☉州高新區(qū)孫紅

一道試題解法的精彩演繹

☉江蘇省蘇州市高新區(qū)第一中學(xué)孫紅

一、原題呈現(xiàn)

例1（1）如圖1，若BC=6，AC=4，∠C=60°，求△ABC的面積；

（2）如圖2，若BC=a，AC=b，∠C=α，求△ABC的面積；

（3）如圖3，在四邊形ABCD中，若AC=m，BD=n，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于O點(diǎn)，它們所成的銳角為β，求四邊形ABCD的面積.

圖1

圖2

圖3

說(shuō)明：這是《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）2014年第8期文1給出的一道關(guān)于三角函數(shù)方面的復(fù)習(xí)題.

評(píng)析：本題源自高中課本，主要目的是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過(guò)程去探索并發(fā)現(xiàn)三角形的面積公式SbcsinA，然后運(yùn)用所發(fā)現(xiàn)的面積公式求已知對(duì)角線(xiàn)及其夾角的四邊形的面積，這也是一個(gè)拓廣應(yīng)用的過(guò)程.本題由問(wèn)題（1）到問(wèn)題（2）凸顯了從特殊到一般的歸納思想，從問(wèn)題（2）中的三角形面積到問(wèn)題（3）中的四邊形面積充分體現(xiàn)了化歸思想，因此，本題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)具有很好的作用.

圖4

文1給出了它的常規(guī)解法之后，展示了學(xué)生給出的精彩解法.為了說(shuō)明問(wèn)題，這里只抄錄精彩解法，常規(guī)解法此處從略.

精彩解法：如圖4，過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線(xiàn)，在平行線(xiàn)上取CM= BD，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥CM，垂足為N，易得S四邊形ABCD=S△ACM.

因?yàn)镃M∥BD，所以∠ACM=∠AOB=β.

思考：不論是常規(guī)解法還是精彩解法，均符合題目考查的意圖，即考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，并應(yīng)用所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論解決實(shí)際問(wèn)題的能力，實(shí)現(xiàn)這一意圖的基本途徑就是將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積計(jì)算.筆者通過(guò)研究學(xué)生的上述解法后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生給出的解法確實(shí)很精彩，其精彩之處在于巧妙地將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積來(lái)計(jì)算.這一精彩的解法是從哪里來(lái)的呢？

文1認(rèn)為：“本題給予了一個(gè)全新的知識(shí)體系，用了一種全新方法求面積，緊扣學(xué)生認(rèn)知區(qū)域的邊緣，知識(shí)覆蓋面大、綜合性強(qiáng)，故對(duì)學(xué)生具有一定的難度，但正因?yàn)橛幸欢ǖ碾y度，所以才能很好地‘逼’出了學(xué)生的思維.”學(xué)生的思維果真能被“逼”出來(lái)嗎？其實(shí)，學(xué)生已經(jīng)有了給出這種解法的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

二、追根溯源

1.立足教材，落實(shí)“四基”

平行四邊形是初中階段非常重要的平面圖形，不僅要求學(xué)生理解平行四邊形的邊、角、對(duì)角線(xiàn)所具有的性質(zhì)，而且要求學(xué)生能夠靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題.學(xué)生在探索平行四邊形性質(zhì)和判定的過(guò)程中，已初步積累了一定的基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，具備了解決平行四邊形有關(guān)問(wèn)題的基本技能.學(xué)生已經(jīng)知道通過(guò)添加平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)，可將一個(gè)平行四邊形分成兩個(gè)全等三角形.由此可知，一條對(duì)角線(xiàn)將平行四邊形分成兩個(gè)面積相等的三角形.在此基礎(chǔ)上，學(xué)生也探索過(guò)關(guān)于平行四邊形面積的其他性質(zhì).因此，關(guān)于平行四邊形的面積問(wèn)題，學(xué)生已具有以下基礎(chǔ)知識(shí)：

（1）如圖5，四邊形ABCD是平行四邊形，連接一條對(duì)角線(xiàn)AC，則S△ABC=S△ACD.

（3）如圖7，點(diǎn)O是?ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)，則S△AOB+

圖5

圖7

圖8

圖6

以上三條性質(zhì)雖然簡(jiǎn)單，但在解決實(shí)際問(wèn)題中有著重要的作用.

北京師范大學(xué)出版社出版的《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（八年級(jí)下冊(cè)）161頁(yè)有這樣的一道習(xí)題：

例2如圖8，某村有一個(gè)四邊形池塘，它的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D處均有一棵大樹(shù)，村里準(zhǔn)備開(kāi)挖池塘建魚(yú)塘，想使池塘的面積擴(kuò)大一倍，又想保持大樹(shù)在池塘邊不動(dòng)，并要求擴(kuò)建后的池塘成平行四邊形的形狀，請(qǐng)問(wèn)能否實(shí)現(xiàn)這一設(shè)想？若能，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出所要畫(huà)的圖形；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：如圖8所示，連接AC、BD，過(guò)點(diǎn)A與點(diǎn)C分別作BD的平行線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)B與點(diǎn)D分別作AC的平行線(xiàn)，四條平行線(xiàn)兩兩相交于點(diǎn)E、F、G、H，則四邊形EFGH是平行四邊形.由平行四邊形的性質(zhì)易知，S?EFGH=2S四邊形ABCD.因此，這一設(shè)想能夠?qū)崿F(xiàn).

點(diǎn)評(píng)：本題是在學(xué)生學(xué)習(xí)了平行四邊形的性質(zhì)之后，經(jīng)常見(jiàn)到的圖形設(shè)計(jì)問(wèn)題，它主要考查學(xué)生運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，只要學(xué)生理解了平行四邊形面積的有關(guān)性質(zhì)，在教師的積極引導(dǎo)下學(xué)生容易完成作圖，然后根據(jù)平行四邊形的面積所具有的性質(zhì)很容易說(shuō)明四邊形ABCD與平行四邊形EFGH面積之間的關(guān)系.通過(guò)這類(lèi)問(wèn)題的解決，可以為學(xué)生解決與之類(lèi)似的數(shù)學(xué)問(wèn)題積累一定的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

2.演繹精彩

鑒于以上的基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，可給出例1問(wèn)題（3）的如下解法：

如圖9，過(guò)點(diǎn)A與點(diǎn)C分別作BD的平行線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)B與點(diǎn)D分別作AC的平行線(xiàn)，四條平行線(xiàn)兩兩相交于點(diǎn)E、F、G、H，由平行線(xiàn)的性質(zhì)及平行四邊形的定義易知，四邊形EFGH是平行四邊形，連接FH，易知EH=BD=n，EF=AC=m，∠E=β.

圖9

學(xué)生給出的解法又是怎么來(lái)的呢？將圖9中的?ACGH沿D■→B方向平移|D→B|個(gè)長(zhǎng)度單位，使GH與EF重合，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為L(zhǎng)，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為K，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，得到圖10.由平移的性質(zhì)易知，四邊形ACML是平行四邊形，圖9中四邊形ABCD的面積與圖10中△ABC、△BML的面積和相等.

圖10

在上述解答過(guò)程中，如果只將圖9中的點(diǎn)G沿D→B方向平移|D→B|個(gè)長(zhǎng)度單位，就會(huì)得到圖4，由此可得到學(xué)生給出的精彩解法.

三、結(jié)束語(yǔ)

精彩的解法不會(huì)從天而降，更不會(huì)從學(xué)生的思維中被“逼”出來(lái)，它源于對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的牢固掌握，源于對(duì)數(shù)學(xué)基本思想方法的深刻領(lǐng)會(huì)，源于對(duì)基本數(shù)學(xué)技能、基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一定要認(rèn)真落實(shí)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)理念，立足教材，重視基礎(chǔ)知識(shí)，注重滲透數(shù)學(xué)思想方法，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)歸納、類(lèi)比、轉(zhuǎn)化等常用思想方法，并將其運(yùn)用在問(wèn)題的解決過(guò)程中，積累學(xué)生基本技能與基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，也就是要認(rèn)真落實(shí)“四基”，使學(xué)生真正獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

1.李海燕.換個(gè)解法更精彩［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（8）.

2.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

3.張寧.關(guān)注核心知識(shí)重視基本方法——2013年寧夏中考數(shù)學(xué)試題評(píng)析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（12）.H