劉慧宏

(寧波大學(xué)商學(xué)院，浙江寧波315211)

經(jīng)濟(jì)與管理

社保基金分賬戶動(dòng)態(tài)組合投資策略

劉慧宏

(寧波大學(xué)商學(xué)院，浙江寧波315211)

考慮社保基金關(guān)聯(lián)賬戶、序貫動(dòng)態(tài)投資的特點(diǎn)，在建立單賬戶安全首要準(zhǔn)則動(dòng)態(tài)組合投資模型基礎(chǔ)上，構(gòu)建分賬戶動(dòng)態(tài)組合投資選擇模型指導(dǎo)投資，分別在無市場(chǎng)摩擦和不允許賣空條件下求出最優(yōu)投資策略，并在各個(gè)分賬戶之間合理分配總賬戶的投資收益。最后通過算例進(jìn)行驗(yàn)證，并分析相關(guān)參數(shù)的影響。

社?；?；安全首要準(zhǔn)則；分賬戶組合投資；收益分配；投資效率

一、引 言

社?；鹱鳛閲?guó)家儲(chǔ)備基金，是老百姓的“養(yǎng)命錢”，在經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展中發(fā)揮“安全網(wǎng)”和“減震閥”作用。然而，據(jù)世界銀行測(cè)算，2001～2075年間中國(guó)社保基金的隱性債務(wù)將達(dá)到91 500億元。社?；鹦枰ㄟ^投資緩解所面臨的保值增值壓力。20世紀(jì)90年代以來，眾多學(xué)者基于均值方差模型對(duì)社?；鹂傎~戶或養(yǎng)老保險(xiǎn)賬戶的投資策略、投資效率等方面進(jìn)行了理論與實(shí)證研究，關(guān)于社?；鹜顿Y運(yùn)營(yíng)的研究成為熱點(diǎn)。[1-2]

我國(guó)社保基金通過委托投資方式投資證券市場(chǎng)，形成不同的委托投資組合。不同委托投資組合之間既獨(dú)立又相關(guān)，共同組成關(guān)聯(lián)賬戶。如果將關(guān)聯(lián)賬戶作為多個(gè)獨(dú)立的單賬戶投資者處理，就忽視了關(guān)聯(lián)賬戶之間的相關(guān)性，使得投資效率有所損失；而如果將關(guān)聯(lián)賬戶簡(jiǎn)單地合成一個(gè)大賬戶看待，就忽視了關(guān)聯(lián)賬戶彼此的獨(dú)立性，使得總賬戶最優(yōu)投資策略難以實(shí)行，所以需要采用分賬戶組合投資策略。

我國(guó)社保基金的籌集與支付存在時(shí)間差。支付是在一個(gè)較長(zhǎng)時(shí)間段內(nèi)完成，特別是采用積累制方法籌集的社?；?，籌集到的資金不但當(dāng)前要支付未來也要支付，也就是說社?；鹦枰L(zhǎng)期支付使用，因此，每個(gè)時(shí)期都需要進(jìn)行投資決策，而且各個(gè)時(shí)期的投資決策(通過社?；鹂傤~)相互影響，存在序貫動(dòng)態(tài)性。社?；鹜顿Y不僅僅是單期投資問題，即使單期投資達(dá)到最優(yōu)，也不一定能實(shí)現(xiàn)社保基金投資最優(yōu)；只有綜合考慮多期投資，才能實(shí)現(xiàn)社?；饎?dòng)態(tài)投資最優(yōu)化。

盡管在實(shí)踐操作中安全首要準(zhǔn)則還沒有得到正式推廣，但安全首要準(zhǔn)則不像方差一樣僅局限在資產(chǎn)的波動(dòng)性上，還反映資產(chǎn)損益的分布情況，是一個(gè)更為綜合性的指標(biāo)。因此安全首要準(zhǔn)則描述風(fēng)險(xiǎn)的思想更加適用于社?；鸬耐顿Y管理。[3]

本文考慮社?；痍P(guān)聯(lián)賬戶投資特點(diǎn)，借鑒多賬戶組合投資思想[4-5]，采用更加適合社保基金投資管理要求的安全首要準(zhǔn)則，建立分賬戶動(dòng)態(tài)組合投資選擇模型指導(dǎo)社?；鹜顿Y，并在各個(gè)分賬戶之間合理分配總賬戶的投資收益，確保最優(yōu)投資策略的實(shí)行，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)分賬戶組合投資策略對(duì)投資效率的改進(jìn)。

二、單賬戶安全首要準(zhǔn)則動(dòng)態(tài)組合投資策略

為了討論社?；鸲嗥谕顿Y問題，本文以安全首要準(zhǔn)則為指導(dǎo)思想，從易到難逐步接近現(xiàn)實(shí)條件，依次討論安全首要準(zhǔn)則下社保基金的單賬戶動(dòng)態(tài)組合投資策略和分賬戶動(dòng)態(tài)組合投資策略。

(一)無市場(chǎng)摩擦條件

1.假設(shè)條件。假設(shè)市場(chǎng)上有一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，r(t)為t時(shí)刻無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的平均收益率，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格S0(t)滿足：

dS0(t)=r(t)S0(t)dt，t∈[0,T]，S0(0)=p0>0

第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格Si(t)滿足：

其中，bi(t)為t時(shí)刻第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)平均收益率，顯然有bi(t)>r(t)，i=(1,2,…,n)，t∈[0,T]，不然理性投資者在組合投資選擇時(shí)會(huì)舍棄不滿足要求的第i種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。σij(t)為第i、j種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的協(xié)方差。令b(t)=(b1(t),b2(t),…,bn(t))T，σ(t)=(σij(t))n×n，σ(t)為n階有限正定方陣。

2.單賬戶安全首要?jiǎng)討B(tài)組合投資選擇模型。具體如下：

上述動(dòng)態(tài)過程也可以表示為矩陣形式：

dW(t)=W(t)(r(t)+BT(t)X(t))dt+W(t)σT(t)X(t)dz(t)，W(0)=W0

其中B(t)=b(t)-r(t)e。

令Y(t)=lnW(t)，則根據(jù)Ito定理可以得到：

兩邊取期望可以得到：

類似的，對(duì)Y2(t)=(lnW(t))2使用Ito定理獲得動(dòng)態(tài)過程，并對(duì)兩邊取期望可以得到：

將dEY(t)表達(dá)式代入，可以得到：

由正態(tài)分布的性質(zhì)可得：

所以我們可以求得：

(P1)

(3)模型求解。對(duì)模型(P1)求解，求解結(jié)果可以概括為定理1。

[定理1]對(duì)于模型(P1)的解，有以下結(jié)論：

①當(dāng)m≥CW0時(shí)，

(A) 若σ-1(t)B(t)2≥|zα|2+2ln(m/(CW0))，

對(duì)應(yīng)的有：

(B) 若σ-1(t)B(t)2|zα|2+2ln(m/(CW0))，

對(duì)應(yīng)的有：

②當(dāng)m

(P2)

(A)在給定ε條件下，需要最優(yōu)化如下問題：

(P3)

(B)選擇ε優(yōu)化模型(P3)的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)，即優(yōu)化模型(P2)的目標(biāo)函數(shù)，得到模型(P4)：

(P4)

求解模型(P4)，可以得到：

(a)當(dāng)m≥CW0時(shí)，

模型(P4)最優(yōu)策略為：ε=σ-1(T)B(T)-|zα|；

模型(P4)最優(yōu)策略為：ε=σ-1(t)B(t)；

模型(P3)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)策略為：

(b)當(dāng)m

模型(P4)最優(yōu)策略為：ε=σ-1(T)B(T)-|zα|；

(c)其他情況，模型無解。

最后，求出模型(P3)的最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的EW(T)與Wmin(T)，即得到定理1。

(二)不允許賣空條件

在現(xiàn)實(shí)市場(chǎng)中有可能存在賣空限制，本文在單賬戶安全首要?jiǎng)討B(tài)組合投資選擇模型的基礎(chǔ)上引入賣空限制條件，討論不允許賣空條件下的單賬戶安全首要?jiǎng)討B(tài)組合投資選擇模型。

1.單賬戶安全首要?jiǎng)討B(tài)組合投資選擇模型。在動(dòng)態(tài)組合投資模型中，賣空限制是指在?t∈[0,T]，X(t)≥0。類似于上面的分析，本文定義不允許賣空條件下的可行解集為：X(t)∈Ψ+={X(t)|X(t)∈Ψ,X(t)≥0}，不允許賣空條件下的單賬戶安全首要準(zhǔn)則動(dòng)態(tài)組合投資選擇模型可以簡(jiǎn)化為模型(P5)：

(P5)

2.模型求解。類似于上面的求解過程，本文可以得到模型(P5)的最優(yōu)策略。

[定理2]對(duì)于模型(P5)的解，有以下結(jié)論：

(1)當(dāng)m≥CW0時(shí)，

對(duì)應(yīng)的有：

(2)當(dāng)m

三、社保基金分賬戶安全首要準(zhǔn)則動(dòng)態(tài)組合投資策略

(一)社?；鸶鱾€(gè)分賬戶安全首要?jiǎng)討B(tài)組合投資模型

(P6)

(P7)

其中，Wmin,j(T)與EWj(T)類似于單賬戶模型中的計(jì)算，可以分別利用定理1與定理2對(duì)模型(P6)與模型(P7)進(jìn)行求解。

(二)社保基金總賬戶安全首要?jiǎng)討B(tài)組合投資選擇模型

本文事先給定社?；鹂傎~戶的風(fēng)險(xiǎn)承受水平α，在此條件下求出總賬戶與分賬戶的最優(yōu)解，然后轉(zhuǎn)化成各個(gè)分賬戶在其自身風(fēng)險(xiǎn)承受水平αj下的最低安全收益水平Wmin,j(T)。

(P8)

類似地，可以得到不允許賣空條件下總賬戶的組合投資模型為：

(P9)

(三)社保基金總賬戶收益在各個(gè)分賬戶的分配

社?；鹱罱K投資是通過總賬戶進(jìn)行的，但總賬戶的投資策略能否實(shí)現(xiàn)取決于各個(gè)分賬戶的配合，因此本文先分析總賬戶的投資收益，然后在各個(gè)分賬戶中合理分配總賬戶收益，以獲得各個(gè)分賬戶的支持。

2.不允許賣空條件下社?；鹂傎~戶收益的分配。具體可分為兩種情況:

(1)不允許賣空條件對(duì)總賬戶投資策略沒有影響。若總賬戶在模型(P8)的最優(yōu)解是模型(P9)的最優(yōu)解的話，不允許賣空條件對(duì)總賬戶投資策略就沒有影響。由于投資是通過總賬戶進(jìn)行的，只要總賬戶的投資策略不需要進(jìn)行賣空，就算某些分賬戶的最優(yōu)投資策略需要進(jìn)行賣空，也可以通過其他分賬戶的做多來抵消，也就使得某些分賬戶可以根據(jù)需要進(jìn)行賣空。各個(gè)分賬戶不受不允許賣空條件的影響，可以實(shí)現(xiàn)無市場(chǎng)摩擦?xí)r的最優(yōu)策略。

表1 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的隨機(jī)過程特征

四、社保基金分賬戶動(dòng)態(tài)組合投資算例

(一)社?；鸱仲~戶動(dòng)態(tài)組合投資策略

假設(shè)市場(chǎng)上有三種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率為：r=0.03。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格服從假設(shè)條件中的動(dòng)態(tài)過程。假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)Si的漂移項(xiàng)bi(t)圍繞常數(shù)水平μi周期性振蕩，形成時(shí)變系數(shù)。使用一階截?cái)嗟母道锶~多項(xiàng)式，將漂移項(xiàng)表示為bi(t)=μi+βicos(φit)?？梢园葱枰{(diào)整振幅系數(shù)βi和頻率系數(shù)φi，這保證了調(diào)節(jié)時(shí)變模型的最大靈活性。特別是頻率可以表示經(jīng)濟(jì)周期或股票動(dòng)態(tài)周期。令μ1=0.08，μ2=0.10，μ3=0.12；φ1=φ2=φ3=φ=0.75，也就是三種股票的經(jīng)濟(jì)周期一樣；而β1=0.75β，β2=0.5β，β3=0.25β，β=0.015，這對(duì)應(yīng)關(guān)于常數(shù)μ的1.5%離差。設(shè)三種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在標(biāo)準(zhǔn)維納過程中對(duì)應(yīng)的波動(dòng)項(xiàng)分別為20%、25%、30%，則三者的隨機(jī)過程特征如下表所示：

另外，假設(shè)三種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間的相關(guān)系數(shù)矩陣為：

令v(t)=diag{v1(t),v2(t),v3(t)}，則可以得到：(σ(t)σ(t)T)-1=v(t)-1ρ(t)-1v(t)-1，因?yàn)棣?t)為對(duì)稱陣，計(jì)算得到：

綜合上面分析，以時(shí)間為橫坐標(biāo)，收益率為縱坐標(biāo)，可以得到三個(gè)股票的實(shí)時(shí)演變(見圖1)，其中左圖為漂移項(xiàng)的實(shí)時(shí)演變，以天為單位，右圖為收益率的實(shí)時(shí)演變，以十天為單位。

圖1 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的實(shí)時(shí)演變

圖2 分賬戶最優(yōu)投資策略

圖3 賬戶最優(yōu)投資策略

(二)社?；鸱仲~戶動(dòng)態(tài)組合投資策略敏感性分析

對(duì)比各個(gè)分賬戶最優(yōu)投資策略，可以發(fā)現(xiàn)，隨著最低期望收益水平的增大，對(duì)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例會(huì)減少；當(dāng)最低期望收益水平高于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)平均收益水平時(shí)，需要進(jìn)行無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)賣空(貸款)實(shí)現(xiàn)投資目標(biāo)，風(fēng)險(xiǎn)水平較高，考慮到社保基金投資的安全性要求，不建議設(shè)置高于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)平均收益水平的收益目標(biāo)。

結(jié)合風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)漂移項(xiàng)的變化與分賬戶動(dòng)態(tài)組合投資的最優(yōu)策略，可以發(fā)現(xiàn)，投資無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例就朝相反方向移動(dòng)。這是由于投資資金總量是一定的，對(duì)某種資產(chǎn)投資比例增加，對(duì)另一種資產(chǎn)投資比例自然減少。當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)期望收益率下降，如圖1(左圖)中r1、r2、r3曲線朝下傾斜部分(大約前2/5的120個(gè)時(shí)刻點(diǎn)及最后1/5的60個(gè)時(shí)刻點(diǎn))，對(duì)應(yīng)的最優(yōu)策略中增加投資無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，減少投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(如圖2或圖3中對(duì)應(yīng)x1、x2、x3減小，x0增大的時(shí)間段)；當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)期望收益率上升，如圖1(左圖)中r1、r2、r3曲線朝上傾斜部分(大約中間2/5的120個(gè)時(shí)刻點(diǎn))，對(duì)應(yīng)的最優(yōu)策略中減少投資無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，增加投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(如圖2或圖3中對(duì)應(yīng)x0減小，x1、x2、x3增大的時(shí)間段)。

另外，注意在資產(chǎn)間投資比例的排序。投資比例最高的是波動(dòng)最小的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)1，這直接可以證明；投資比例第二高的是波動(dòng)最大的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)3，而不是波動(dòng)適中的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)2。這是因?yàn)橄嚓P(guān)矩陣引起多樣化效應(yīng)。不同的相關(guān)矩陣很容易改變這個(gè)排序。

五、結(jié) 論

本文結(jié)合社?；痍P(guān)聯(lián)賬戶投資的特點(diǎn)，考慮社?；鸬幕I集與支付存在時(shí)間差，建立了分賬戶動(dòng)態(tài)組合投資選擇模型，分別在無市場(chǎng)摩擦條件與不允許賣空條件下給出模型最優(yōu)解的解析表達(dá)式及其存在條件，指導(dǎo)社?；鹜顿Y，并在各個(gè)社?；痦?xiàng)目中合理分配投資收益，改善社?；鹜顿Y。最后通過算例說明社?；鸱仲~戶動(dòng)態(tài)組合投資的最優(yōu)策略及其對(duì)相關(guān)參數(shù)的敏感性。

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2015-07-16

國(guó)家社科基金項(xiàng)目(12BGL029)；浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(LY12G01006)

劉慧宏(1977-)，男，浙江衢州人，寧波大學(xué)商學(xué)院副教授，博士。

F830.5；F832.4

A

1674-3199(2015)05-0092-09