宮武旗,伍儒康

(西安交通大學能源與動力工程學院,710049,西安)

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求解流線曲率法反命題的一種新型有限差分方法

宮武旗,伍儒康

(西安交通大學能源與動力工程學院,710049,西安)

針對全三元離心葉輪流線曲率法反命題設計,提出了一種求解S2m流面速度梯度方程的新型有限差分解法。該方法將相對速度沿準正交線的方向導數(shù)采用前向差分格式,將相對速度沿流線的方向導數(shù)分解為兩項,一項采用前向差分,另一項采用后向差分格式,其他各參量沿準正交線或流線的方向導數(shù)統(tǒng)一采用前向差分格式。這樣便解決了簡單采用前向差分格式或后向差分格式難以保證求解速度場的矩陣主對角線元素占優(yōu)問題,使求解格式具有較強的穩(wěn)定性和收斂性。新型有限差分求解方法應用于Krain葉輪的改型設計,經計算流體動力學(CFD)分析得,改型葉輪效率提高約0.3%,壓比提高約0.2,表明利用新型有限差分法求解S2m流面速度梯度方程是可行的。

有限差分法;S2m流面;流線曲率法;反命題;全三元葉輪

流線曲率法是葉輪機械領域中一種重要的葉輪葉片設計方法,其通過求解S2m流面的速度梯度方程求得流面上的速度分布,根據給定的設計參數(shù)變化規(guī)律設計出符合要求的葉片幾何形狀。該方法簡單、緊湊、物理意義明確,在流體機械葉輪設計中得到了廣泛應用。文獻[1]應用流線曲率法進行了軸流壓縮機和離心壓縮機的一體化設計。文獻[2]研究了流線曲率法在渦輪設計中的應用。文獻[3]研究了不同角動量對葉片載荷的影響。文獻[4]在流線曲率法中加入了摻混模型,以模擬二次流的作用。

工程中,通常采用三次樣條曲線擬合方法來求解流線曲率法的反命題問題。三次樣條曲線擬合方法求解簡單、實用,且在比較粗的網格時能獲得比較滿意的求解精度。但是,采用三次樣條擬合方法對求解算法的穩(wěn)定性和收斂性進行分析比較困難,有時無法得到滿意的解。

本文采用有限差分法對流線曲率法的反命題進行了求解,同時給出了相應的速度梯度方程的離散格式,從而發(fā)展了一種收斂性和穩(wěn)定性良好的求解方法。

1 速度梯度方程的差分格式

通過求解S2m流面速度梯度方程進行三元葉片的設計,根據葉輪內的歐拉方程、熱力學焓熵關系式以及柱坐標系下的定常無黏相,對運動動量方程組進行化簡可得到S2m流面內的速度梯度方程[5]

上述方程是通過無黏理想流動方程推導得到的速度梯度方程,適用于葉輪內主流流動未出現(xiàn)邊界層分離時的流場計算,而邊界層對流場的影響則可通過給定設計效率沿著整個流道內的分布來考慮。利用設計效率分布可以改變上述方程中熵值沿著準正交線梯度的分布,從而考慮黏性和邊界層的影響。

通過分析可知,上述方程是一個關于θ和Wm的二元微分方程組,求解該方程組即可得到符合設計要求的三元葉片。方程組中各項的離散格式如下所述。

(1)dWm/dq。該項采用前向差分格式,即

(2)dWm/dm。該項的系數(shù)是sin(α-ψ),在流道中該系數(shù)可能為正數(shù),也可能為負數(shù),因此對于dWm/dm,無論采用前向差分格式還是后向差分格式,都難以保證求解速度場的矩陣主對角線元素占優(yōu)。為了保證對角線元素占優(yōu),將dWm/dm展開為

在離心葉輪流道中,α和ψ的取值在[0,π/2]范圍內,對展開式的右邊一項采用前向差分,另一項采用后項差分,即可保證對角線元素占優(yōu)。具體為

(3)d(rCθ)/dm、dθ/dq、d(rCθ)/dq、dθ/dm和dSe/dq。對于這幾項,在迭代求解Wm的內迭代過程中不會影響迭代算法的收斂性,只有對θ進行更新后才會影響算法的收斂性,此時可以考慮統(tǒng)一使用前向差分格式進行離散。將上述離散格式代入速度梯度方程,得

ai,j(Wm)i,j=ai-1,j(Wm)i-1,j+ai+1,j(Wm)i+1,j+

ai-1,j=-sinαcosψ/(mi,j-mi-1,j)

ai+1,j=-cosαsinψ(mi+1,j-mi,j)

ai,j+1=-1/(qi,j+1-qi,j)

ai,j=ai-1,j+ai+1,j+ai,j+1-A

(1)

(2)

實際計算中,C系數(shù)對收斂性影響較小,可忽略,則有

可見,迭代求解過程穩(wěn)定收斂。具體的流線曲率法反命題求解流程如圖1所示。

圖1 反命題求解流程

2 設計算例

為了驗證上述算法的可行性,本文對Krain葉輪[6-7]進行了改型設計。Krain葉輪的設計參數(shù)如表1所示。改型設計時給定的沿流線方向的環(huán)量變化規(guī)律如圖2所示。Krain葉輪設計計算的子午速度如圖3所示。采用dWm/dm=0作為葉輪進口邊界條件。新設計葉輪與Krain葉輪對比如圖4所示,新設計葉輪為全三元葉片結構。

表1 Krain葉輪設計參數(shù)

圖2 環(huán)量變化規(guī)律

圖3 Krain葉輪子午速度

(a)新設計葉輪 (b)Krain葉輪圖4 2種葉輪對比

3 計算流體動力學分析對比

使用CFX軟件對Krain葉輪和新設計葉輪進行了計算流體動力學(CFD)分析計算,性能參數(shù)如圖5和圖6所示。

圖5 葉輪效率曲線

由圖5、圖6可知,2種葉輪的性能曲線差別較小,新設計葉輪的效率提高了約0.3%,壓比提高了約0.2?？梢?本文有限差分法是一種可行的三元葉輪設計方法。

圖6 葉輪壓比曲線

4 結 論

本文提出了一種求解S2m流面速度梯度方程的有限差分法,它是一種穩(wěn)定的收斂差分格式,同時給出了相應的求解流程。采用本文的反命題求解算法重新設計了Krain葉輪,性能參數(shù)比Krain葉輪略有提高,效率最高提高了約0.3%,壓比最高提高了約0.2。這表明,本文的有限差分求解反命題方法是一種可行的三元葉輪設計方法。

[1] 楊小賀, 單鵬. 風扇與軸流離心壓氣機一體化通流設計方法 [J]. 航空動力學報, 2010, 25(2): 443-450. YANG Xiaohe, SHAN Peng. Integrative design method of fan and axial-centrifugal compressor [J]. Journal of Aerospace Power, 2010, 25(2): 443-450.

[2] 弓升. 基于S2流面的渦輪葉片設計方法研究 [D]. 南京: 南京航空航天大學, 2008.

[3] 李園園. 面向透平壓縮機氣動設計的可壓縮流動數(shù)值計算方法 [D]. 西安: 西安交通大學, 2012.

[4] CASEY M V, ROBINSON C. A new streamline curvature throughflow method for radial turbomachinery [J]. ASME Journal of Turbomachinery, 2010, 132(3): 031021.

[5] 王尚錦. 離心壓縮機三元流動理論與應用 [M]. 西安: 西安交通大學出版社, 1991.

[6] KRAIN H. Swirling impeller flow [J]. ASME Journal of Turbomachinery, 1988, 110(1): 122-128.

[7] KRAIN H, HOFFMANN W. Verification of an impeller design by laser measurements and 3D-visous flow calculations, ASME 89-GT-159 [R]. New York, USA, ASME, 1989.

(編輯 苗凌)

New Finite Difference Scheme for Solving Inverse Proposition of Streamline Curvature Method

GONG Wuqi,WU Rukang

(School of Energy and Power Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

For the streamline curvature inverse proposition design of a full three-dimensional centrifugal impeller, a new finite difference method is put forward to solve the S2m stream surface velocity gradient equation. In the difference scheme, forward difference is chosen for the relative velocity derivative along the quasi orthogonal curve; that along the streamline direction is decomposed into two items, forward difference is used for first item, backward difference for another, and forward difference for all other parameter derivatives. The scheme solves the difficulty to guarantee the matrix main diagonal elements being dominant in solving velocity field with simple forward difference or backward difference scheme, and has higher stability and convergence. The new finite difference scheme is taken to redesign Krain impeller. The CFD analysis shows that modified impeller efficiency is increased by 0.3%, and compression ratio is heightened 0.2.

finite difference; S2m stream surface; streamline curvature; inverse proposition; full three-dimensional centrifugal impeller

2014-08-27。 作者簡介:宮武旗(1968—),男,副教授。 基金項目:陜西省自然科學基金資助項目(2013JM7006)。

時間: 2015-01-05

網絡出版地址: http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20150105.0853.004.html

10.7652/xjtuxb201503002

TH452

A

0253-987X(2015)03-0011-03