康 衛(wèi)，程向陽，鐘守銘

(1.阜陽師范學(xué)院信息工程學(xué)院，安徽阜陽 236041;2.電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川成都611731;3.阜陽師范學(xué)院商學(xué)院，安徽阜陽 236041)

1 引言

時滯經(jīng)常發(fā)生在各種各樣的工程、物理系統(tǒng)中，比如生物系統(tǒng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)等。眾所周知，時滯的出現(xiàn)往往會破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性，甚至產(chǎn)生震蕩、混沌現(xiàn)象，從而給系統(tǒng)在實際應(yīng)用過程中帶來許多困難。因此，對時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究成為當(dāng)前的一個熱點問題，得到了很多重要的結(jié)果[1-8，15，16]。鑒于此，人們采用很多方法來減少系統(tǒng)的保守性，如自由矩陣的方法[2]，Jensen 不等式方法[6]，Reciprocally Convex 方法[3]，Wirtinger-based 積分不等式方法[4]。

值得注意的是，基于計算機計算技術(shù)的快速發(fā)展，一方面由于離散系統(tǒng)更加適用于計算實驗、仿真等過程，另一方面因為離散系統(tǒng)穩(wěn)定性和控制與連續(xù)時間系統(tǒng)有著較大的區(qū)別。所以，近年來對于離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究得到更多的關(guān)注[9-14]。文獻(xiàn)[11]作者利用自有矩陣技術(shù)給出了離散系統(tǒng)穩(wěn)定的條件。文獻(xiàn)[14]作者利用Reciprocally Convex方法進(jìn)一步分析了時變時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性條件。由于在減少系統(tǒng)保守性方面，還有很大的研究空間。因此本文研究離散系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，采用時滯分割方法和新的積分不等式以及Reciprocally Convex 方法，得到了系統(tǒng)穩(wěn)定性的一個新的充分條件。最后，數(shù)值算例表明了新結(jié)果的可行性和有效性。

2 預(yù)備工作

考慮如下的時滯離散系統(tǒng):

其中，x(k) 是系統(tǒng)的狀態(tài)變量，A = (aij)n×n，B = (bij)n×n是常數(shù)矩陣; 時滯τ(k) 滿足τm≤τ(k) ≤τM;且τm，τM為正整數(shù)。

下面的引理和定義對于本文主要結(jié)論的證明是非常有用。

引理1[1，16]給定常數(shù)矩陣，Ω1，Ω2，Ω3且Ω1若

其中η( k )= x (k +1 )－ x( k )。

證明 事實上，

因此很容易可以得到

證畢。

引理3[3]對任意的向量ξ1，ξ2，給定矩陣T，N，參數(shù)α ＞0，β ＞0 且則

定義1[12，13，14]如果，則系統(tǒng)(1)是均方漸進(jìn)穩(wěn)定的。

3 主要結(jié)論

規(guī)定τ0∈ (τm，τM)，τ0m= τ0－τm，τM0= τM－τ0，η( k )= x (k +1 )－ x( k )。

定理1 給定整數(shù)τm，τM，系統(tǒng)(1) 是漸進(jìn)穩(wěn)定的，如果存在矩陣

及任意的矩陣N1，N2，下面線性矩陣不等式成立:

證明 首先定義如下的李雅普諾夫泛函

情形1:當(dāng)變時滯τ( k) ∈ [τm，τ]0 時，計算差分算子可以得到

又因為

利用引理2 可得:

當(dāng)τ( k )∈ (τm，τ0)時，由Jensen 不等式得到:

根據(jù)引理3 可以得到:

其中

τ( k) = τm或τ( k) = τ0，則有α1( k) = 0 或者α2( k) = 0 ，結(jié)論(7)顯然也是成立的。

利用Jensen 不等式，則有

由上面的計算，很顯然有

根據(jù)定理的條件T1－ X33≥0 和引理1

情形2:當(dāng)變時滯τ( k )∈ [τ0+1，τM]時

與情形1 相似的分析方法和處理技巧，可以得到

綜上所述，由(8)和(9)，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，系統(tǒng)(1)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。證畢

注2 在處理時變時滯τ( k )∈ [τm，τM]，利用時滯分割的方法，把時滯區(qū)間 [τm，τM]分割成兩部分 [τm，τ0]和 [τ0，τM]，這樣的好處是可以利用更多的系統(tǒng)參數(shù)信息x (k － τ0)，同時也能夠減少系統(tǒng)的保守性。

注3 本文引用了Reciprocally Convex 方法和處理用Reciprocally Convex 方法的好處是在計算的結(jié)果中我們在矩陣的主對角線上引入了自由矩陣N1，N2，很明顯這樣可以有效地減少系統(tǒng)的保守性。

4 數(shù)值實例

例1 設(shè)系統(tǒng)(1)的參數(shù)如下

當(dāng)τm=2 時，文獻(xiàn)[11，12，13，14]中τM的最大上界分別是7，8，9，9 ，而根據(jù)定理1，可以得到τM的最大上界為11 。因此很明顯的看到本文提出的新方法得到了更低保守性的結(jié)果相比于文獻(xiàn)[11，12，13，14]。表1 進(jìn)一步的展示了當(dāng)τm取不同值得時候τM的最大上界，通過表1 更能直觀的看到本文定理1 的結(jié)果比文獻(xiàn)[11，12，13，14]的結(jié)果好，保守性更弱。

表1 τm 取不同的值τM 的最大上界

例2 設(shè)系統(tǒng)(1)的參數(shù)如下

當(dāng)τm=2 時，文獻(xiàn)[11，12，13，14]中τM的最大上界分別是13，14，17，17 ，而根據(jù)定理1，可以得到τM的最大上界為18 。因此很明顯的看到本文提出的新方法得到了更低保守性的結(jié)果相比于文獻(xiàn)[11，12，13，14]。表2 進(jìn)一步的展現(xiàn)了當(dāng)τm取不同值得時候τM的最大上界，通過表2 更能直觀的看到本文定理1 的結(jié)果比文獻(xiàn)[11，12，13，14]的結(jié)果好，保守性更弱。

6 結(jié)束語

本文運用新的積分不等式、時滯分割方法及Reciprocally Convex 方法，研究了一類具有時變時滯離散系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定性問題，得到了一個新的充分條件。新判據(jù)較以往文獻(xiàn)有更廣的應(yīng)用范圍，因此可以將本文的方法推廣到具有離散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究，可以得到其魯棒穩(wěn)定的新的判定條件。

表2 τm 取不同的值τM 的最大上界

[1]Liu P L.A delay decomposition approach to robust stability analysis of uncertain systems with time-varying delay[J].ISA Transactions，2012，51(6): 694-701.

[2]Yong H，Wang Q G，Xie L H，et al.Further improvement of Free-Weighting matrices technique for systems with Time-Varying delay[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2007，52(2): 293-299.

[3]Park P G，Ko J W，Jeong C.Reciprocally convex approach to stability of systems with time-varying delays[J].Automatica，2011，47(1): 235-238.

[4]Seuret A，Gouaisbaut F.Witinger-based integral inequality:application to time-delay systems[J].Automatica，2013，49(9): 2860-2866.

[5]Faydasicok O，Arik S.A new robust stability criterion for dynamical neural networks with multiple time delays[J].Neurocomputing，2013，99: 290-297.

[6]Kwon O M，Park M J，Lee S M，et al.Stability for neural networks with time-varying delays via some new approaches[J].IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems，2013，24(2): 181-193.

[7]劉小群.時延細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近穩(wěn)定性[J].計算機工程與科學(xué)，2013，35(7):82-86.

[8]張迎迎，周立群.一類具多比例延時的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性[J].電子學(xué)報，2012，40( 6): 1159-1163.

[9]劉自鑫，呂 恕，鐘守銘，等.離散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)指數(shù)穩(wěn)定改進(jìn)條件[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2009，39(23):219-226.

[10]劉自鑫，呂恕，鐘守銘，等.網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)控制器設(shè)計的矩陣分解方法[J].計算機工程與應(yīng)用，2010，46(4):18-21.

[11]Zhang B，Xu S，Zou Y.Improved stability criterion and its applications in delayed controller design for discretetime systems[J].Automatica，2008，44:2936-2967.

[12]Huang H，F(xiàn)eng G.Improved approach to delay-dependent stability analysis of discrete-time systems with timevarying delay[Brief Paper][J].IET Control Theory ＆Applications，2010，4(10): 2152-2159.

[13]Liu J，Zhang J.Note on stability of discrete-time timevarying delay systems[J].IET Control Theory ＆ Applications，2012，6(2): 335-339.

[14]Ramakrishnan K，Ray G，Robust stability criteria for a class of uncertain discrete-time systems with time-varying delays[J].Applied Mathematical Modelling，2013，37:1468-1479.

[15]邵晉梁，黃廷祝.變時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)魯棒穩(wěn)定的一個新判據(jù)[J].電子科技大學(xué)學(xué)報，2010，39(4):617-622.

[16]Liu P L.Improved delay-dependent robust stability criteria for recurrent neural networks with time-varying delays[J].ISA Transactions，2013，52(1): 30-35.