石博強,段國晨,申焱華,余國卿

(北京科技大學機械工程學院,100083,北京)

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復雜機械系統(tǒng)時變不確定性設計方法

石博強,段國晨,申焱華,余國卿

(北京科技大學機械工程學院,100083,北京)

考慮機械系統(tǒng)參數(shù)隨時間的演化,基于連續(xù)時間模型和伊藤引理,推導建立了多參數(shù)復雜機械系統(tǒng)時變不確定性計算模型,將系統(tǒng)整體時變不確定性由其漂移函數(shù)和波動函數(shù)表達,系統(tǒng)漂移函數(shù)和波動函數(shù)則由底層時變參數(shù)的漂移率和波動率決定,從而解析了機械系統(tǒng)時變不確定性設計的原理。與傳統(tǒng)方法相比,該多參數(shù)復雜機械系統(tǒng)時變不確定性設計方法既可以針對各零件(或子系統(tǒng))進行時變不確定性設計,也可以建立統(tǒng)一的系統(tǒng)狀態(tài)方程,針對復雜機械系統(tǒng)進行不確定性設計,并且算得的系統(tǒng)可靠度是動態(tài)的,可以預測未來任意時刻的可靠度,從而為系統(tǒng)的未來發(fā)展趨勢提供先期預警,為設備維護提供指導。通過具體算例,說明了該設計方法的應用。該設計方法具有普適性,可以推廣應用于城市公交系統(tǒng)、城市給排水系統(tǒng)、燃氣系統(tǒng)、核電系統(tǒng)等的時變不確定性設計和可靠性分析。

時變不確定性設計;機械系統(tǒng);可靠度

多參數(shù)復雜機械系統(tǒng)的可靠性問題一直備受關注。目前,傳統(tǒng)的可靠性設計仍以概率論與數(shù)理統(tǒng)計為基礎,其思路是將機械系統(tǒng)的設計參數(shù)視為隨機變量,對各參數(shù)計算分布概率。在這種可靠性設計中,對任一設計參數(shù)一般是將時間的效應一統(tǒng)歸于一個隨機變量,即將設計參數(shù)沿著時間坐標軸的隨機演化壓縮成不隨時間演化的隨機變量。這樣處理較好地保持了數(shù)學的嚴密性,但同時也要面對確定所謂的“聯(lián)合概率密度”的難題。

機械系統(tǒng)在其工作期間的演化過程非常復雜,時間在設計參數(shù)的不確定性(隨機性)中發(fā)揮著重要作用。從機械系統(tǒng)演化角度出發(fā),設計參數(shù)是一個沿時間坐標軸的隨機過程。如何對這個不確定性過程進行表達、模型化并解析出設計變量參數(shù)呢?另外,機械系統(tǒng)演化的隨機性,導致了機械系統(tǒng)特別是復雜機械系統(tǒng)未來的不確定性,那么人們會問:我們所設計的機械系統(tǒng)會按照預先路徑走完它的生命歷程嗎?它的不確定性如何?或者它在將來任意時刻的可靠性如何?這些成為復雜機械系統(tǒng)從設計角度需要解答的問題。

機械系統(tǒng)是指具有特定功能、由相互具有聯(lián)系的2個或2個以上的要素組成的整體。一個大的系統(tǒng)可以由若干個小系統(tǒng)組成,這些小系統(tǒng)常稱作子系統(tǒng),子系統(tǒng)可包含更小的子系統(tǒng)。機械零件是機械系統(tǒng)中最小的子系統(tǒng)。機械系統(tǒng)的不確定性取決于各子系統(tǒng)的不確定性,子系統(tǒng)的不確定性又與各零件的不確定性密切相關。復雜機械系統(tǒng)多是混聯(lián)系統(tǒng),子系統(tǒng)(零件)既有串聯(lián)也有并聯(lián)。系統(tǒng)不確定性可歸結為各個子系統(tǒng)和零件的不確定性以及它們的構成關系,因此機械系統(tǒng)的不確定性設計就轉(zhuǎn)化為各零件的不確定性設計。

本文考慮了時間效應對系統(tǒng)不確定性的影響,使時間坐標下的不確定性效應不再被人為“壓縮”。文中提出的時變不確定性設計方法可以針對各零件(或子系統(tǒng))進行時變不確定性設計,或者建立統(tǒng)一的系統(tǒng)狀態(tài)方程,針對系統(tǒng)設計參數(shù)進行不確定性設計。

本文提出的時變不確定性設計方法涉及到隨機集理論、定量風險分析和魯棒性分析等多種理論[1-3]。國內(nèi)外的學者已在許多領域?qū)r變不確定因素的影響進行了大量研究:方永鋒等人基于應力-強度干涉理論和隨機過程理論,建立了結構強度退化條件下的結構動態(tài)可靠性預測模型,獲得了隨時間變化的結構可靠度[4];王澤群等人通過建立時間響應曲面,將時變可靠性分析轉(zhuǎn)化為時間無關的可靠性分析,然后使用傳統(tǒng)的可靠性分析方法來解決問題[5];Andrieu-Renaud等人基于異型雜交,使用傳統(tǒng)的可靠性分析方法來解決時變可靠性分析的問題[6];Grigorin等人基于變量極值理論,求解了隨機環(huán)境下動態(tài)系統(tǒng)的可靠性[7];Jiang等人借助凸面模型建立了變量特征函數(shù),利用非概率分析方法解決結構時變不確定性問題[8]。本文以作者先前的研究成果[9-10]為基礎,建立了多參數(shù)機械系統(tǒng)的時變不確定性設計方法,并給出了設計算例。與作者先前的方法相比,本文提出的設計方法不再局限于對單個零件的設計分析,而是對整個機械系統(tǒng)進行設計分析。

1 數(shù)學模型

設G為系統(tǒng)特征函數(shù),是x(t)和t的可微函數(shù),其中x(t)是一個伊藤過程,它滿足

dx(t)=μ(x(t),t)dt+σ(x(t),t)dwt

(1)

式中:μ和σ分別是隨機過程xt的漂移函數(shù)和波動函數(shù);wt表示一個維納過程。維納過程是一個特殊的伊藤過程,滿足式(1)中取μ(x(t),t)=0、σ(x(t),t)=1的情形。

對于隨機變量x(t),常假定其服從一個特殊的伊藤過程

dx(t)=λx(t)dt+δx(t)dwt

(2)

式中:λ為漂移率,δ為波動率,它們均為定值。漂移函數(shù)為μ(x(t),t)=λx(t),波動函數(shù)為σ(x(t),t)=δx(t),則根據(jù)伊藤引理[11]有

(3)

但是在工程實際中,一個系統(tǒng)常需要考慮多個隨機過程的影響,因此需要對伊藤引理進行推廣。

系統(tǒng)特征函數(shù)為G(x(t),y(t),t),x(t)、y(t)均為伊藤過程。對系統(tǒng)特征函數(shù)進行泰勒展開,變?yōu)?/p>

(4)

伊藤過程xt、yt的離散形式為

(5)

根據(jù)式(5)可得

(6)

式(5)兩式的第一項滿足

E(σ2ε2Δt)=σ2Δt; var(σ2ε2Δt)=2σ4(Δt)2

dG=μGdt+σGdwt

(7)

式中

μG、σG是μG(x(t),y(t),t)和σG(x(t),y(t),t)省略了變元的形式。推廣至擁有n個伊藤過程的多參數(shù)系統(tǒng)G(x1,x2,…,xn,t),仍然可推得式(7),所不同的是

對方程(7)積分可得

(8)

式中:G(0)表示系統(tǒng)在零時刻的初始值;右面最后一項是一個隨機積分。

2 設計方法

在機械系統(tǒng)設計中,常常引入許用值的概念,通過建立系統(tǒng)特征參數(shù)實際值與許用值的干涉模型來求解機械系統(tǒng)可靠度。本文所提出的系統(tǒng)時變不確定性設計方法在建立干涉模型時考慮了時間演變的影響,求解的是系統(tǒng)的動態(tài)可靠度。工程實際經(jīng)驗表明,系統(tǒng)參數(shù)多服從對數(shù)正態(tài)分布。

以強度 [S]-應力S干涉模型為例,考慮時變因素的動態(tài)干涉模型如圖1所示。在t=0時刻,系統(tǒng)的可靠度

R(0)=P(G[S](0)>GS(0))=

P(lnG[S](0)-lnGS(0)>0)

在t=T時刻,系統(tǒng)的可靠度

R(T)=P(G[S](T)>GS(T))=

P(lnG[S](T)-lnGS(T)>0)

對上述公式進行推導可得

(9)

圖1 動態(tài)干涉模型

3 漂移率與波動率估計

對于復雜機械系統(tǒng)的時變不確定性設計,時變可靠度的計算需要根據(jù)歷史觀測數(shù)據(jù)獲得其子系統(tǒng)的隨機過程xt的漂移率λ和波動率δ2,然后通過式(7)計算得到總系統(tǒng)的漂移函數(shù)μG和波動函數(shù)σG。

根據(jù)伊藤引理有

(10)

(11)

(12)

4 設計算例

采用螺栓組聯(lián)結時,由于各螺栓的空間位置不同,所以各螺栓的工作條件也有所不同,這就造成了各個螺栓在所聯(lián)結的機械系統(tǒng)中的工作狀況的復雜性,其應力隨之表現(xiàn)為隨時間演化的復雜性變化。如圖2所示,對稱布置的緊螺栓組聯(lián)結的初始條件為:所受傾覆力矩M=40 kN·m,各螺栓到回轉(zhuǎn)中心軸線的距離r=125 mm,預緊力Fp=160 kN,螺栓屈服強度 [S]=575 MPa。1、4號螺栓與2、3號螺栓的高度不同;1、4號螺栓暴露在空氣中,2、3號螺栓浸在液體中,各螺栓的工作條件不同。各螺栓的傾覆力矩、回轉(zhuǎn)半徑、螺栓直徑、預緊力和屈服強度均服從不同參數(shù)的伊藤過程。按10 a(年)后螺栓的可靠度R(10 a)=95%設計螺栓。

圖2 螺栓組布置示意圖

根據(jù)力矩平衡及變形協(xié)調(diào)條件,可得各螺栓所受工作載荷

4個螺栓的回轉(zhuǎn)半徑相同,所以有

(13)

(14)

式中:c1、c2分別為螺栓和被連接件的剛度。

設計時引入扭矩影響系數(shù),取1.3,則螺栓拉應力

(15)

由式(7)可得

由式(13)得

所以

(16)

相對剛度和各螺栓到翻轉(zhuǎn)軸線的距離的變化對各螺栓所受載荷影響極小,故可忽略,這里取相對剛度c1/(c1+c2)=0.25。觀測值的時間間隔Δ=10 d。傾覆力矩及強度的歷史觀測數(shù)據(jù)如圖3所示。

(a)傾覆力矩

(b)強度圖3 傾覆力矩及強度的歷史觀測數(shù)據(jù)

對傾覆力矩和強度進行歷史數(shù)據(jù)仿真,可得

根據(jù)R(10 a)=95%,可求得d1≥22.594 mm。初選M30螺栓,其螺紋小徑d1=27.727 mm。

1號螺栓螺紋小徑d1和預緊力Fp的歷史觀測數(shù)據(jù)如圖4所示。

(a)螺紋小徑

(b)預緊力圖4 1號螺栓螺紋小徑和預緊力的歷史觀測數(shù)據(jù)

對螺紋小徑和預緊力進行歷史觀測數(shù)據(jù)仿真,可得

μM=λMF(t);σM=δMF(t)

μFp=λFpFp(t);σFp=δFpFp(t)

μd1=λd1d1(t);σd1=δd1d1(t)

將其代入式(9),10、11、12 a后的可靠度計算中取T=3 650 d, 4 015 d, 4 380 d,得

R(3 650 d)=Φ(3.37)=0.999 6

R(4 015 d)=Φ(2.61)=0.988 1

R(4 380 d)=Φ(0.62)=0.732 4

2號螺栓d1和Fp的歷史觀測數(shù)據(jù)如圖5所示。

(a)螺紋小徑

(b)預緊力圖5 2號螺栓螺紋小徑和預緊力的歷史觀測數(shù)據(jù)

對d1和Fp進行歷史觀測數(shù)據(jù)仿真,可得

將其代入式(9),10、11、12 a后的可靠度計算中取T=3 650 d, 4 015 d, 4 380 d,得

R(3 650 d)=Φ(1.77)=0.961 6

R(4 015 d)=Φ(1.20)=0.884 9

R(4 380 d)=Φ(0.54)=0.705 4

5 結 語

本文基于機械系統(tǒng)隨時間演化的不確定性思想,利用隨機積分中的伊藤引理,推導建立了多參數(shù)系統(tǒng)時變不確定性計算模型,提出了考慮時間效應的機械系統(tǒng)時變不確定性設計方法。該方法將系統(tǒng)整體時變不確定性由系統(tǒng)的漂移函數(shù)和波動函數(shù)表達,而系統(tǒng)漂移函數(shù)和波動函數(shù)則由底層多個時變參數(shù)的漂移率和波動率表達,從而解析了復雜機械系統(tǒng)時變不確定性設計的原理。另外,通過該方法計算的可靠度是動態(tài)的,在設計階段就能“預先”已知系統(tǒng)任一時刻的可靠性,

從而可為系統(tǒng)的未來發(fā)展趨勢提供先期預警,對設備維護提供指導。文中給出了算例,說明了該方法的應用。同時,本文的方法對于其他系統(tǒng)設計具有普適性,可以推廣應用于城市公交系統(tǒng)、城市給排水系統(tǒng)、燃氣系統(tǒng)、核電系統(tǒng)等其他領域的時變不確定性設計和可靠性分析中。

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(編輯 葛趙青)

Evolution-Based Uncertainty Design for Complex Mechanical Systems

SHI Boqiang,DUAN Guochen,SHEN Yanhua,YU Guoqing

(School of Mechanical Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China)

Considering the evolution of mechanical system parameters, and based on the continuous-time model and Ito Lemma, a time-varying reliability calculation model of multi-parameter complex mechanical system is established. In this model the systems’ time-varying uncertainty can be expressed by drift functions and volatility functions, which are dependent on the drift rate and volatility rate known from basic design parameters. Thus the principle of evolution-based uncertainty design (EBUD) for complex mechanical systems is expounded. Compared with the traditional methods, this method can be applied to either the evolution-based uncertainty design of the elements (or subsystems), or the uncertainty design for complex mechanical systems by establishing uniform system state equations. By this means, the dynamic system reliability can be obtained, and the reliability at any time in the future can be calculated. Thereby the time-varying reliability calculation model can forecast the system’s future development trend and offer early warnings, giving proper advice for the equipment maintenance. Taking the design of bolt group as an example and with the model applied, the time-varying reliabilities of screws in different positions are calculated and compared. In this example, the basic time-varying parameters include the turning torqueM, the pre-loadFp, the minor diameterd1and the yield strength [S] of the screws. This method can also be used in other fields, such as evolution-based uncertainty design and reliability analysis of urban traffic control system, urban water-supply and drainage system, urban gas supply system, and so on.

evolution-based uncertainty design (EBUD); mechanical system; reliability

2014-08-11。 作者簡介:石博強(1962—),男,教授,博士生導師。 基金項目:國家自然科學基金資助項目(51075029)。

時間: 2014-12-24

網(wǎng)絡出版地址: http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20141224.1607.004.html

10.7652/xjtuxb201503014

TH122

A

0253-987X(2015)03-0080-05