龔發(fā)云，錢(qián) 坤，湯 亮

(湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖北 武漢 430068)

基于模糊算法的少齒差齒輪多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

龔發(fā)云，錢(qián) 坤，湯 亮

(湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖北 武漢 430068)

基于優(yōu)化設(shè)計(jì)模糊算法的基本理論，研究少齒差行星減速器的運(yùn)行狀態(tài)及相關(guān)工況條件，針對(duì)少齒差齒輪副的傳動(dòng)特性，建立少齒差行星輪減速器的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)確立齒輪體積和重合度的目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化少齒差行星輪的幾何參數(shù)，并與常規(guī)設(shè)計(jì)相比，少齒差行星傳動(dòng)的體積和重合度都得到優(yōu)化。

模糊算法； 少齒差； 優(yōu)化設(shè)計(jì)； 目標(biāo)函數(shù)

立體車(chē)庫(kù)在使用中需要保證機(jī)構(gòu)緊湊、承載性能好、運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)等特點(diǎn)，而少齒差行星傳動(dòng)的一些優(yōu)點(diǎn)使其能夠很好滿足立體車(chē)庫(kù)的需求，少齒差齒輪傳動(dòng)由于其傳動(dòng)比大、結(jié)構(gòu)緊湊、效率高，同時(shí)其運(yùn)載平穩(wěn)噪音小、承載能力大，在很多大型承載機(jī)械裝置中都有應(yīng)用。范元?jiǎng)祝跞A坤等基于遺傳算法對(duì)少齒差行星傳動(dòng)的體積和嚙合角進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)，使其結(jié)構(gòu)在緊湊的同時(shí)減少了徑向力，其壽命得以提高[1]。林尚飛等人通過(guò)基于MATLAB優(yōu)化工具箱對(duì)少齒差行星齒輪的嚙合效率進(jìn)行了優(yōu)化，提高了其傳動(dòng)效率[2]。一般的少齒差行星傳動(dòng)的設(shè)計(jì)計(jì)算沒(méi)有相關(guān)的計(jì)算守則，同時(shí)計(jì)算相對(duì)較復(fù)雜,傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法根據(jù)材料的物理機(jī)械性能,采用材料力學(xué)的彈性理論進(jìn)行計(jì)算,沒(méi)有充分考慮材料機(jī)械性能參數(shù)的離散性影響,要么其工作可靠度不夠,要么造成材料浪費(fèi),因此只有在考慮全部變量的離散性和約束條件模糊性基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算,才能夠保證設(shè)計(jì)出更為合理的少齒差傳動(dòng)機(jī)構(gòu)[3]。本文通過(guò)選擇合適的優(yōu)化算法對(duì)其體積和重合度進(jìn)行優(yōu)化，使其達(dá)到體積小、傳動(dòng)平穩(wěn)、承載高、效率高等要求，從而更好地滿足立體車(chē)庫(kù)減速系統(tǒng)的需要。

1 少齒差齒輪傳動(dòng)特點(diǎn)

以少齒差行星減速器中的少齒差齒輪為優(yōu)化對(duì)象(圖1)，在內(nèi)齒輪與行星輪之間的齒數(shù)差為1～4之間時(shí)，就把這種齒輪傳動(dòng)裝置稱為少齒差行星齒輪傳動(dòng)。其包括一個(gè)太陽(yáng)輪(K)、一個(gè)行星架(H)和一根輸出軸(V)，所以這種輪系又稱為K-H-V型行星輪系。其傳動(dòng)比公式為

(1)

故

ih1=-z1/(z2-z1)

(2)

由上式可見(jiàn)，當(dāng)齒數(shù)((z1-z2)很小時(shí)，就可以得到較大的單機(jī)傳動(dòng)比，當(dāng)z2-z1=1時(shí)，ih1=-z1，稱這種齒輪傳動(dòng)為一齒差傳動(dòng)[4]。

圖 1 少齒差行星傳動(dòng)的基本形式

2 優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的建立

2.1 目標(biāo)函數(shù)

日常的生產(chǎn)應(yīng)用一般要求少齒差齒輪傳動(dòng)裝置體積小、質(zhì)量輕，以便節(jié)約制造材料降低成本。同時(shí)還需要兼具效率高、噪聲小和振動(dòng)小，這些又與齒輪傳動(dòng)的重合度有直接關(guān)聯(lián)。因此本文以體積最小為第一優(yōu)化目標(biāo)、以高重合度為第二優(yōu)化目標(biāo)來(lái)構(gòu)建少齒差齒輪傳動(dòng)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。即

f1(x)=v,f2(x)=ε.

(3)

(4)

(5)

第二目標(biāo)函數(shù)為重合度。重合度是衡量齒輪傳動(dòng)的平穩(wěn)性的重要指標(biāo)，對(duì)于減震降噪具有重要研究意義。

f2(x)=ε=

(6)

式中：α′為嚙合角；z1,z2和αa1,αa2分別為行星輪和內(nèi)齒輪的齒數(shù)及齒頂圓壓力角。其中

(7)

(8)

齒頂高縮短系數(shù)

σ=λ-(x2-x1)

(9)

中心距變動(dòng)系數(shù)

(10)

2.2 設(shè)計(jì)變量

X=[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7]T=

(11)

2.3 約束條件的建立

2.3.1 強(qiáng)度約束條件 由于本文的工況條件為重載傳動(dòng)，所以少齒差行星傳動(dòng)在滿足體積小的同時(shí)，又要滿足齒根彎曲疲勞強(qiáng)度和接觸疲勞強(qiáng)度的要求。根據(jù)已有的參考文獻(xiàn)和設(shè)計(jì)手冊(cè)齒根彎曲疲勞強(qiáng)度

(12)

齒面接觸疲勞強(qiáng)度

ZH·ZE≥0

(13)

K=KAKVKαKβ

(14)

式中：KA為使用系數(shù)；KV為動(dòng)載系數(shù)；Kα為載荷分配系數(shù)；Kβ為齒向載荷分布系數(shù)。

[σF]、[σH]分別為許用彎曲應(yīng)力和許用接觸應(yīng)力，φd為齒寬系數(shù)，T為輸入扭矩，YFa為齒形系數(shù)，YSa為應(yīng)力校正系數(shù)，u為傳動(dòng)比，ZH為區(qū)域系數(shù)，在本文中取α=20°，所以取ZH=2.5，ZE為彈性影響系數(shù)，z為齒數(shù)，m為模數(shù)。這些系數(shù)值都可以根據(jù)具體的工況和材料查表選取。

2．3.2 性能及幾何約束條件

頂隙約束條件

g3(x)=rj2-C*m-ra1≥0

(15)

式中C*為頂隙系數(shù)；rj2為內(nèi)齒輪齒根圓半徑；ra1為行星輪齒頂圓半徑。

少齒差行星傳動(dòng)中由于兩齒輪齒數(shù)相差很少，在非嚙合區(qū)容易產(chǎn)生齒廓重疊干涉，因此必須防止產(chǎn)生重疊干涉[5]。

g4(x)=z1(invαa1+δ1)-

z2(invαa2+δ2)+(z1-z2)invα'≥0

(16)

為保證少齒差行星傳動(dòng)平穩(wěn)，其重合度g5(x)=ε-1≥0。

為保證重載傳動(dòng)中齒根的彎曲疲勞強(qiáng)度，參照設(shè)計(jì)手冊(cè)，其模數(shù)m應(yīng)大于3。即g6=m-3≥0。

其小齒輪做懸臂布置，參照設(shè)計(jì)手冊(cè)[6]，其齒寬系數(shù)0.2≤Φd≤0.6。

從以上目標(biāo)函數(shù)及約束條件可知，少齒差行星傳動(dòng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型為

min[f1(x)-f2(x)]

X=[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7]

s.tgj(x)≥0j=1,2,…,7

3 優(yōu)化求解

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)和優(yōu)化函數(shù)有模糊參數(shù)時(shí)，其約束函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)就既有其本身的模糊性又會(huì)有其邊界的模糊和各目標(biāo)相互間的模糊性，所以用一般的多目標(biāo)優(yōu)化方法去解決問(wèn)題常常會(huì)有一定的局限性[7]，本文研究對(duì)象可以采用多目標(biāo)模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)法，把式(1)的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為

x=[x1,x2，…，xn]∈X?Rn

maxα(x)

s.t．β(x)≥λ

(18)

式中β(x)為模糊約束集合的滿足度；λ為給定的模糊約束的設(shè)防水平。

在[0,1]區(qū)間上取一系列的λ值，即可獲得一系列不同設(shè)計(jì)水平的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案，它們構(gòu)成了模糊問(wèn)題的優(yōu)化設(shè)計(jì)解集。本優(yōu)化模型求解步驟如下。

表1 影響因素及等級(jí)劃分

2)選擇備擇集。由于評(píng)判對(duì)象截集水平λ取值范圍在[0,1]之間，根據(jù)設(shè)計(jì)要求及使用情況其備擇集取

3)確定各因素的權(quán)重集。按表1中的5個(gè)使用及制造因素，根據(jù)具體情況取其各因素的權(quán)重為

4)根據(jù)其制造水平、設(shè)計(jì)水平和材料屬性等，確定其評(píng)判矩陣

5)根據(jù)權(quán)重集合評(píng)判矩陣求出模糊綜合評(píng)判集，從而得到最優(yōu)截集水平λ*。

通過(guò)加權(quán)平均法求出最優(yōu)截集水平

因此得到最優(yōu)截集水平集λ*=0.75，把模糊問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一般的優(yōu)化問(wèn)題。

6)通過(guò)一般的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，把原始數(shù)據(jù)及工況條件輸入電腦，通過(guò)MATLAB普通線性約束計(jì)算得到優(yōu)化結(jié)果[8]。表2為一般設(shè)計(jì)與模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)的對(duì)照表。

表2 優(yōu)化設(shè)計(jì)對(duì)照表

通過(guò)表2，可知模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)后的體積比常規(guī)設(shè)計(jì)的體積減少了22.8%，其重合度提高了16.5%。

[1] 范元?jiǎng)?，王華坤. 基于遺傳算法的少齒差行星齒輪傳動(dòng)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造工程，2002,31(06)：16-18.

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[責(zé)任編校： 張 眾]

Multi-objectve Optimization Design of Differential Gear with Few Tooth Based on Fuzzy Algorithm

GONG Fayun，QIAN Kun，TANG Liang

(SchoolofMechanicalEngin.，HubeiUniv.ofTech.,Wuhan430068,China)

Based on the basic theory of optimization design of fuzzy algorithm, this paper mainly researches the running state of fewer teeth difference planetary gears reducer and its relevant working conditions. Taking advantage of the transmission characteristic of gear pair with small teeth difference, the authors built a mathematical model of planetary gear reducer and optimized the geometric parameters of few-tooth-difference planetary wheel by establishing the objective function of gear size and contact ratio. Besides, after comparing the results obtained from the normal design with the results of optimization design of fuzzy algorithm, the authors find that both gear size and contact ratio of fewer teeth difference planetary transmission were optimized.

fuzzy algorithm ;few tooth difference ;optimum design ;objective function

2015-04-20

龔發(fā)云(1964-)，男，湖北鄂州人，湖北工業(yè)大學(xué)教授，研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)及輕工機(jī)械設(shè)計(jì)

1003-4684(2015)04-0051-03

TH122

A