夏芳

基于HPM視角數(shù)學歸納法教學后學生的認知研究

夏芳

數(shù)學歸納法是證明數(shù)學命題的一種方法，是中學數(shù)學的重要內(nèi)容，同時也是教學的難點。有些學生能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，做到舉一反三，真正理解數(shù)學歸納法并將其深記于心；有些學生只會死記步驟，而不會具體應用。近年來，隨著中學教育的改革，HPM理念逐漸應用于數(shù)學教學中。本文以數(shù)學歸納法為載體，將數(shù)學史融入數(shù)學歸納法教學中，對學生的認知進行研究。

HPM；數(shù)學歸納法；學生認知

一、研究背景

數(shù)學歸納法在數(shù)學上通常是用來證明與自然數(shù)N有關(guān)命題的一種特殊方法，主要研究的是與正整數(shù)相關(guān)的數(shù)學問題，在高中數(shù)學教學中常用來證明等式成立或數(shù)列通項公式的成立。數(shù)學歸納法歷來作為高中數(shù)學教學中的難點，僅有極少數(shù)的學生能夠真正掌握數(shù)學歸納法的原理、發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律并將其應用于不同形式的數(shù)學問題中。大多數(shù)學生對數(shù)學歸納法的掌握僅限于死記硬背公式及解題步驟的生搬硬套，沒有真正理解，不能做到靈活應用。

近年來，HPM在我國數(shù)學教學中發(fā)展迅速，許多關(guān)于HPM的研究性文章及綜述性文章出現(xiàn)于HPM領域，基本上包括了HPM的研究現(xiàn)狀及未來的發(fā)展趨勢。本文主要從HPM的視角對學生進行數(shù)學歸納法教學，進而研究教學后學生的認知。

二、學生在數(shù)學歸納法學習過程中的難點

數(shù)學歸納法作為數(shù)學教學的難點，讓每位教師又愛又恨，愛的是數(shù)學歸納法證明題規(guī)律的巧妙性，恨的是使學生理解數(shù)學歸納法的原理是多么的困難。數(shù)學歸納法證明一般包括運用所掌握的數(shù)學歸納法知識進行的基礎步驟和運用數(shù)學歸納法對規(guī)律進行的遞推步驟。對學生能力的要求較高，即在掌握一定數(shù)學歸納法知識的基礎上證明基礎步驟的能力，在掌握了數(shù)學歸納法一般規(guī)律及相關(guān)原理的基礎上證明遞推步驟的能力，在兩者的基礎上將題目的答案以正確形式展示出來的能力。鑒于以上種種能力要求，學生在學習數(shù)學歸納法的過程中出現(xiàn)很多困難和錯誤，導致對數(shù)學歸納法的認知水平存在較大差異。

首先，對數(shù)學歸納法的概念理解困難。很多學生對于由P（k）推導P（k+1）的概念不理解，經(jīng)常會出現(xiàn)“若不知道P（k）能否成立，又怎樣去推導P（k+1）”這樣的問題。相關(guān)研究表明，很多學生認為遞推就是把一個關(guān)于n的等式，在等號的兩邊添加某些項使其變成一個關(guān)于n+1的相似等式。因此，他們將數(shù)學歸納法理解為由單個數(shù)學例子得出一個一般化結(jié)論的技術(shù)性操作。在解題過程中，大多數(shù)學生并不能理解數(shù)學歸納法的內(nèi)涵，只是單純地套用一個例子的模式。學生學習數(shù)學歸納法的概念時，不能理解從P（1）跳躍到P（k）進而推導出P（k+1），解題過程中常常漏掉這一步，而丟掉這一步證明得到的結(jié)果是錯誤的。

其次，有些學生具有基礎步驟理解的能力，可以理解第一步n=1的情況，但是對于復雜一點的情況卻不能應用數(shù)學歸納法給予證明。第二步是數(shù)學歸納法教學中的難點，學生在學習的過程中容易形成思維定式，認為數(shù)學歸納法就是由P（k）成立去推導P（k+1）也成立，而沒有意識到這種情況有時候是不成立的，有些題目是由P（k）成立去推導P（k+2）也成立，這些疏忽會給學生對數(shù)學歸納法的學習帶來一定的困難。

再次，部分學生不能正確使用總和符號，不能正確使用基本代數(shù)論證，他們在遞推步驟中，應用n去代替k+1的過程中出現(xiàn)困難。除了上述提到的困難之外，Ernest把學生學習數(shù)學歸納法時出現(xiàn)的錯誤理解分為6大類。我國學者認為，這些困難與相關(guān)錯誤出現(xiàn)的主要原因是學生對數(shù)學歸納法的原理理解不夠透徹，而且在遞推步驟的證明過程中存在多變、不易操作及學生對歸納假設存在疑慮等原因，導致在使用數(shù)學歸納法進行數(shù)學題證明的過程中常常出現(xiàn)錯誤。

三、HPM視角下數(shù)學歸納法教學

為使學生更好地理解掌握數(shù)學歸納法的相關(guān)知識，培養(yǎng)學生應用數(shù)學歸納法解決數(shù)學問題的能力，應將數(shù)學知識的歷史演進脈絡（數(shù)學史）有效融合到數(shù)學歸納法教學中，使學生在理解相關(guān)數(shù)學知識的基礎上，更加科學準確地理解數(shù)學歸納法的原理與本質(zhì)。將數(shù)學史融入數(shù)學歸納法的教學中，可以使教學更加符合學生的認知水平，避免數(shù)學歸納法的相關(guān)原理抽象地出現(xiàn)在學生面前，更利于他們對數(shù)學歸納法的理解，提高其學習興趣，激發(fā)探索數(shù)學知識的情趣，增強自信心。

融入HPM的數(shù)學歸納法教學案例。

引入歷史，呈現(xiàn)問題：在印度，有一個古老的傳說，大梵天創(chuàng)造世界的時候做了三根金剛石柱子，在一根柱子上從下往上按照大小順序摞著64片黃金圓盤。大梵天命令婆羅門把圓盤從下面開始按大小順序重新擺放在另一根柱子上。并且規(guī)定，在小圓盤上不能放大圓盤，在三根柱子之間一次只能移動一個圓盤。教師拿出課前準備好的漢諾塔模型，通過游戲引導學生探索問題，并進行歸納猜想，尋找其中的規(guī)律。

教師提出是否可以運用比較簡單的方式來代替這個煩瑣的遞進關(guān)系，進而運用遞推證明教師所提出的一般性規(guī)律。首先驗證n=1時規(guī)律的成立，再假設n=k時規(guī)律也成立，這時k大于等于1，由n=k時成立我們推導出n=k+1時也成立，那么得出該規(guī)律對于所有的正整數(shù)都成立。

提出數(shù)學問題，進行猜想驗證：比較n2與2n的大小。首先讓學生進行歸納猜想，老師通過引導使學生對猜想進行驗證。

通過以上的教學及學生思考，教師對數(shù)學歸納法的原理進行敘述。根據(jù)以上的解題思路，可以將其分為兩步，一是基礎步驟，也就是n取第一個值的時候，這里需要注意的是n的第一個取值不一定都是1，咱們將其設為n0，這時命題成立；二是遞推步驟，也就是假設n=k時，命題成立，n=k+1時，命題也成立，這時k必須滿足k大于等于n0，且屬于自然數(shù)，這時就可以將該命題從n=n0開始都成立，這就是我們今天要學習的數(shù)學歸納法。

最后通過練習來鞏固數(shù)學歸納法。

四、基于HPM視角數(shù)學歸納法教學后學生認知的研究

把古老的漢諾塔傳說引到數(shù)學歸納法教學中，可以有效激發(fā)學生的學習興趣及強烈的探知欲望，極短的時間內(nèi)就可以讓學生經(jīng)歷挫折的沮喪及成功的喜悅，親身體驗從猜想到結(jié)論規(guī)律論證的整個過程，進而培養(yǎng)學生科學嚴謹?shù)臄?shù)學學習態(tài)度及發(fā)散思維。課程融入數(shù)學史之后，學生普遍對數(shù)學歸納法的原理掌握較好。學生通過探究問題認識到了數(shù)學的價值，認識到數(shù)學問題存在于日常生活之中，來自于平凡的生活，也應用于平凡的生活，認識到數(shù)學知識的靈活性。同時也了解到歷史上的先人早就在應用這些知識，可以有效激發(fā)學生的探究欲望。在課堂中教師運用古代傳說引出問題，激發(fā)學生進行猜想，使課堂上的每一位學生都激情四射，積極進行思考。同時，也有利于其在日常生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，激發(fā)學生的好奇心，增強數(shù)學邏輯思維能力；融入數(shù)學史的數(shù)學歸納法教學在一定程度上促進學生的情感態(tài)度及價值觀念的發(fā)展。傳統(tǒng)的數(shù)學歸納法教學及固定模式的題型，教給學生的只是標準的答案，使學生在問題解答的時候，只能依照固定的答題步驟，生搬硬套，不利于他們個性的發(fā)展及優(yōu)勢的發(fā)揮。而融入數(shù)學史的教學方法，可以使學生展開想象，真正感悟數(shù)學學習的興趣、樂趣與價值，體會數(shù)學知識與日常生活的聯(lián)系，在獲得成功經(jīng)驗的同時，增強學習數(shù)學的自信心。

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責任編輯：蘇航

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1671-6531（2015）23-0094-02

夏芳/鎮(zhèn)江高等職業(yè)技術(shù)學校講師（江蘇鎮(zhèn)江212001）。