鞏長忠，石海云

（中國民航大學理學院，天津 300300）

一類有時變時延耦合動態(tài)節(jié)點的復雜網(wǎng)絡同步

鞏長忠，石海云

（中國民航大學理學院，天津 300300）

針對一類具有時變時延動態(tài)節(jié)點的復雜網(wǎng)絡,研究其同步問題。基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性反饋控制理論,設計了線性控制器,得到具有時變時延耦合動態(tài)節(jié)點的復雜網(wǎng)絡同步的充分條件。最后,利用數(shù)值仿真驗證了方法的有效性。

同步;復雜網(wǎng)絡;耦合;時變時延;節(jié)點

現(xiàn)實生活中，復雜網(wǎng)絡無處不在，復雜網(wǎng)絡的同步問題更是引起各個領域的廣泛關注。文獻[1]中研究了無時延的有不同節(jié)點的網(wǎng)絡同步問題，文獻[2]中研究了有時延的不同節(jié)點間的網(wǎng)絡同步問題，文獻[3]在文獻[1-2]的基礎上研究了有時延的不同節(jié)點的自適應耦合的網(wǎng)絡同步問題。文獻[4]研究了有時延動態(tài)節(jié)點耦合復雜網(wǎng)絡的脈沖同步問題。上述研究中的時延均為定值，本文研究具有時變時延的動態(tài)節(jié)點的復雜網(wǎng)絡的同步問題，增加了系統(tǒng)的復雜性。

1 預備知識

本文將分析具有時變時延和非線性內(nèi)部耦合函數(shù)的復雜動態(tài)網(wǎng)絡的同步問題，模型如下

其中：i=1，2，…，N，xi（t）=（xi1（t），xi2（t），…，xin（t））T∈Rn（i=1，2，…，N）是第i個節(jié)點的狀態(tài)向量；f：R×Rn→Rn是一個光滑的非線性函數(shù)；τ1（t）是動態(tài)節(jié)點的時延函數(shù)；τ2（t）是耦合的時延函數(shù)；Γ1∈Rn×n和Γ2∈Rn×n是內(nèi)耦合矩陣；A=（aij）N×N∈Rn×n和B=（bij）N×N∈Rn×n是加權配置矩陣。如果節(jié)點i和節(jié)點j（i≠j）之間有聯(lián)系，則aij>0，bij>0；否則aij=bij=0。

假設1 對于向量值函數(shù)f（t，xi（t），xi（t-τ1（t）））假設存在常數(shù)θ>0，γ>0，任意的x，y∈Rn×n和t≥0使得f滿足semi-Lipschitz條件

假設2 對i∈N，τi（t）是一個微分函數(shù)且0≤τ˙i（t）<ε<1。

假設3 內(nèi)耦合矩陣Γ是一個正定矩陣。

引理1 對任何向量x，y∈Rn和一個正定矩陣Q∈Rn×n，矩陣不等式

成立。

2 同步分析

將模型（1）作為驅動系統(tǒng)，則響應系統(tǒng)的模型如下

其中：yi（t）=（yi1（t），yi2（t），…，yin（t））T∈RN（i=1，2，…，N）是響應系統(tǒng)的第i個節(jié)點的狀態(tài)向量；ui是線性控制器，設計如下：ui=-diei（t）。

定義驅動系統(tǒng)（1）和響應系統(tǒng)（2）的誤差為

定理1 對于驅動系統(tǒng)（1）和響應系統(tǒng)（2），如果滿足下面的條件

其中：ρ>0且是一個常數(shù)。Q=A?Γ1，P=B?Γ2，I∈Rn×n是單位矩陣，λmax是相應的最大特征值。那么系統(tǒng)（1）和（2）達到同步。

證明取Lyapunov函數(shù)為

3 數(shù)值仿真

為了證明該方法的有效性，在Matlab的環(huán)境下進行了數(shù)值仿真。節(jié)點的動力學方程為

加權配置耦合矩陣A，B有如下形式

圖1 同步誤差‖e（t）‖F(xiàn)ig.1 Synchronization error‖e（t）‖

t∈[0，+∞）是同步誤差的2-范數(shù)，由定理1知整個網(wǎng)絡漸近同步。圖1和圖2給出仿真的部分結果，可知系統(tǒng)（3）和（4）的誤差曲線迅速地收斂到0，即系統(tǒng)（1）和（2）能很好地達到同步。

圖2 同步誤差ei1，ei2，ei3Fig.2 Synchronization errors ei1，ei2，ei3

4 結語

本文討論了節(jié)點及耦合項都含有時變時延的復雜動態(tài)網(wǎng)絡的同步問題?；贚yapunov穩(wěn)定性理論和線性控制理論，設計了線性控制器，從而給出網(wǎng)絡間同步的充分條件。為了驗證方法的有效性，進行了數(shù)值仿真。從仿真結果可以發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡同步的速率不僅受反饋強度和時間延遲的影響，也會受到網(wǎng)絡規(guī)模和結構的影響。數(shù)值仿真的結果檢驗了理論的有效性。

[1]SONGQ，CAO J，LIU F.Synchronization of complex dynamical networks with nonidentical nodes[J].Phys Lett，2010，A374：544-551.

[2]CAI S，HE Q，HAO J，et al.Exponential synchronization of complex networks withnonidentical time-delayed dynamical nodes[J].Phys Lett，2010，A374：2539-2550.

[3]HU CHENG，YU JUAN，JIANG HAIJUN，et al.Synchronization of complex networks with nonidentical nodes and adaptive coupling strength [J].Phys Lett，2011，A375：873-879.

[4]WU SHUGUO，YAO HONGXING.Impulsive synchronization of two coupled complex networks with time-delayed dynamical nodes[J].Chin Phys，2011，B20：1056-1062.

（責任編輯：楊媛媛）

Synchronization of a class of coupled complex networks with time-varying and delayed dynamical nodes

GONG Chang-zhong，SHI Hai-yun
（College of Science，CAUC，Tianjin 300300，China）

The synchronization of two coupled complex networks with time-varying and delayed dynamical nodes is studied. Based on the Lyapunov stability and the liner feedback control theory，the linear controller is designed and some corresponding sufficient synchronization conditions are derived.Finally，numerical simulations are presented to verify the effectiveness and the correctness of the synchronization criteria.

synchronization；complex network；couple；time-varying delay；node

TP273

:A

:1674-5590(2015)02-0057-03

2013-09-03；

:2013-11-21

:中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項（ZXH2012B003，ZXH2012K002）

鞏長忠（1959—），男，山東蓬萊人，教授，博士，研究方向為非線性控制.