包頭鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 魏志丹

導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義初探

包頭鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 魏志丹

導(dǎo)數(shù)是微積分的核心所在，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中占有重要的地位和作用。使學(xué)生將導(dǎo)數(shù)這一知識(shí)點(diǎn)徹底

導(dǎo)數(shù) 概念 幾何意義 初步探究

一、引言

微積分的創(chuàng)建是數(shù)學(xué)發(fā)展中一項(xiàng)里程碑，為變量和函數(shù)的研究提供了重要的方法和手段。導(dǎo)數(shù)概念是微積分的核心所在，已經(jīng)成為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具和手段。隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的改革與發(fā)展，導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域中占據(jù)的位置越來(lái)越重要，導(dǎo)數(shù)的方法已經(jīng)成為深入研究微積分的直接工具，對(duì)學(xué)生其他學(xué)科的學(xué)習(xí)以及教師對(duì)各個(gè)領(lǐng)域知識(shí)的研究都具有積極的促進(jìn)作用，在當(dāng)今我國(guó)的生產(chǎn)和生活中已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)概念和幾何意義的學(xué)習(xí)為導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和微積分的學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，對(duì)知識(shí)具有過(guò)渡作用。學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的過(guò)程中，學(xué)生要了解導(dǎo)數(shù)的實(shí)際背景和概念，懂得如何應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)行求導(dǎo)，并能夠解釋導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義。

二、導(dǎo)數(shù)的起源

導(dǎo)數(shù)是在“極限”和“連續(xù)”的概念與應(yīng)用下提出來(lái)的。導(dǎo)數(shù)來(lái)源于兩個(gè)問(wèn)題的研究，分別是曲線的切線問(wèn)題和函數(shù)極大值與極小值的求法問(wèn)題。數(shù)學(xué)家費(fèi)馬是最早進(jìn)行研究這兩個(gè)問(wèn)題的，他為導(dǎo)數(shù)概念的提出提供了與現(xiàn)代形式最接近的啟示，而最終將這兩個(gè)問(wèn)題完全解決的是牛頓和萊布尼茲。

17世紀(jì)歐洲的經(jīng)濟(jì)迅速發(fā)展起來(lái)，需要較高的科學(xué)技術(shù)作為支撐，在這樣的國(guó)際背景下，經(jīng)過(guò)各國(guó)數(shù)學(xué)家和科學(xué)家的不斷努力，微積分理論應(yīng)運(yùn)而生。在阿基米德等數(shù)學(xué)家提出的面積和體積計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，牛頓于1665年創(chuàng)立了微積分，萊布尼茲于1673年到1676年也發(fā)表了關(guān)于微積分思想的著作，將微分和積分這兩種運(yùn)算結(jié)合在一起，進(jìn)行全方面的研究。

三、導(dǎo)數(shù)的定義和概念理解

1.導(dǎo)數(shù)的定義

導(dǎo)數(shù)是微積分中一個(gè)比較重要的基本概念。導(dǎo)數(shù)的定義分為第一定義和第二定義。導(dǎo)數(shù)的第一定義：設(shè)函數(shù) y = f(x) 在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x 在x0 處有增量x (x0+x 也在該鄰域內(nèi) ) 時(shí)相應(yīng)地函數(shù)取得增量 ?y = (x0+ x) - f(x0) ，如果 y與 ?x 之比當(dāng) x→0 時(shí)極限存在則稱(chēng)函數(shù) y = f(x) 在點(diǎn) x0處可導(dǎo)，并稱(chēng)這個(gè)極限值為函數(shù) ，在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù)記為 ,即導(dǎo)數(shù)第一定義。導(dǎo)數(shù)的第二定義：設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x 在 x0處變化 ?x ( x - x0也在該鄰域內(nèi) ) 時(shí)相應(yīng)地函數(shù)變化y = f(x) - f(x0) , 當(dāng) x→0,如果 ?y 與 ?x 之比時(shí)極限存在,則稱(chēng)函數(shù) 在點(diǎn) x0處可導(dǎo),并稱(chēng)這個(gè)極限值為函數(shù) 在點(diǎn) x0處的導(dǎo)數(shù)記為 ,即導(dǎo)數(shù)第二定義。

2.對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解

對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的應(yīng)用并不僅僅局限在瞬時(shí)速度、切線的斜率，任何事物的變化率包括增長(zhǎng)率、效率、密度以及膨脹率都可以用導(dǎo)數(shù)這一概念來(lái)進(jìn)行描述。

3.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)

因?yàn)?y 與 ?x 之比是函數(shù)的自變量x由x0變到x0+ ?x時(shí)的平均變化率，所以導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是函數(shù)在點(diǎn)x0的變化率。

四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與應(yīng)用

1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=f（x）在x=0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在x0處的切線斜率。而曲線在某一點(diǎn)處切線是這樣定義的：設(shè)曲線C是函數(shù)的圖象，在該曲線上任取一點(diǎn)P（x0,y0）和與點(diǎn)P相鄰的一點(diǎn)Q（x0+ ?x，y0+?y），經(jīng)過(guò)P、Q兩點(diǎn)作圖象的割線，當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無(wú)限接近于P時(shí)，也就是?x趨近于零時(shí)，如果割線PQ有一個(gè)極限位置PT，那么則稱(chēng)直線PT為該曲線在點(diǎn)P處的切線。導(dǎo)數(shù)的幾何意義使導(dǎo)數(shù)概念更加直觀、形象和生動(dòng)，將導(dǎo)數(shù)的概念轉(zhuǎn)化為幾何模型，是將導(dǎo)數(shù)作為數(shù)學(xué)工具并加以運(yùn)用的一條重要途徑。

學(xué)習(xí)將導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用到實(shí)際生活和生產(chǎn)中時(shí)，需要特別注意的是：函數(shù)在x0處的切線與函數(shù)過(guò)點(diǎn)的切線是不一樣的，在x0處的切線斜率k的大小是，而過(guò)點(diǎn)的切線卻不一定是。

2.導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)的幾何意義在各個(gè)領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用，尤其是在物理領(lǐng)域，大家都知道物理與數(shù)學(xué)這兩個(gè)學(xué)科是相輔相成，相互支撐的。導(dǎo)數(shù)與物理幾何代數(shù)的關(guān)系非常密切，導(dǎo)數(shù)的幾何意義常用來(lái)求物理中的瞬時(shí)速度。這里我們舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)明導(dǎo)數(shù)的幾何意義是如何在物理中得到一個(gè)用的。汽車(chē)在5個(gè)小時(shí)內(nèi)行駛了300千米，則我們可以求出該輛汽車(chē)的平均速度是60千米/小時(shí)，但汽車(chē)在行駛的過(guò)程中，其速度的快慢變化并不是一直保持在60千米/小時(shí)。為了更好地反映汽車(chē)在行駛過(guò)程中速度的變化情況，我們可以利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義將汽車(chē)的行駛時(shí)間無(wú)限縮小。設(shè)汽車(chē)所在位置s與時(shí)間t的關(guān)系為，那么，汽車(chē)在由t0時(shí)刻到t1時(shí)刻的這一段時(shí)間內(nèi)的平均速度就可以用[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]來(lái)表示，當(dāng) t1與t0無(wú)限趨近于零時(shí)，汽車(chē)行駛的速度變化就可以近似看作瞬時(shí)速度，約等于平均速度。

這里把當(dāng)t1→t0時(shí)的極限[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作為汽車(chē)在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度的物理過(guò)程等實(shí)際上就是將導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用到物理中平均速度類(lèi)比到瞬時(shí)速度的過(guò)程。

五、結(jié)論

導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義以及倒數(shù)的應(yīng)用無(wú)論是在生活、學(xué)習(xí)還是生產(chǎn)中都占有非常重要的地位，在學(xué)習(xí)過(guò)程中要了解并掌握導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義，并將其靈活應(yīng)用到實(shí)際生活中去，從而促進(jìn)各領(lǐng)域的發(fā)展與進(jìn)步。

[1]徐 波.高中新課程“導(dǎo)數(shù)的概念”教學(xué)分析[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育:高中版，2011

[2]肖燕清.導(dǎo)數(shù)的概念及其應(yīng)用[J].教育教學(xué)論壇，2012

ISSN2095-6711/Z01-2015-07-0079

地解釋清楚，理解透徹是對(duì)數(shù)學(xué)教師教學(xué)水平的巨大挑戰(zhàn)，導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)的發(fā)展具有極大的促進(jìn)作用。本文對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的起源、導(dǎo)數(shù)的定義與概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)進(jìn)行了詳細(xì)介紹，并對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義進(jìn)行了初步探究。