，2的三堆，然后分給甲、乙、丙，則有■·A33=90種分法。由分類加法原理得N=90+360+90=540種分法。

六、“涂色型問(wèn)題”——根據(jù)某兩個(gè)不相鄰區(qū)域同色與不同色入手，分別計(jì)算出兩種情形的種數(shù)，再用加法原理求出不同涂色方法總數(shù)，其實(shí)質(zhì)是用分類或分步計(jì)數(shù)原理導(dǎo)航，通過(guò)深入縝密分析題意，將原題化歸成熟悉的排列、組合或其綜合題型、逐類分步推理求解

例6.某市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃分為5個(gè)部分，現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，要求每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同顏色的花，則不同的栽種方法有多少種？

解：根據(jù)2、4部分同色與不同色分兩類。

第一類，2、4部分同色時(shí)。先種1號(hào)地有4種種法，再種2、4部分有3種種法，然后種5號(hào)地有2種種法，最后種3號(hào)地有2種種法。由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，此類有4×3×2×2=48種種法。

第二類，2、4部分不同色時(shí)。先種1號(hào)地有4種種法，再種2、4部分有A23=6種種法，然后種5號(hào)地有1種種法，最后種3號(hào)地有1種種法。由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，此類有4×6×1×1=24種

種法。

綜上，根據(jù)分類加法原理知N=48+24=72種種法。

變式4：四棱錐P-ABCD，用4種不同的顏色涂在四棱錐的各個(gè)面上，要求相鄰不同色，有多少種涂法？

解：這種面的涂色問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為區(qū)域涂色問(wèn)題，如右圖，區(qū)域1、2、3、4相當(dāng)于四個(gè)側(cè)面，區(qū)域5相當(dāng)于底面；根據(jù)例6，共有72種涂法。

參考文獻(xiàn)：

任志鴻.高考專題復(fù)習(xí)模塊高手：數(shù)學(xué).概率統(tǒng)計(jì)與導(dǎo)數(shù)積分.知識(shí)出版社，2009.

（作者單位 寧夏回族自治區(qū)銀川育才中學(xué)）