☉貴州省道真自治縣舊城中學(xué)張幫洪冉文宇

凸顯問題探究，培養(yǎng)應(yīng)用意識*
——以人教版七年級下冊“實際問題與二元一次方程組”（第1課時）為例

☉貴州省道真自治縣玉溪鎮(zhèn)中心學(xué)校 胡軍

☉貴州省道真自治縣舊城中學(xué)張幫洪冉文宇

應(yīng)用意識是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）（以下簡稱“課標(biāo)”）十個核心概念之一.“課標(biāo)”指出“應(yīng)用意識有兩個方面的含義，一方面有意識利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界中的問題；另一方面，認(rèn)識到現(xiàn)實生活中蘊含著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決”.蔡上鶴先生認(rèn)為“這里的不足之處是沒有加進第三方面：領(lǐng)會學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)三者的辯證關(guān)系”.為了探索在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的過程中培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識的有效途徑和具體方法，本文將以“實際問題與二元一次方程組”（第1課時）為例，就教學(xué)內(nèi)容和“課標(biāo)”解讀、學(xué)情分析及問題診斷、教學(xué)中如何以問題探究為主線培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識的一些做法進行相關(guān)分析，以求同行指教.

內(nèi)容：人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級下冊“實際問題與二元一次方程組”（第1課時）.

“課標(biāo)”對本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)要求是：（1）能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系的有效模型；（2）經(jīng)歷估計方程解的過程；（3）能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理.

教學(xué)要求（1）明確列方程（組）解應(yīng)用問題是聯(lián)系實際的重要方面，凸顯了方程作為一種數(shù)學(xué)模型的重要特征，這既是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的良好載體，也是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和實踐能力的很好的題材.根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，經(jīng)過必要的抽象，提煉出未知數(shù)與已知數(shù)之間具有的等量關(guān)系，列出方程，再運用方程求解的各種方法，求出方程的解，進而解決問題，應(yīng)是貫穿本節(jié)的主線.

教學(xué)要求（2）指出了估算是利用方程解決實際問題的過程中重要的方法和策略，大量的實際問題只要求估算其結(jié)果.估計方程的解，不僅僅在于求解，也有利于學(xué)生直觀地探究方程的性質(zhì)，初步感悟通過代入數(shù)值進行計算也是求方程的解的有效途徑，更有利于體會方程中的模型思想，對數(shù)感的培養(yǎng)也具有重要的意義.

教學(xué)要求（3）強調(diào)了要重視過程與結(jié)果的關(guān)系，數(shù)學(xué)與實際的關(guān)系，不僅要在操作層面上理解和應(yīng)用二元一次方程組，更要在思維的層面上認(rèn)識意義和作用.

教學(xué)理念：通過現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)內(nèi)容現(xiàn)實化，體會數(shù)學(xué)模型在解決實際問題中的價值，進行不同過程的有層次的知識和方法方面的訓(xùn)練，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識.

本節(jié)課的重點是以方程組為工具分析、解決含多個未知數(shù)的實際問題，難點是解題的策略，用方程解決實際問題的過程.

教學(xué)問題診斷分析如下所示.

知識基礎(chǔ)：本章學(xué)習(xí)了二元一次方程組的有關(guān)概念和解法，已具備利用二元一次方程組的知識解決實際問題的知識基礎(chǔ).

學(xué)習(xí)經(jīng)驗：在七年級上冊學(xué)習(xí)了“實際問題與一元一次方程”，本章學(xué)習(xí)二元一次方程（組）的過程中初步體驗到了用方程（組）解決實際問題的應(yīng)用意識和學(xué)習(xí)經(jīng)驗.

學(xué)習(xí)障礙：“探究1”中的數(shù)量關(guān)系比較簡單，但需要學(xué)生理解如何確定未知數(shù)；“探究2”中的數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，要從“怎樣劃分”中來理解題意，開放地尋求設(shè)計方案，使學(xué)生利用方程組為工具進行一定深度的思考.受閱讀能力、分析能力的制約，怎樣從實際問題中提取數(shù)學(xué)信息，并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，這些對初一的學(xué)生來說有困難.

一、問題情境導(dǎo)入，激活應(yīng)用意識

圖1

師（課件演示）：如圖1，悟空順風(fēng)探妖蹤，千里只行四分鐘.歸時四分行六百，風(fēng)速多少才稱雄？

問題1：上面這首詩包含了什么數(shù)學(xué)問題？用什么方法可以解決這個問題？

生：不能理解詩意，感到困感.

師：這是一個有關(guān)行程問題中的順風(fēng)、逆風(fēng)的實際問題，可用方程的知識來解決這個問題.同學(xué)們回憶一下，用方程解實際問題的基本思路有哪些？

學(xué)生活動：熱烈議論，你一言、我一語說出用方程解實際問題的基本思路.

教師歸納板書：設(shè)（設(shè)未知數(shù)）、列（列方程）、解（解方程）、檢（檢驗）、答（給出答案）等.

師：前面我們討論了二元一次方程組的解法，并用二元一次方程組解決了一些實際問題，為了解決問題1，本節(jié)課我們將根據(jù)用方程解實際問題的思路和方法繼續(xù)探究如何應(yīng)用二元一次方程組解決實際問題.（板書課題：實際問題與二元一次方程組）

評析：以孫悟空“探妖”（動畫）創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生在具體情境中“觸景生思”，激活了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；用孫悟空“探妖”詩句提出問題讓學(xué)生感到困感（引起懸念），喚起學(xué)生急于解決問題的欲望；讓學(xué)生“回憶用方程解實際問題的基本思路”，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了研究思路和方法.通過以上環(huán)節(jié)，既自然地激活了學(xué)生應(yīng)用已有知識解決實際問題的意識，又突出了“課標(biāo)”“數(shù)學(xué)是人類的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語言，是現(xiàn)代文明的組成部分”的理念.雖然學(xué)生可能一時不能理解詩意，但無需學(xué)生立即解答.

二、凸顯問題探究，增強應(yīng)用意識

探究1：養(yǎng)牛場原有30只母牛和15只小牛，1天約需用飼料675kg；一周后又購進12只母牛和5只小牛，這時1天約需用飼料940kg.飼養(yǎng)員李大叔估計平均每只母牛1天約需飼料18—20kg，每只小牛1天約需飼料7—8kg.你能否通過計算檢驗他的估計.

問題2：請同學(xué)們認(rèn)真閱讀題目，討論并解答下面的問題.

（1）如何理解“通過計算來檢驗他的估計”這句話？

（2）題目中哪些是已知量？哪些是未知量？有幾個未知量？

（3）有幾個等量關(guān)系？怎樣列方程組？用什么方法解這個方程組？

（4）飼養(yǎng)員李大叔的估計正確嗎？

師生活動：學(xué)生讀題，理解題意，思考并與同學(xué)交流.教師巡視、輔導(dǎo)學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，收集學(xué)生學(xué)習(xí)中存在的疑點和難點.然后師生交流，共同尋找解決問題2的方法.

師：如何理解“通過計算檢驗他的估計”這句話？

生1：先假設(shè)李大叔的估計正確，再根據(jù)問題中給定的數(shù)量關(guān)系通過計算來檢驗.

生2：根據(jù)問題中給定的數(shù)量關(guān)系求出平均每只母牛和每只小牛1天各約需的飼料量，再來判斷李大叔的估計是否正確.

師：題目中哪些是已知數(shù)？哪些是未知數(shù)？有幾個未知數(shù)？

生：原有母牛和小牛數(shù)：30、15；一周后母牛和小牛數(shù)：42、20；原來1天約需用飼料675kg、一周后1天約需用飼料940kg是已知數(shù).估計值（平均每只母牛1天約需飼料18—20kg、平均每只小牛1天約需飼料7—8kg）所指的是在一定的范圍內(nèi)的數(shù)，是未知數(shù).有兩個未知量.

師：有幾個等量關(guān)系？怎樣確定建立等量關(guān)系？

生：有兩個等量關(guān)系.用原來和現(xiàn)在1天約需用飼料數(shù)建立等量關(guān)系，即：原有母牛1天約需用飼料+原有小牛1天約需飼料=675；現(xiàn)有母牛1天約需用飼料+現(xiàn)有小牛1天約需飼料=940.

師：現(xiàn)在應(yīng)該知道怎樣列二元一次方程組了嗎？題目中的未知數(shù)是什么？有幾個？

眾生：設(shè)每頭大牛一天約用xkg飼料；每頭小牛一天約用ykg飼料.

師：請同學(xué)們獨立解這個方程組（并請一學(xué)生板書解方程的過程）.

答：每只母牛和每只小牛1天各需用飼料20kg和5kg.

師：對于以上問題，還能列出不同的方程組嗎？結(jié)果是否一致？

學(xué)生活動：學(xué)生思考，有學(xué)生想到用一元一次方程，但思考起來比較麻煩.（過程略）

師：飼養(yǎng)員李大叔的估計正確嗎？

生：對比方程組的解和估計，得出結(jié)論：飼養(yǎng)員李大叔對大牛的食量估計較準(zhǔn)確，對小牛的食量估計偏高.

師：通過上面的學(xué)習(xí)，回顧用一元一次方程解決實際問題的方法，用二元一次方程組解決實際問題有哪些步驟？

師生共同回顧探究1的過程，歸納得出結(jié)論.教師用多媒體演示列方程組解實際問題的一般步驟（如圖2）.

圖2

評析：探究1是實際生活中“估算與精確計算的比較”的實際問題，學(xué)生要理解需要計算來檢驗“估計值”，進而明確要求的未知數(shù)，通過設(shè)元轉(zhuǎn)化成有關(guān)方程組的數(shù)學(xué)問題.在這一環(huán)節(jié)的教學(xué)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由明確已知數(shù)和未知數(shù)，找等量關(guān)系，建立方程（組），解方程（組），然后檢驗估算得出結(jié)論.這是一典型的數(shù)學(xué)建模過程，是數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的具體體現(xiàn).這一建模過程其實在實際問題與一元一次方程中也體驗過.在解決多個未知量的實際問題中，列方程組是一種最有效的數(shù)學(xué)工具，通常設(shè)多個未知數(shù)，就得列多個方程.教師讓學(xué)生對比方法，體會到方程組解題的優(yōu)化性，是數(shù)學(xué)手段的又一大進步.它對解決實際問題具有很強的示范作用，學(xué)生在這一活動中體會到數(shù)學(xué)解題模型思想的形成過程，增強了數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用意識.

探究2：據(jù)統(tǒng)計資料，甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比是1∶2，現(xiàn)要把一塊長200m、寬100m的長方形土地，分成兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物，怎樣劃分這塊土地，使甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3∶4（結(jié)果取整數(shù)）？

問題3：結(jié)合圖2，以及探究1的解決過程，如何解決探究2中的問題？

師：探究2的問題情境要求我們做什么？結(jié)果達到什么？

生感到困感，沉默.

師：題目中的兩個比值“1∶2”和“3∶4”分別表示什么意思？

生：“1∶2”是已知甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比，“3∶4”是要達到的結(jié)果即甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比.

師：為了達到這一結(jié)果需確定一個種植方案，首先要確定什么？

生：把一塊長200m、寬100m的長方形土地，分成兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物.

師：你的想法很好，這實際上是長方形面積的分割問題.為了解決這個問題，請同學(xué)們先做下面的實驗.

（1）把長方形紙片折成面積相等的兩個小長方形，有哪些折法？

（2）把長方形紙片折成面積之比為1∶2的兩個小長方形，又有哪些折法？

學(xué)生很快通過折紙得出結(jié)果.教師展示學(xué)生的折紙成果，用多媒體演示（如圖3—圖6）.

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

師：同學(xué)們表現(xiàn)得很不錯，能否借助折紙得到的啟示，選擇你認(rèn)為合適的種植方案，畫出示意圖，幫助自己理解并建立方程組？

學(xué)生活動：畫圖分析題意，把文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，得到種植方案.

師：誰來說一下你畫出的種植方案圖？

生：我由圖5得到啟示，矩形的寬不變，將長分成兩部分，即甲、乙兩種農(nóng)作物的種植區(qū)域分別是長方形AEFD和BCFE（如圖7）.

師：怎樣設(shè)未知數(shù)？生：設(shè)AE=xm，BE=ym.

師：作物產(chǎn)量的比與種植面積的比有什么關(guān)系？

學(xué)生經(jīng)思考分析，發(fā)現(xiàn)甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比等于甲作物的種植面積與乙作物的種植面積的2倍的比.

師：誰來說說怎樣列方程組.

生：根據(jù)長方形土地長為200，可得x+y=AE+EB= 200.由甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3∶4，可得：甲種作物總產(chǎn)量∶乙種作物總產(chǎn)量=3∶4.可建立方程組：

師：你們能解這個方程組嗎？

學(xué)生獨立解題，教師巡視指導(dǎo)，并請一學(xué)生代表板書.過程略.

師：如何表述上面的種植方案？

生1：如圖7，在長方形的長DC上離D點120米處取一點F，過點F作DC的垂線，將矩形分成兩部分，較大的部分種甲種作物，較小的部分種乙種作物.

生2（補充）：過點F作AB的垂線.

生3：在長方形的長DC上離D點120米處取一點F，過該點F作BC（或AD）的平行線，將矩形分成兩部分.

師：很好，你們想的真全面，請同學(xué)們議一議，還有其他的設(shè)計方案嗎？

學(xué)生討論，情緒很高，學(xué)習(xí)達到高潮.

生：如圖6所示，在長方形的寬上取一點，過這點作長邊的平行線（或作短邊的垂線），將這塊長方形分成兩塊長方形，較大的一塊種植甲種作物，較小的一塊種乙種作物.

評析：探究2中的數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，像農(nóng)作物總產(chǎn)量之比，單位面積產(chǎn)量之比，面積比，長度比之間的轉(zhuǎn)化是列方程組的關(guān)鍵.在解決探究2的過程中，教師首先讓學(xué)生感知到要解決此問題，需要將長方形分割成兩個小長方形，然后通過動手操作（折紙）感知分法，為題目的多種種植方案埋下伏筆.利用畫圖分析，把文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，使問題的解決具有直觀性.在解決問題后讓學(xué)生說出不同的種植方案，體現(xiàn)了學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)這一國際數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域內(nèi)公認(rèn)的一項基本理念，蘊含著一個核心思想——對小學(xué)生、中學(xué)生來說，“學(xué)”和“做”的目的全在于“用”，而“做”和“用”又是為能夠更深刻地理解“學(xué)”的內(nèi)容，突出應(yīng)用意識在“生活數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)和訓(xùn)練數(shù)學(xué)”方面的應(yīng)有體現(xiàn)，使這些學(xué)習(xí)內(nèi)容“轉(zhuǎn)換成”過程性的探索活動，從而切實提高“學(xué)”的質(zhì)量.

三、回顧探究過程，發(fā)展應(yīng)用意識

問題4：回顧探究2的解題過程，比較列一元一次方程與列二元一次方程組解決實際問題的過程，有哪些相同點和不同點？

學(xué)生根據(jù)板書過程回顧探究2的解題過程，同學(xué)間互相交流，對照圖2，得出列方程組解實際問題的步驟（略）并通過回憶比較得出列一元一次方程與列二元一次方程組解決實際問題的相同點和不同點.

師：上述兩個問題能用一元一次方程來解嗎？

學(xué)生中有的說能，也有的說不能.

教師以探究2為例進行分析.

設(shè)AE=xm，BE=（200-x）m，可得100x∶［2×100（200-x）］=3∶4.

師：能列二元一次方程組解決的實際問題，一般都可以通過列一元一次方程加以解決，只是隨著實際問題中未知量的增多和數(shù)量關(guān)系的復(fù)雜化，列方程組將更加簡單直接，因為問題中有幾個等量關(guān)系就可以列出幾個方程.

師：列一元一次方程與列二元一次方程組解決實際問題的相同點和不同點是什么？

生：相同點是都需要先分析題意，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題（設(shè)未知數(shù)，列方程（組），解方程（組）），再檢驗解的合理性，進而得到實際問題的解.不同點是設(shè)未知數(shù)的個數(shù)不同，進而列出的方程不同.

師追問：現(xiàn)在同學(xué)們應(yīng)該會解決課的開始時提出的問題了吧？

學(xué)生獨立解題，教師請一學(xué)生板書解題過程.

解：設(shè)悟空在靜風(fēng)中行走的速度為x里/分，風(fēng)速為y里/分，得：

答：風(fēng)速為50里/分才稱雄.

師：看來同學(xué)們學(xué)習(xí)得不錯，請同學(xué)們先思考，課后互相討論解決下面的問題.

（1）今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之.（選自《九章算術(shù)》）

（2）今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？（選自《孫子算經(jīng)》）

評析：通過回顧總結(jié)，幫助學(xué)生梳理列方程（組）解決實際問題的一般步驟，讓學(xué)生討論歸納“列一元一次方程與列二元一次方程組解決實際問題的相同點和不同點是什么”，進一步增強列方程（組）解實際問題的應(yīng)用意識，對今后學(xué)習(xí)用方程解決實際問題起到“示范”的作用.最后，教師追問“現(xiàn)在同學(xué)們應(yīng)該會解決課的開始時提出的問題了吧”，及課后思考從解決實際問題的需要來出發(fā)，以實際問題為出發(fā)點和歸宿，再次讓學(xué)生經(jīng)歷生活數(shù)學(xué)，感受到數(shù)學(xué)來源于生活現(xiàn)實，服務(wù)于現(xiàn)實生活，培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決實際問題的意識和能力.課后思考是兩道我國古代數(shù)學(xué)名題，分別選自《九章算術(shù)》和《孫子算經(jīng)》，學(xué)生通過課后思考、討論，在解題時欣賞到愽大精深的數(shù)學(xué)文化，認(rèn)識數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系及對人類歷史發(fā)展的作用，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性，體會數(shù)學(xué)學(xué)科的精神實質(zhì)，已成為人類文明的象征，是人類智慧的標(biāo)志，傳承了中華民族悠悠五千年數(shù)學(xué)文化史，可謂兩全齊美、相得益彰.

結(jié)束語：數(shù)學(xué)課堂上讓數(shù)學(xué)貼近生活，通過現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化，從數(shù)學(xué)角度看世界，利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象問題，將這些問題抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識.

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.蔡上鶴.十個核心詞，一條課改線［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2012（7）.Z

*本文屬于2012年貴州省基礎(chǔ)教育科學(xué)研究教育教學(xué)實驗課題——“中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)案例研究”（課題編號：2012B078）的研究成果之一.