理清基本經(jīng)驗(yàn)，為新知探究夯實(shí)基礎(chǔ)
——以“數(shù)軸”為例

☉江蘇省張家港市兆豐學(xué)校陳浩

學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動一般都應(yīng)有著豐富的知識基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)鋪墊，在教學(xué)實(shí)施前，我們應(yīng)充分梳理學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，為新知的探究與生成夯實(shí)基礎(chǔ).初中階段，數(shù)軸是“數(shù)形結(jié)合”的起點(diǎn)，是學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系、函數(shù)等知識的基礎(chǔ).對這一知識的教學(xué)，原始經(jīng)驗(yàn)的梳理顯得尤為重要.“數(shù)軸概念的教學(xué)，關(guān)鍵是要用好教科書中的具體實(shí)例、學(xué)生生活中的具體事例，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、比較、分析和綜合等思維活動”.因此，為了讓學(xué)生很好地認(rèn)知數(shù)軸，我們應(yīng)在前面的學(xué)習(xí)中，幫助他們梳理出與數(shù)軸相關(guān)的基本活動經(jīng)驗(yàn)，夯實(shí)認(rèn)知的基礎(chǔ)，為有效的課堂探究做好準(zhǔn)備.

一、為“數(shù)軸”認(rèn)知鋪墊的經(jīng)驗(yàn)

1.作“缺少單位長度和正方向的數(shù)軸”的經(jīng)驗(yàn)

例1甲、乙兩地間的鐵路長300 km.一列客車和一列貨車分別從甲乙兩地同時出發(fā)，相向而行，貨車的速度是客車的.相遇時客車和貨車各行駛了多少千米？

解法分析：根據(jù)題意可作線段圖，如圖1.設(shè)客車行駛的路程為x km，則貨車行駛的路程為x km.根據(jù)線段圖可得方程x＋x＝300，解得x＝180，則x＝120.所以，客車行駛的路程為180 km，則貨車行駛的路程為120 km.

圖1

經(jīng)驗(yàn)分析：在小學(xué)階段，畫線段圖是學(xué)生經(jīng)常用來

2.應(yīng)用“沒有作出負(fù)半軸的數(shù)軸”解決問題的經(jīng)驗(yàn)

例2作一條長3 cm的線段.

解法分析：如圖2，取帶刻度的直尺從“0”刻度出發(fā)，向右作至刻度“3”處停下，即可.

圖2

圖3

例3圖3中的正數(shù)和負(fù)數(shù)的含義是什么？

解法分析：以海平面為基層準(zhǔn)（即圖3中的“海拔0 m”），點(diǎn)A，4600 m，表示的是比海平面高4600 m；點(diǎn)B，-100 m，表示的是比海平面低100 m.

經(jīng)驗(yàn)分析：在不同的學(xué)習(xí)階段，畫線段都是常見的，借助帶刻度的直尺，學(xué)生是完全可以作出相應(yīng)的符合要求的線段，所以，能順利解決例2是很正常的.而例3是人教版七年級上學(xué)期學(xué)習(xí)數(shù)軸前的教材中的一道思考題，“海拔圖”看似十分復(fù)雜，實(shí)則看懂圖3右下方的圖示即可理清其實(shí)際含義.在這兩個案例中，刻度尺和海拔圖示都是“沒作出負(fù)半軸的數(shù)軸”，學(xué)生的認(rèn)知都是從零開始，例2中畫線從零刻度開始；例3中，讀懂海拔圖也是從零刻度（海平面記為0 m）開始.這些認(rèn)知都在學(xué)生的數(shù)學(xué)活動中不斷被強(qiáng)化，成為學(xué)生數(shù)學(xué)問題解答的潛在經(jīng)驗(yàn).例2是學(xué)生潛在的解題經(jīng)驗(yàn)，對數(shù)軸的生成影響極大；例3是認(rèn)知數(shù)軸前，教材有意編排的題目.基于這樣的分析，我們應(yīng)在數(shù)軸教學(xué)前，用好教材題目，設(shè)計探究活動，將識圖和作圖融入到數(shù)軸的引入教學(xué)中，以喚醒學(xué)生“應(yīng)用‘沒有作出負(fù)半軸的數(shù)軸’解決問題的經(jīng)驗(yàn)”.

3.應(yīng)用“豎著的數(shù)軸”解決問題的經(jīng)驗(yàn)

例4北京冬季里某一天的氣溫為-3℃～3℃.“-3”的含義是什么？這一天北京的溫差是多少？

解法分析：根據(jù)溫度計，如圖4.我們不難發(fā)現(xiàn)-3℃表示的是比0℃低3℃，3℃表示比0℃高3℃.

圖4

圖5

例5某蓄水池的標(biāo)準(zhǔn)水位記為0 m，如果正數(shù)表示水面高于標(biāo)準(zhǔn)水位的高度，那么0.08 m和-0.2 m各表示什么？

解法分析：根據(jù)生活中的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生可以作出水位的變化圖，如圖5.蓄水池的標(biāo)準(zhǔn)水位記為0 m，則0.08 m表示比標(biāo)準(zhǔn)水位高0.08 m，而-0.2 m表示比標(biāo)準(zhǔn)水位低0.2 m.

經(jīng)驗(yàn)分析：這兩道題目都來之于人教版七年級上冊認(rèn)知數(shù)軸前的練習(xí)之中，無論是溫度變化，還是水面落差，學(xué)生生活中都有著豐富的經(jīng)驗(yàn).這些經(jīng)驗(yàn)都指向了數(shù)軸的認(rèn)知，由于學(xué)生生活接觸到的溫度計都是豎著擺放的，且不僅有“正的溫度”，還有“負(fù)的溫度”；水面的變化是豎著的，標(biāo)準(zhǔn)水位的設(shè)置，讓水面的變化有了正負(fù)之分.所以，我們在教學(xué)中應(yīng)充分關(guān)注這些學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，將溫度計帶入課堂，讓學(xué)生觀察“豎著的數(shù)軸”；讓學(xué)生結(jié)合自身的生活經(jīng)驗(yàn)，作出水面變化的過程，畫出“豎著的數(shù)軸”.這樣的過程經(jīng)歷，學(xué)生能明確感知到生活中積累的“用‘豎著的數(shù)軸’解決問題的經(jīng)驗(yàn)”對數(shù)軸認(rèn)知的貢獻(xiàn).

4.應(yīng)用“橫著的數(shù)軸”解決問題的經(jīng)驗(yàn)

例6如果把一個物體向右移動1 m記作+1 m，那么這個物體又移動-1 m是什么意思？如何描述這時物體的位置？

解法分析：很明顯原始位置可以記作為0 m，所以題中的-1 m應(yīng)是在向右移動1 m后，又向左移動了1 m，也就是回到了“起點(diǎn)”，如圖6.

例7如果把一個物體向后移動5 m記作-5 m，那么這個物體又移動+5 m是什么意思？這時物體離它兩次移動前的位置多遠(yuǎn)？

解法分析：根據(jù)題意，如果該物體的右邊記為前面，則后面為其左方，其出發(fā)位置為0 m.所以，在向后移動5 m后，再又移動+5 m，圖略.從所作出的圖形看，該物體最終回到了起點(diǎn)，所以“物體又移動+5 m”表示的是向前移動了5 m，物體回到了它兩次移動前的位置.

圖6

經(jīng)驗(yàn)分析：無論是物體的左右移動，還是前后移動，在學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)中，都可以轉(zhuǎn)化為平面中的“橫向移動”.由于有了具體單位長度的引入，如1 m、5 m等，這樣的移動變化是基于學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)的簡單應(yīng)用，是一種隱形的橫向數(shù)軸.這兩題均來自人教版“1.1正數(shù)和負(fù)數(shù)”中，學(xué)生在解題中，很多人會作出實(shí)際運(yùn)動變化的線段圖，這實(shí)際上就是數(shù)軸的原形，我們在教學(xué)中應(yīng)關(guān)注學(xué)生的作圖，并有意識地引導(dǎo)他們喚醒潛在的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，為數(shù)軸認(rèn)知中將“事實(shí)數(shù)學(xué)”變?yōu)椤皵?shù)學(xué)事實(shí)”提前鋪墊.

二、教學(xué)啟示

1.強(qiáng)化探究過程經(jīng)歷，不斷積累活動經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)的基本活動經(jīng)驗(yàn)一般蘊(yùn)藏在數(shù)學(xué)的探究活動之中，是隱形的.只有經(jīng)歷了完整的探究活動，并對活動中所用到的知識、技能和數(shù)學(xué)思想方法有了充分認(rèn)識后，才能生成與之匹配的基本活動經(jīng)驗(yàn)，為問題的解決和新知的探究打下基礎(chǔ).所以，在我們的教學(xué)活動中，應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷完整的探究活動.讓學(xué)生從自主猜想結(jié)論入手，在小組合作中探究結(jié)論，在互動交流中矯正探究方向，最后通過嚴(yán)格的推理論證得到正確的結(jié)論.整個探究過程中，學(xué)生的全程參與，強(qiáng)化了他們對探究過程的體驗(yàn)，不同的數(shù)學(xué)知識與技能在探究中得到了反復(fù)“推敲應(yīng)用”，知識與技能的應(yīng)用通道就在此過程中得到“固化”，成為學(xué)生認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)中不可缺失的一部分.完整探究過程的經(jīng)歷，學(xué)生在獲得知識的同時，漸進(jìn)中積累下的寶貴的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊.以數(shù)軸認(rèn)知為例，需要從學(xué)生的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)中提取的經(jīng)驗(yàn)很多，不僅包括上面所列出的這些基本活動經(jīng)驗(yàn)，還包括很多來自學(xué)生生活中的數(shù)學(xué)的基本活動經(jīng)驗(yàn)，比如方向上的經(jīng)驗(yàn)、單位長度的經(jīng)驗(yàn)等，這些都是學(xué)生建構(gòu)數(shù)軸表象的基礎(chǔ)經(jīng)驗(yàn)，它們合理分布在學(xué)生不同的學(xué)段中.這就告訴我們，經(jīng)驗(yàn)的積累不只是初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)，在小學(xué)中，我們同樣應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)探究歷程，積累與數(shù)軸概念建構(gòu)有關(guān)的基本經(jīng)驗(yàn).

2.設(shè)置有效活動情境，指向認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)喚醒

經(jīng)驗(yàn)是潛在的數(shù)學(xué)知識處在學(xué)生認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)的“角落”里.在新知探究和問題解決過程中，這些數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的喚醒并非易事.因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)的隱性特征，我們就要實(shí)現(xiàn)有效提取設(shè)置學(xué)生易于接受的數(shù)學(xué)的活動情境，形成經(jīng)驗(yàn)提取與應(yīng)用的“溫床”.比如，為了喚醒“作‘缺少單位長度和正方向的數(shù)軸’的經(jīng)驗(yàn)”，我們可以在課前將例1提供給學(xué)生進(jìn)行探究；為了能喚醒學(xué)生“應(yīng)用‘橫著的數(shù)軸’解決問題的經(jīng)驗(yàn)”，在“1.1正數(shù)和負(fù)數(shù)”學(xué)習(xí)時，我們應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷化解例5和例6的過程，不僅讓他們感知正負(fù)數(shù)的意義，同時，通過自主作圖（如圖6）.這些數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的喚醒，應(yīng)在數(shù)軸學(xué)習(xí)之前，通過不同數(shù)學(xué)問題的解答為數(shù)軸認(rèn)知從經(jīng)驗(yàn)上進(jìn)行鋪墊.在教學(xué)數(shù)軸時，我們?yōu)榱藛拘阉袑?shù)軸學(xué)習(xí)有利的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)，還應(yīng)設(shè)計相應(yīng)的數(shù)學(xué)探究活動，讓這些基本經(jīng)驗(yàn)蘊(yùn)含在這一數(shù)學(xué)活動之中.為此，我們可以將教材中的引入問題作為學(xué)生探究的一個引入活動，讓學(xué)生自己將問題中的東西像馬路上的“汽車站牌”、“柳樹和楊樹”、“槐樹和電線桿”分別“畫圖表示”，形成圖7.要知道，教材中“問題”的情境是學(xué)生所熟知的，在生活中有著豐富的感知，而教學(xué)期待的圖7將本文中所陳述的幾種為“數(shù)軸”認(rèn)知鋪墊的經(jīng)驗(yàn)全部包含其中，一次性喚醒了很多與數(shù)軸學(xué)習(xí)有關(guān)的經(jīng)驗(yàn)，這與教材提供的問題情境是有著重要的關(guān)系.

圖7

3.梳理重復(fù)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，適時合并適度共享

在學(xué)生的數(shù)學(xué)探究活動中，不同的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)充斥其中.不同的活動經(jīng)驗(yàn)之間自然銜接，也就組成了探究活動這個整體.正是這些經(jīng)驗(yàn)的有序疊加，推動了數(shù)學(xué)知識的有序生成.然而，在學(xué)生的認(rèn)知活動中，不可避免地出現(xiàn)很多重復(fù)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).為了將這些經(jīng)驗(yàn)有序融入到學(xué)生已有的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)中，我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)的疊合并梳理出重復(fù)的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在探究活動中適時合并，并在全班范圍內(nèi)通過交流對話適度共享，讓個體的、重復(fù)的經(jīng)驗(yàn)成為全員的經(jīng)驗(yàn).以數(shù)軸教學(xué)為例，在學(xué)生前面的學(xué)習(xí)中，不同階段的畫線段、畫線段圖教學(xué)都會讓學(xué)生體會到數(shù)軸的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，在教學(xué)過程中，我們理應(yīng)將不同時段的這些經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行認(rèn)真梳理，在數(shù)軸學(xué)習(xí)前合并為“作部分?jǐn)?shù)軸的經(jīng)驗(yàn)”；在“1.1正數(shù)和負(fù)數(shù)”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生先后接觸到了溫度變化、水面升降、物體移動等用于鞏固“正數(shù)、負(fù)數(shù)的意義”的數(shù)學(xué)問題，這些情境中都蘊(yùn)含著“應(yīng)用‘不同向’的數(shù)軸解決問題的經(jīng)驗(yàn)”，我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從這些問題中抽取出重復(fù)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生認(rèn)知數(shù)軸提前鋪墊.

三、寫在最后

數(shù)學(xué)的基本活動經(jīng)驗(yàn)，是學(xué)生化解數(shù)學(xué)問題，獲取數(shù)學(xué)知識的重要工具.為了推動數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)在問題解決中的作用，我們應(yīng)關(guān)注常態(tài)課堂中的總結(jié)歸納，將不同階段的共性經(jīng)驗(yàn)梳理成“型”，使之成為每一個個體的基本活動經(jīng)驗(yàn)；我們還應(yīng)關(guān)注探究活動的設(shè)計，要緊貼學(xué)生認(rèn)知，設(shè)置利于經(jīng)驗(yàn)提取和應(yīng)用的問題情境，以便激活已有經(jīng)驗(yàn)為問題解決服務(wù)；當(dāng)然，不同的學(xué)生積累活動經(jīng)驗(yàn)的途徑和方法也不同，在相同的時間內(nèi)經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化的程度也不盡相同，所以，必須讓學(xué)生自主經(jīng)歷探究活動的全程，讓經(jīng)驗(yàn)的應(yīng)用與積累成為個體的自覺行為.本文中，初步梳理了為“數(shù)軸”認(rèn)知鋪墊的幾個簡單經(jīng)驗(yàn)，并談了筆者的一些教學(xué)啟示，僅為一些不成熟的做法與看法，不足之處，敬請各位同行專家批評指正.