劉新紅　孟生旺

摘要在假設(shè)各個(gè)業(yè)務(wù)線的增量已決賠款服從伽瑪分布、逆高斯分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布的基礎(chǔ)上， 建立了各個(gè)業(yè)務(wù)線增量已決賠款的GAMLSS模型， 并將此模型應(yīng)用于一組具有明顯異方差的車險(xiǎn)數(shù)據(jù)， 擬合效果優(yōu)于均值回歸模型. 另外， 在多個(gè)業(yè)務(wù)線的準(zhǔn)備金估計(jì)中， 不同業(yè)務(wù)線之間的相依性通過(guò)藤Copula函數(shù)來(lái)描述. 用D藤Copula描述相依關(guān)系的GAMLSS模型對(duì)準(zhǔn)備金的評(píng)估結(jié)果既優(yōu)于獨(dú)立假設(shè)下的GAMLSS模型和鏈梯法對(duì)準(zhǔn)備金的評(píng)估結(jié)果，同時(shí)還刻畫了不同業(yè)務(wù)線之間的尾部相依性.

關(guān)鍵詞非壽險(xiǎn)；準(zhǔn)備金；相依風(fēng)險(xiǎn)；藤Copula；GAMLSS模型

中圖分類號(hào)F222.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

AbstractUnder the assumption that the incremental paid claims of every line of business follow gamma distribution， inverseGaussian distribution and lognormal distribution， respectively， the corresponding GAMLSS models were established. The models were applied to a heteroscedastic data set of auto insurance claims， and the result shows that GAMLSS models are superior to mean regression models in predicting outstanding claim reserve. In practice， different lines of insurance business are， to some extent and their dependence can be captured by Vine Copula functions. The corresponding Vine Copula and GAMLSS models were established. The result shows that D Vine Copulabased GAMLSS model is superior to independent GAMLSS models and Chain Ladder method in claims reserving， and it also describes the tail dependence of different lines of business.

Key words nonlife insurance； reserve； dependent risks； Vine Copula； GAMLSS

1引言

非壽險(xiǎn)公司資產(chǎn)負(fù)債表上金額最大的負(fù)債項(xiàng)目是賠款準(zhǔn)備金. 鏈梯法、案均賠款法、準(zhǔn)備金進(jìn)展法、BF法和廣義線性模型等都是針對(duì)單個(gè)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的準(zhǔn)備金評(píng)估方法， 這些方法的一個(gè)共同特點(diǎn)是僅對(duì)賠款準(zhǔn)備金的均值進(jìn)行預(yù)測(cè)沒(méi)有考慮數(shù)據(jù)中的異方差性. 本文對(duì)單個(gè)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的準(zhǔn)備金評(píng)估采用基于位置、尺度、形狀參數(shù)的廣義可加模型（GAMLSS）1， 從而可以處理數(shù)據(jù)中的異方差現(xiàn)象. GAMLSS模型假定響應(yīng)變量服從比指數(shù)分布族更廣的一類分布， 系統(tǒng)部分可建立位置、尺度和形狀參數(shù)與解釋變量的回歸模型.

在多個(gè)業(yè)務(wù)線的準(zhǔn)備金估計(jì)中， 通常假設(shè)不同業(yè)務(wù)線之間相互獨(dú)立， 事實(shí)上它們之間往往存在一定的相依關(guān)系. 如Braun、Schmidt、Merz、Zhang等2-5針對(duì)累積已決賠款采用多元鏈梯法、多元加性方法等評(píng)估未決賠款準(zhǔn)備金. 而針對(duì)增量已決賠款， Peng和Frees6通過(guò)Copula回歸模型解決了兩個(gè)業(yè)務(wù)線在相依情況下的準(zhǔn)備金評(píng)估問(wèn)題； Jong7通過(guò)Copula函數(shù)和因子分析法研究了多個(gè)業(yè)務(wù)線的準(zhǔn)備金評(píng)估問(wèn)題. Copula是一種通過(guò)單個(gè)變量的邊緣分布構(gòu)造多個(gè)變量的聯(lián)合分布的數(shù)學(xué)方法， 可以將多元隨機(jī)變量的邊緣分布和它們之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)分開研究， 相關(guān)結(jié)構(gòu)不受邊緣分布的限制. 多元Gaussian Copula和多元t Copula描述的相關(guān)結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的， 并且Gaussian Copula沒(méi)有尾部相依特征；在多元阿基米德Copula函數(shù)中， 一個(gè)或者兩個(gè)參數(shù)就代表了任意兩個(gè)變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)， 且相關(guān)結(jié)構(gòu)相同. 可見(jiàn)常用的多元Copula函數(shù)解決多個(gè)變量之間的相依關(guān)系存在著很多限制. 又由于多元問(wèn)題存在著高維災(zāi)難， Joe8、Bedford和Cooke9提出了基于二元Copula函數(shù)（即PairCopulas）的藤Copula， 它通過(guò)將多元分布分解為多個(gè)PairCopulas函數(shù)， 有效解決了多個(gè)隨機(jī)變量之間的相依性， 結(jié)構(gòu)更加靈活. 藤Copula在實(shí)際領(lǐng)域的應(yīng)用已經(jīng)受到一定關(guān)注， 可參見(jiàn)Aas和Czado10， Brechmann和Schepsmeier11.

本文將藤Copula應(yīng)用于國(guó)內(nèi)汽車保險(xiǎn)的賠款數(shù)據(jù). 在汽車保險(xiǎn)中， 保險(xiǎn)公司通常會(huì)同時(shí)承保交強(qiáng)險(xiǎn)、商業(yè)三責(zé)險(xiǎn)、車損險(xiǎn)和其他各種附加險(xiǎn). 由于每個(gè)業(yè)務(wù)線的增量已決賠款都具有異方差性， 本文假設(shè)每個(gè)業(yè)務(wù)線的增量已決賠款分別服從伽瑪分布、逆高斯分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布的基礎(chǔ)上， 建立了兩類GAMLSS模型， 并應(yīng)用藤Copula描述不同業(yè)務(wù)線之間的相依關(guān)系. PairCopulas主要采用Gaussian Copula、t Copula、Clayton Copula、Gumble Copula、Frank Copula、Joe Copula、BB1 Copula、BB6 Copula、BB7 Copula和BB8 Copula以及它們的旋轉(zhuǎn)Copula. 本文將GAMLSS模型與藤Copula結(jié)合， 建立了基于藤Copula的GAMLSS模型， 并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了此模型的優(yōu)越性. 目前所知， 在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中尚未看到基于藤Copula的GAMLSS模型及其對(duì)多個(gè)業(yè)務(wù)線準(zhǔn)備金進(jìn)行預(yù)測(cè)的研究成果.

2單個(gè)業(yè)務(wù)線的準(zhǔn)備金評(píng)估與GAMLSS模型

2.1準(zhǔn)備金評(píng)估的基本假設(shè)

傳統(tǒng)的非壽險(xiǎn)準(zhǔn)備金評(píng)估都是分別對(duì)每個(gè)業(yè)務(wù)線建模， 建模的數(shù)據(jù)通常以流量三角形的形式給出. 本文使用的原始數(shù)據(jù)是我國(guó)某財(cái)險(xiǎn)公司的車險(xiǎn)業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)， 包括機(jī)動(dòng)車輛法定第三者責(zé)任險(xiǎn)（簡(jiǎn)稱交強(qiáng)險(xiǎn)）、機(jī)動(dòng)車輛商業(yè)第三者責(zé)任險(xiǎn)（簡(jiǎn)稱商業(yè)三責(zé)險(xiǎn)）、機(jī)動(dòng)車輛車體損失險(xiǎn)（簡(jiǎn)稱車損險(xiǎn)）和機(jī)動(dòng)車輛其他附加險(xiǎn)（簡(jiǎn)稱其他附加險(xiǎn)）. 數(shù)據(jù)是從2007年1月到2009年12月再保前的已賺保費(fèi)和累積已決賠款. 評(píng)估日為2009年12月， 事故期和進(jìn)展期的長(zhǎng)度都為一個(gè)季度.

在上述三個(gè)分布中， μ是位置參數(shù)， σ是尺度參數(shù). 尺度參數(shù)可以用于描述數(shù)據(jù)的分散程度和厚尾性. 在通常的準(zhǔn)備金評(píng)估模型中， 僅對(duì)均值參數(shù)建立回歸模型， 而假設(shè)尺度參數(shù)是恒定的. 但從表1可以明顯看出， 四條業(yè)務(wù)線在各個(gè)事故季的樣本方差存在明顯差異. 若僅對(duì)均值參數(shù)建立回歸模型， 則意味著尺度參數(shù)和形狀參數(shù)都是常數(shù)， 這與實(shí)際數(shù)據(jù)的特點(diǎn)不符. 本文將采用GAMLSS模型， 同時(shí)建立位置參數(shù)和尺度參數(shù)的回歸模型.在假設(shè)交強(qiáng)險(xiǎn)、商業(yè)三責(zé)險(xiǎn)、車損險(xiǎn)和其他附加險(xiǎn)的增量已決賠款分別服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布、伽瑪分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布的條件下， 選取擬合效果最好的GAMLSS模型. 在該估計(jì)中， 增量已決賠款的回歸模型中解釋變量包括進(jìn)展季和事故季， 基準(zhǔn)時(shí)間是事故季1和進(jìn)展季1， 回歸系數(shù)顯著不為零. 前23個(gè)解釋變量為均值提供解釋， 后23個(gè)解釋變量為尺度參數(shù)提供解釋. 從估計(jì)結(jié)果可以看出， 隨著進(jìn)展季的發(fā)展， 增量已決賠款呈現(xiàn)遞減趨勢(shì)， 而隨著事故季的增加， 增量已決賠款呈現(xiàn)出震蕩變化形態(tài).

4.24條業(yè)務(wù)線增量已決賠款的相依關(guān)系

在汽車保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中， 條業(yè)務(wù)線之間的增量已決賠款往往是相關(guān)的. 隨機(jī)變量之間的聯(lián)合分布可以應(yīng)用藤Copula函數(shù)來(lái)刻畫， 相關(guān)性的大小可通過(guò)Kendalls τ相關(guān)系數(shù)來(lái)衡量.

對(duì)于本文研究的汽車保險(xiǎn)賠款數(shù)據(jù)， 表3的上三角形中給出了4條業(yè)務(wù)線增量已決賠款之間的Pearson相關(guān)系數(shù)， 表3的下三角形中給出了4條業(yè)務(wù)線增量已決賠款的Kendalls τ相關(guān)系數(shù). 所有相關(guān)系數(shù)的值都表明， 4條業(yè)務(wù)線之間的增量已決賠款是高度正相關(guān)的. 這種現(xiàn)象很可能是由于一些共同影響因素造成的， 如日歷年的通貨膨脹、保險(xiǎn)政策等都會(huì)導(dǎo)致增量賠款的正向相依性.

增量已決賠款之間的正向相依關(guān)系， 可以通過(guò)藤Copula函數(shù)進(jìn)行描述. 在不同的藤結(jié)構(gòu)圖中，4個(gè)業(yè)務(wù)線都需要6個(gè)PairCopulas來(lái)描述它們之間的兩兩相依關(guān)系. 通過(guò)逐個(gè)試驗(yàn)， 本文選取了使似然函數(shù)達(dá)到最大的6個(gè)PairCopulas函數(shù)， 如表4所示. 二元Copula函數(shù)的名稱及括號(hào)內(nèi)的數(shù)字表示這兩個(gè)變量之間的相依關(guān)系通過(guò)此Copula函數(shù)來(lái)描述. 根據(jù)圖1， 在C藤結(jié)構(gòu)中的隨機(jī)變量1、2、3和4分別表示其他附加險(xiǎn)、車損險(xiǎn)、交強(qiáng)險(xiǎn)和商業(yè)三責(zé)險(xiǎn)的增量已決賠款. 在C藤結(jié)構(gòu)中， 旋轉(zhuǎn)90°的Joe（23|1）表示在其他附加險(xiǎn)增量已決賠款給定的條件下， 車損險(xiǎn)增量已決賠款和交強(qiáng)險(xiǎn)增量已決賠款之間的相依關(guān)系通過(guò)旋轉(zhuǎn)90°的Joe Copula函數(shù)來(lái)描述. PairCopulas函數(shù)中的參數(shù)估計(jì)方法使用了序列似然估計(jì)法和最大似然估計(jì)法. 序列似然估計(jì)法是從藤結(jié)構(gòu)的最上層出發(fā)， 依次得到每個(gè)二元Copula參數(shù)的極大似然估計(jì)值； 最大似然估計(jì)法是直接寫出所有樣本的似然函數(shù)， 在最大化似然函數(shù)的條件下估計(jì)其中的所有參數(shù). 兩種方法的估計(jì)結(jié)果非常接近， 如表4所示. 由PairCopulas函數(shù)中的參數(shù)估計(jì)值可以得到每對(duì)相依關(guān)系的kendalls τ值， 即表4中T值. 在C藤結(jié)構(gòu)中， 如果給定其他附加險(xiǎn)的已決賠款， 則車損險(xiǎn)與交強(qiáng)險(xiǎn)、車損險(xiǎn)與商業(yè)三責(zé)險(xiǎn)的增量已決賠款之間的kendalls τ值分別為-0.080 4和 -0.047 9. 其他業(yè)務(wù)線之間存在著一定的正相依關(guān)系. 根據(jù)圖2， 在D藤結(jié)構(gòu)中隨機(jī)變量1、2、3和4分別表示車損險(xiǎn)、商業(yè)三責(zé)險(xiǎn)、交強(qiáng)險(xiǎn)和其他附加險(xiǎn)的增量已決賠款. 在D藤結(jié)構(gòu)中， 業(yè)務(wù)線之間都存在著一定的正相依關(guān)系.

AIC值分別為-25.227 8、-25.798 6、-25.801 9和-26.050 0. 從AIC的角度看， D藤與C藤?zèng)]有顯著差異， 但考慮到D藤結(jié)構(gòu)比C藤結(jié)構(gòu)更加靈活， 所以本文選取D藤結(jié)構(gòu)描述不同業(yè)務(wù)線之間的相依關(guān)系. 根據(jù)Joe等14的結(jié)論， 只要第一層的PairCopulas中有反映尾部相依性的Copula函數(shù)， 那么藤結(jié)構(gòu)的多元隨機(jī)變量的相依關(guān)系中就能體現(xiàn)出尾部相依. 在C藤結(jié)構(gòu)中， 第一層的PairCopulas中沒(méi)有反映尾部相依性的Copula函數(shù)， 藤結(jié)構(gòu)的多元隨機(jī)變量的相依關(guān)系沒(méi)能體現(xiàn)出尾部相依. 而在D藤結(jié)構(gòu)中， 第一層的Joe Copula和Survial Gumble Copula都有尾部相關(guān)系數(shù). 交強(qiáng)險(xiǎn)和商業(yè)三責(zé)險(xiǎn)的增量已決賠款的下尾相關(guān)系數(shù)為0.270 1， 說(shuō)明交強(qiáng)險(xiǎn)的增量已決賠款出現(xiàn)較小值時(shí)， 商業(yè)三責(zé)險(xiǎn)的增量已決賠款出現(xiàn)較小值的概率為0.270 1. 商業(yè)三責(zé)險(xiǎn)和車損險(xiǎn)的增量已決賠款的上尾相關(guān)系數(shù)為0.156 9， 說(shuō)明商業(yè)三責(zé)險(xiǎn)出現(xiàn)大額增量已決賠款時(shí)， 車損險(xiǎn)以0.156 9的概率出現(xiàn)大額增量已決賠款.

4.34條業(yè)務(wù)線未決賠款準(zhǔn)備金的評(píng)估

聯(lián)合式（1）、式（2）、表2和表4的結(jié)果， 即可得到基于藤Copula的GAMLSS模型， 并可以應(yīng)用IFM方法15估計(jì)藤Copula和GAMLSS模型中的參數(shù). 本文使用兩種方法分別對(duì)4條業(yè)務(wù)線的未決賠款準(zhǔn)備金進(jìn)行了預(yù)測(cè). 其中“D”表示基于D藤結(jié)構(gòu)的GAMLSS模型II對(duì)準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)值， “L”表示鏈梯法對(duì)準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)值. 基于D藤結(jié)構(gòu)的GAMLSS模型結(jié)果是通過(guò)蒙特卡洛方法模擬100 000組數(shù)據(jù)得到的. 聯(lián)合表2和表4的結(jié)果，4條業(yè)務(wù)線的增量未決賠款如表5所示.

若采用GAMLSS模型II， 但不考慮4條業(yè)務(wù)線之間的相依關(guān)系， 使用前文給每個(gè)業(yè)務(wù)線選定的最優(yōu)分布假設(shè)， 可以求得對(duì)數(shù)正態(tài)回歸模型對(duì)交強(qiáng)險(xiǎn)準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)值為59 175千元， 伽瑪回歸模型對(duì)商業(yè)三責(zé)險(xiǎn)準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)值為20 623千元， 對(duì)數(shù)正態(tài)回歸模型對(duì)車損險(xiǎn)準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)值為16 118千元， 對(duì)數(shù)正態(tài)回歸模型對(duì)其他附加險(xiǎn)準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)值為8 850千元. 在相互獨(dú)立的假設(shè)下， 4個(gè)業(yè)務(wù)線的未決賠款準(zhǔn)備金之和為104 766千元， 這比基于D藤結(jié)構(gòu)的GAMLSS模型II的預(yù)測(cè)值少36千元. 若采用GAMLSS模型I， 不考慮4個(gè)業(yè)務(wù)線之間的相依關(guān)系， 并使用最優(yōu)分布假設(shè)， 則伽瑪回歸模型對(duì)交強(qiáng)險(xiǎn)準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)值為55 696千元， 伽瑪回歸模型對(duì)商業(yè)三責(zé)險(xiǎn)準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)值為21 132千元， 對(duì)數(shù)正態(tài)回歸模型對(duì)車損險(xiǎn)準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)值為17 207千元， 對(duì)數(shù)正態(tài)回歸模型對(duì)其他附加險(xiǎn)準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)值為10 504千元. 在相互獨(dú)立的假設(shè)下， 四個(gè)業(yè)務(wù)線的未決賠款準(zhǔn)備金之和為104 539千元， 這比基于D藤結(jié)構(gòu)的GAMLSS模型II的預(yù)測(cè)值少了263千元. 可見(jiàn)， 忽略業(yè)務(wù)線之間正向相依關(guān)系的準(zhǔn)備金預(yù)測(cè)結(jié)果都是偏低的.

對(duì)于存在正向相依關(guān)系的風(fēng)險(xiǎn)， 各種風(fēng)險(xiǎn)的VaR值之和會(huì)大于獨(dú)立假設(shè)下的VaR值之和16. 如果忽略不同業(yè)務(wù)線之間的相依性， 就有可能低估實(shí)際的準(zhǔn)備金風(fēng)險(xiǎn). 基于D藤結(jié)構(gòu)的GAMLSS模型II既考慮了4個(gè)業(yè)務(wù)線之間的相依性， 又考慮了數(shù)據(jù)之間的異方差性， 因此對(duì)準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)結(jié)果更加合理.

5結(jié)論

在汽車保險(xiǎn)中， 如果假設(shè)交強(qiáng)險(xiǎn)、商業(yè)三責(zé)險(xiǎn)、車損險(xiǎn)和其他附加險(xiǎn)相互獨(dú)立， 并且分別估計(jì)它們的準(zhǔn)備金， 則很有可能會(huì)低估保險(xiǎn)公司面臨的未決賠款準(zhǔn)備金風(fēng)險(xiǎn). 本文通過(guò)一個(gè)實(shí)例驗(yàn)證了汽車保險(xiǎn)的4個(gè)業(yè)務(wù)線之間存在正向相依關(guān)系， 并利用C藤和D藤結(jié)構(gòu)的PairCopulas函數(shù)刻畫了它們之間的相依關(guān)系. 由于在D藤結(jié)構(gòu)的第一層中存在著反映尾部相依關(guān)系的二元PairCopulas， 所以選取D藤結(jié)構(gòu)也體現(xiàn)了4個(gè)業(yè)務(wù)線增量已決賠款的尾部相依性. 本文應(yīng)用汽車保險(xiǎn)的實(shí)際賠款數(shù)據(jù)， 將基于D藤結(jié)構(gòu)的GAMLSS模型II、獨(dú)立假設(shè)下的GAMLSS模型II、GAMLSS模型I和鏈梯法進(jìn)行了比較， 結(jié)果表明， D藤結(jié)構(gòu)可以較好地描述4個(gè)業(yè)務(wù)線之間的相依關(guān)系， 而GAMLSS模型可以解決具有異方差的準(zhǔn)備金數(shù)據(jù)， 因此， 基于D藤結(jié)構(gòu)的GAMLSS模型對(duì)準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)結(jié)果要優(yōu)于獨(dú)立假設(shè)下的GAMLSS模型和鏈梯法.

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