黃得建，李艷青

(瓊州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，海南 三亞 572022)

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第二型邊界條件下拋物型方程反問(wèn)題的變分迭代解法

黃得建，李艷青

(瓊州學(xué)院 數(shù)學(xué)系，海南 三亞 572022)

應(yīng)用變分迭代法研究了第二邊值條件下拋物型偏微分方程反問(wèn)題的數(shù)值解法,得到拋物型偏微分方程反問(wèn)題中的兩個(gè)未知參數(shù)和方程的精確解,并通過(guò)例子說(shuō)明這種方法的有效性.

變分迭代法;反拋物型方程;第二型邊界條件;拉格朗日乘子;未知參數(shù)

0引言

考慮下面的一維拋物型方程[1]：

(1)

同時(shí)滿足在空間區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)處溫度的測(cè)量值

u(x*,t)=E(t),t∈(0,T]

(2)

和在邊界處溫度的測(cè)量值

u(1,t)=μ2(t),t∈(0,T],

(3)

其中：φ(x),μ1(t)和μ2(t)為初始和邊界條件,f(x,t),|E(t)|>0為已知函數(shù),p(t),q(t)為未知函數(shù);x*∈(0,1)是固定的一點(diǎn),(2)式和(3)式稱為附加條件.

(1)-(2)式描述一些特定類型的數(shù)理方程[2-3],(2)式和(3)式分別表示在某一時(shí)刻t在x*處和x=1處測(cè)量的溫度分布函數(shù),q(t)表示在x=0處的表面熱流量q(t). 模型(1)-(2)解的存在性和唯一性在文獻(xiàn)[4]已經(jīng)被證明.

通過(guò)附加邊界條件來(lái)識(shí)別拋物型偏微分方程中的系數(shù)被稱為反系數(shù)問(wèn)題,又稱之為拋物型方程反問(wèn)題. 文獻(xiàn)[2-6]研究了半線性拋物型方程反系數(shù)問(wèn)題,得到這類問(wèn)題的一些性質(zhì),并通過(guò)一些數(shù)值解法得到這類問(wèn)題的數(shù)值解.

1 變分迭代法

變分迭代法是何吉?dú)g提出來(lái)的[7],這種方法被成功的應(yīng)用到初值問(wèn)題[8]、雙曲型偏微分方程[9]、強(qiáng)非線性方程[10]、分?jǐn)?shù)階非線性方程[11]和廣義KdV方程[12]. 本文將應(yīng)用變分迭代求出模型(1)- (3)的解和未知參數(shù)p(t)和q(t).

應(yīng)用以下兩個(gè)變換[13],設(shè)

(4)

和

w(x,t)=u(x,t)r(t)，

(5)

則問(wèn)題(1)-(3)能化為如下形式：

(6)

以及

(7)

由(4)式和(5)式可知

(8)

(9)

顯然,原問(wèn)題(1)-(2)同輔助問(wèn)題(6)-(7)是等價(jià)的. 文獻(xiàn)[2,3]已給出問(wèn)題(6)-(7)解的存在性和唯一性.

根據(jù)變分迭代法，對(duì)(6)式中的第一個(gè)方程構(gòu)造t-方向上的校正泛函如下形式

(10)

對(duì)(10)式兩邊變分,整理可得:

利用分步積分公式,可得

δwn+1(x,t)=δwn(x,t)+(1+λ(t))-?t0δwn(x,s)λ′(s)ds=0,

即

所以有

λ(t)=-1.

將λ(t)代入(10)式,可得到如下解的迭代公式：

(11)

由(11)式可得到(6)式的解w(x,t),再由(8)式和(9)式可得原問(wèn)題的解u(x,t)及未知參數(shù)p(t)和q(t).

2 實(shí)例

考慮模型(1)-(2),條件如下：

附加條件為：

設(shè)

w0=cos(πx)+x,

由迭代公式(11)式可得：

所以

由(8)式和(9)式可得原問(wèn)題的解

u(x,t)=[cos(πx)+x]et,p(t)=1+t2,q(t)=et.

文獻(xiàn)[1]中應(yīng)用有限差分法也得到相同的解.

3 結(jié)論

本文成功的將變分迭代法運(yùn)用于第二型邊界條件下拋物型方程反問(wèn)題的求解,運(yùn)用這種方法不需要分離變量,不需要計(jì)算復(fù)雜的隱式差分序列,方便使用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行編程,不占用太多存儲(chǔ)空間,收斂速度也比較快,是一種非常方便使用的方法.

[1]李義軍. 拋物型方程反問(wèn)題的數(shù)值解法研究[D].湖南:長(zhǎng)沙理工大學(xué), 2008 :10-16.

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[3]Cannon J R, Lin Y, Xu S. Numerical procedures for the determination of an unknown coefficient in semi-linear parabolic defferential equations[J].Inverse Problem,1994(10):227-243.

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Variational Iteration Method for Solving an Inverse Problem of Parabolic Equation with Neumann Boundary Conditions

HUANG De-jian， LI Yan-qing

(Department of Mathematics, Qiongzhou University, Sanya Hainan, 572022，China)

In the current research, the variational iteration method was used to study the exact solution of an inverse parabolic problem with Neumann boundary conditions. Consequently, obtained are the exact solution and two unknown parameters of the parabolic partial difference equation . To show the efficiency of the present method, one interesting example is presented.

variational iteration method; inverse parabolic equation; Neumann boundary conditions; Lagrange multipliers; unknown parameter.

2015-09-30

瓊州學(xué)院青年教師科研基金項(xiàng)目(QYQN201519);瓊州學(xué)院青年教師科研基金項(xiàng)目(QYQN201520)

黃得建(1980-)，男，河南太康人，瓊州學(xué)院數(shù)學(xué)系講師，碩士，研究方向?yàn)槠⒎址匠痰臄?shù)值解.

李艷青(1978-)，女，河南武陟人，瓊州學(xué)院數(shù)學(xué)系講師，碩士，研究方向?yàn)槠纥c(diǎn)理論及應(yīng)用，偏微分方程.

O241

A

1008-6722(2015) 05-0013-04

10.13307/j.issn.1008-6722．2015．05．04