一道填空題引發(fā)的思考

☉山東省聊城第六中學(xué)扈保洪

據(jù)文1稱，某區(qū)九年級(jí)第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)統(tǒng)考試卷中，有一道滿分為2分的填空題，經(jīng)考試后分析，在某一所中等水平學(xué)校的472名學(xué)生中，該題只有一人得滿分，零分率高達(dá)99.8%.不僅如此，筆者發(fā)現(xiàn)，文1在分析了該題目的來(lái)龍去脈后，所給出的解答過(guò)程也是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?因此，本文也對(duì)該題的解法作些分析，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)赝茝V.現(xiàn)整理出來(lái)，與同行交流.

一、試題呈現(xiàn)

圖1

題目如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)A從點(diǎn)O開(kāi)始，沿x軸的正方向移動(dòng)，點(diǎn)B在∠x(chóng)Oy的平分線OZ上移動(dòng)，則點(diǎn)C到原點(diǎn)O的最大距離是_____.

二、解題思路探究

圖2

1.從正面探究

（1）對(duì)于上述填空題，文1的作者聯(lián)想到了以下的引例.

引例：如圖2，已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，兩頂點(diǎn)A、B分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸的正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C在第一象限，連接OC，求OC長(zhǎng)的最大值.

在圖2中，求OC長(zhǎng)的最大值的思路為：“取AB的中點(diǎn)D，連接CD、OD，則OC≤OD+ CD，因?yàn)橐字狾D=1，CD=，兩者均為常數(shù)，所以當(dāng)滑動(dòng)AB而使OC經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)（此時(shí)OC⊥AB），OC的長(zhǎng)度最大，此時(shí)OC=OD+CD=1+”.基于此，文1認(rèn)為只要簡(jiǎn)單地類比上述做法，就能找到圖1中OC的最大值.但筆者卻發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題沒(méi)那么簡(jiǎn)單.因?yàn)槿粝裨趫D2中那樣，先取AB的中點(diǎn)D，并連接CD、OD，雖有OC≤OD+CD，但由∠x(chóng)OZ=45°知，當(dāng)△ABC的邊AB滑動(dòng)時(shí)，CD是常量，而OD是變量，從而使OD+CD也是變量，所以當(dāng)OC⊥AB時(shí)，盡管有OC=OD+CD，仍不能直接說(shuō)明OC最大！顯然，要想說(shuō)明此時(shí)的OC最大，還必須說(shuō)明此時(shí)的OD最大.對(duì)此進(jìn)一步探究如下：

①在圖1中，過(guò)點(diǎn)A、B分別作OD的垂線，垂足分別為點(diǎn)F、G，由勾股定理得OA令∠BDG=β，OD=t）.而根據(jù)三角形面積公式，知AB·OD·sinβ=OA·OB· sin45°，代入數(shù)值化簡(jiǎn)整理，得（1+t2）2=4t2+4t2sin2β≤8t2，又得1+t2再由該不等式的解集與其所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖像的關(guān)系，知這表明OD的最大值是

（此時(shí)sinβ=1，得∠BDG=β=90°）.因此，當(dāng)OC⊥AB時(shí)，OC確實(shí)最大，最大值為

圖3

②如圖3，設(shè)OC⊥AB，若沿Ox、OZ隨意滑動(dòng)AB的端點(diǎn)，得△ABC的一個(gè)新位置記為△A1B1C1，A1B1的中點(diǎn)記為D1，分別連接DD1、OD1，并分別作BB1、DD1的垂直平分線，兩線相交于點(diǎn)K，則△A1B1C1就是將△ABC以點(diǎn)K為旋轉(zhuǎn)中心，沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而得到的.此時(shí)，再連接D1E，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，顯然有OD=OE+ED=OE+ D1E>OD1，再根據(jù)△A1B1C1位置的任意性，從而說(shuō)明OD的值最大.

（2）在圖1與圖2中，既然都是當(dāng)OC⊥AB時(shí)，OC的長(zhǎng)最大，那么能否在圖2中OC最大的基礎(chǔ)上，通過(guò)兩圖間的聯(lián)系推出圖1中OC的最大值呢？

如圖4，設(shè)OC⊥AB，以原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，把△ABC沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)22.5°得到△A1B1C1，則由前面的討論知再過(guò)A1、B1分別作OC1的平行線，分別交Ox、OC于點(diǎn)A2、B2，連接A2B2，則易知A1A2=OA1=0B1= B1B2=且A1A2∥B1B2，A1A2⊥A1B1，故四邊形A1B1B2A2為矩形，A2B2=A1B1=2；在射線上OC1截取C1C2=，分別連接B2C2、C2A2，得△A2B2C2，因易知四邊形A1A2C2C1、B1B2C2C1均為平行四邊形，故△A2B2C2≌△A1B1C1，從而C1C2是△A1B1C1沿射線OC1所能平移的最大距離（否則，邊A2B2的端點(diǎn)將不在∠x(chóng)OZ的兩條邊上）.因此，OC2是兩個(gè)最大距離OC1、C1C2之和，即OC2的最大值為

圖4

圖5

（3）在（1）、（2）中，求上述填空題中OC的最大值時(shí)，都是在類比上述那道引例的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)一番周折做出的.那么，能否通過(guò)直接考查填空題中點(diǎn)C的移動(dòng)軌跡，求得OC的長(zhǎng)的最大值呢？

根據(jù)圖1中正△ABC的移動(dòng)規(guī)律易知，其頂點(diǎn)C的軌跡是一條以射線OC0為對(duì)稱軸的曲線段（記為“L”，如圖5），則C0O的長(zhǎng)即為OC的最大值.理由如下：在曲線段L上任取一點(diǎn)C1，并連接C1O、C1C0，根據(jù)曲線段L的形狀，C1C0的垂直平分線必與C0O相交（記交點(diǎn)為M），根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，則C0O=OM+ MC0=OM+MC1≥OC1，根據(jù)點(diǎn)C1的任意性，知C0O最大.另一方面，作C0E⊥x軸，C0F⊥OZ，垂足分別為E、F，則易知△AC0E≌△BC0F，易得∠C0AO=∠C0BO，又因∠C0OA=∠C0OB，AC0=BC0，故△BC0O≌△AC0O，從而AO=BO.因此，OC0垂直平分線段AB，再由∠x(chóng)OZ=45°，知∠OAB=則

由上述解法可得到以下數(shù)學(xué)模型：對(duì)于等腰△ABC（AC=BC）來(lái)說(shuō)，如果讓其底邊AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在定角α的兩邊上滑動(dòng)，那么當(dāng)AB垂直于定角α的平分線時(shí)，點(diǎn)C到定角α的頂點(diǎn)的距離最大.

以上數(shù)學(xué)模型能否再拓展呢？這有必要進(jìn)一步探究.

2.從反面探究

（1）先給出一個(gè)引理，再對(duì)所述的填空題進(jìn)行探究.

引理：如圖6，P是⊙O外一點(diǎn)，直線PO分別交⊙O于點(diǎn)A、B，則PA是點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最小距離，PB是點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最大距離.

圖6

圖7

證明：如圖6所示，在⊙O上任取一點(diǎn)Q，連接PQ、AQ、OQ，過(guò)圓心O向AQ作垂線，交PQ于點(diǎn)C，再連接AC，由垂徑定理及線段垂直平分線的性質(zhì)，知AC=QC.則PB= PO+OB=PO+OQ≥PQ=PC+CQ=PC+CA≥PA.這表明PA是最小距離，PB是最大距離.

（2）在圖1中，考慮到在△ABC與∠x(chóng)OZ中，雖然一個(gè)在“動(dòng)”，一個(gè)是“靜”，但其位置關(guān)系具有相對(duì)性，不妨反過(guò)來(lái)思考，假設(shè)△ABC的位置不變，而使∠x(chóng)OZ的位置變化.因?yàn)椤蟲(chóng)OZ=45°，AB=2，所以在∠x(chóng)OZ的位置變動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)O移動(dòng)的路徑應(yīng)是以AB為弦、內(nèi)接角為45°的圓弧AB（見(jiàn)圖7中⊙O1的實(shí)線部分）.此時(shí)，作射線CO1，交弧AB于點(diǎn)O，根據(jù)引理，CO就是所求的最大距離（此時(shí)平面直角坐標(biāo)系xOy所在的位置如圖7所示）.

再計(jì)算CO的長(zhǎng)度.連接AO1、BO1，根據(jù)垂直平分線的判定定理，由AO1=BO1，AC=BC，知射線CO1垂直平分AB，再根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，OC平分∠AO1B，故由圓心角與圓周角的關(guān)系知∠AO1E=∠AOB=45°，得

三、拓展延伸

僅考查點(diǎn)C與點(diǎn)O不在直線AB同側(cè)的情況，而對(duì)于點(diǎn)C與點(diǎn)O在直線AB同側(cè)的情況，可仿此進(jìn)行探究.

（1）首先約定：①只改變填空題中△ABC的形狀，并令∠x(chóng)OZ=α，∠ABC=β，AB=c，BC=a，BC≥AC，其他條件不變.②把以AB為弦，其內(nèi)接角為α的圓弧稱為“弧AB”，它是⊙O1的實(shí)線部分.③在下列各圖中，平面直角坐標(biāo)系xOy（一般不再畫(huà)出來(lái)）所在的位置均按以下方法確定，“以點(diǎn)O為原點(diǎn)，射線OA為x軸的正半軸，射線OB（即OZ）位于第一象限內(nèi)（當(dāng)α<90°時(shí)）或第二象限內(nèi)（當(dāng)180°>α> 90°時(shí)）”，也可能與y軸重合（當(dāng)α=90°時(shí)）.

（2）以下分四種情況討論，且每種情況下均假設(shè)△ABC的位置不變，僅使∠x(chóng)OZ的位置發(fā)生變化，因此點(diǎn)O的移動(dòng)路徑均為以AB為弦，其內(nèi)接角為α的圓弧.

①當(dāng)點(diǎn)C在⊙O1外部，而圓心O1在∠C內(nèi)部時(shí)（見(jiàn)圖8），作射線CO1，交弧AB于點(diǎn)O，根據(jù)引理，CO就是所求的最大距離.而由BC≥AC，知邊CA的長(zhǎng)即是點(diǎn)C到弧AB的最小距離（可參考引理的證法來(lái)證），過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，根據(jù)勾股定理，得：

圖8

再計(jì)算OC的長(zhǎng)度：連接AE，則∠BAE=∠AEC-∠ABC=∠AOB-∠ABC=α-β.再連接AO1、BO1、EO1，并作O1M⊥AB，垂足為M，O1N⊥BE，垂足為N，易知BO1=因此，再由勾股定理得：

圖9

圖10

②當(dāng)點(diǎn)C不在⊙O1外部，而圓心O1不在∠C內(nèi)部時(shí)（見(jiàn)圖9），由于直線CO1與弧AB沒(méi)有交點(diǎn)，所以由BC≥AC，知點(diǎn)C到弧AB的最大距離應(yīng)為BC=a（此時(shí)，點(diǎn)O與點(diǎn)B重合，且∠x(chóng)OZ=∠APO），點(diǎn)C到弧AB的最小距離應(yīng)為CA的長(zhǎng).

③當(dāng)點(diǎn)C不在⊙O1外部，而圓心O1在∠C內(nèi)部時(shí)（見(jiàn)圖10），在弧AB任取一點(diǎn)P，分別連接O1P、CP，則OC= O1O+O1C=O1P+O1C≥CP，這表明OC就是所求的最大距離.

再計(jì)算OC的長(zhǎng)度：延長(zhǎng)BC交⊙O1于點(diǎn)E，連接AE，則∠BAE=（180°-∠AEB）-∠ABC=α-β.以下與①同法可得：OC=

圖11

④當(dāng)點(diǎn)C在⊙O1外部，而圓心O1不在∠C內(nèi)部時(shí)（見(jiàn)圖11），由于射線CO1與弧AB交于點(diǎn)O和點(diǎn)D，根據(jù)引理，CO就是所求的最大距離，CD是點(diǎn)C到弧AB的最小距離.

計(jì)算OC、CD長(zhǎng)度時(shí)，與①中的方法類似，故同理可得：

至此又可得到以下數(shù)學(xué)模型：對(duì)于任意△ABC（不妨令A(yù)C≥BC）來(lái)說(shuō)，如果讓其一邊AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在定角α的兩邊上滑動(dòng)（設(shè)以AB為弦，其內(nèi)接角為α的圓弧稱為“弧AB”，“弧AB”的圓心為O1，作射線CO1交“弧AB”于點(diǎn)O），那么在邊AB滑動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C到定角α的頂點(diǎn)的最大距離是CO（或CA）.

四、幾點(diǎn)感悟

（1）對(duì)于本文所述的填空題來(lái)說(shuō)，以上的各種解法及變式，并不一定要一股腦兒地用在教學(xué)中，而應(yīng)視情況來(lái)選用（例如：當(dāng)學(xué)習(xí)幾何變換的用法時(shí)，可選用從正面探究的（2）的做法；當(dāng)學(xué)習(xí)圓的相關(guān)知識(shí)時(shí)，可選用從反面探究的（2）的做法；當(dāng)上專題探究課時(shí)，則以上的各種解法及變式均可選用）.但以上的探究卻是十分必要的，這是因?yàn)榻忸}研究是搞好解題教學(xué)的前提，為了教會(huì)學(xué)生解題，教師首先要研究如何解題，善于一題多解、一題多變，這樣的探究越是有深度，就越有利于把數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)發(fā)成更優(yōu)質(zhì)的教學(xué)資源，更好地提升其應(yīng)用價(jià)值.

（2）對(duì)于動(dòng)態(tài)型幾何題來(lái)說(shuō)，“動(dòng)”與“靜”是相對(duì)而言的，它們既互相對(duì)立，又能相互轉(zhuǎn)化，但“動(dòng)”應(yīng)該成為關(guān)注的焦點(diǎn).而對(duì)于圖形的“動(dòng)”，要善于從數(shù)形結(jié)合的角度，仔細(xì)考查“動(dòng)”的路徑及其所達(dá)到的關(guān)鍵位置、“動(dòng)”所引發(fā)的數(shù)量關(guān)系的變化情況等要素，以把握問(wèn)題內(nèi)在的深層聯(lián)系，并通過(guò)聯(lián)想相關(guān)的知識(shí)，找出有效的解題方法.如在圖1中，通過(guò)考查△ABC的運(yùn)動(dòng)，求OC的最大值就比較困難，而根據(jù)“正難則反，逆向探索”的策略，引導(dǎo)學(xué)生換一種角度進(jìn)行思考，使△ABC的位置保持不變，反過(guò)來(lái)考查∠x(chóng)OZ的運(yùn)動(dòng)，不僅容易求出OC的最大值，而且便于進(jìn)一步推廣.

（3）在解答完一個(gè)問(wèn)題后，為了把學(xué)生的思維引向深入，實(shí)現(xiàn)從解題到研題的升華，就要善于啟發(fā)學(xué)生對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行反思，看看該過(guò)程是否可以優(yōu)化，解答中用到了哪些數(shù)學(xué)思想，還有沒(méi)有更好的解題方法，所用的解題方法能否進(jìn)行推廣等.這樣的反思活動(dòng)，既有利于學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，也有助于他們積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，使其真正學(xué)會(huì)分析問(wèn)題、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1.朱玉祥.一道填空題的高零分率引發(fā)的思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（4）.H