牟德一，常小定

（中國民航大學理學院，天津 300300）

多重不確定下生產與運輸的聯合優(yōu)化模型

牟德一，常小定

（中國民航大學理學院，天津 300300）

考慮如何根據不同的運輸需求來組織對所需產品的生產,使得生產和運輸總成本最小。在假設需求量為隨機變量的條件下,生產廠家生產單位產品所需的成本和所消耗的原材料為不確定變量,從而建立了生產運輸的不確定隨機規(guī)劃模型。最后,一個實例表明了所建立的模型是有效的。

生產管理;運輸問題;不確定變量;不確定隨機規(guī)劃

對于生產企業(yè)來說，生產問題和運輸問題是很重要的問題，通常這兩個問題被單獨考慮。然而為了尋求利益的最大化，企業(yè)不得不考慮生產與運輸的整個過程，不僅要安排合理的生產計劃，還要規(guī)劃出相應的運輸方案。因此，許多研究者開始綜合考慮生產與運輸，優(yōu)化生產-運輸系統(tǒng)的問題。Glover，Jones，and Karney（1979）以供應鏈管理（SCM）的形式提出了生產-分配-庫存的規(guī)劃系統(tǒng)（PDI）[1]；Blumenfeld，Burns，and Daganzo（1991）建立了生產和運輸的整合模型[2]；Holmberg and Tuy（1999）假設需求為隨機變量，研究并提出了具有隨機需求和凹生產成本函數的生產-運輸模型[3]。然而，這些模型都直接或間接地與庫存相聯系，其中庫存成本占據著總成本中相當大的部分。顯然，為了降低成本，有必要建立直接的生產-運輸模型，以尋求利益的最大化。

另一方面，在實際的生產-運輸過程中，由于原材料的缺乏、市場情況的變化、天氣以及道路條件的變化等諸多因素，使得原材料的供應量、生產和運輸成本、需求量等成為不確定變量。為了處理這種不確定性，Liu（2007）提出了不確定理論，隨后，將不確定理論應用于生產和生活實踐之中，提出不確定規(guī)劃[4]，建立不確定模型；并在2013年重新補充和修訂了這一理論[5]。于是，更多的研究者開始從事這一領域的研究工作?；谶@一不確定規(guī)劃，Rong（2011）提出了兩個具有不確定成本的不確定庫存模型[6]；Mou等（2013）建立了最小化運輸時間的運輸模型[7]；Gao（2012）研究了不確定設備選址問題[8]。但到目前為止，尚未見到利用不確定理論研究生產和運輸聯合決策問題的報告。在實際的生產-運輸的過程中，產品與原料信息數據往往相對缺乏，此時需利用專家意見來綜合出相關量的不確定性度量，而不確定理論提供了此類問題的建模工具。

基于以上考慮，本文將利用不確定規(guī)劃研究生產-運輸問題。在最優(yōu)化生產和運輸的操作過程中，不僅要使原材料得到充分利用，而且還要使得運輸需求得到盡可能的滿足。于是，在生產過程中運用不確定機會約束，而在運輸過程中利用隨機機會約束，建立生產運輸的不確定-隨機的聯合優(yōu)化模型，并研究此模型的確定性等價問題以及求解方法。最后給出一個算例。

1 基本知識

本節(jié)介紹不確定理論的一些基本知識，作為后續(xù)問題的研究基礎。

定義1 從不確定空間（Γ，L，M）到實數集的可測函數ξ=ξ（r）稱為不確定變量，如對任意的實數博雷爾集B，集合

是一個事件。

于是，對于一組不確定變量ξ1，ξ2，…，ξn和一實值可測函數f，有

為了進一步研究不確定變量，像概率分布那樣，下面給出不確定分布的概念。

定義2 設ξ是一個不確定變量，對于任意實數x，稱

為不確定變量ξ的不確定分布函數。

為了根據不確定分布計算不確定測度，Liu（2013）提出了測度反演定理。

定理1 設ξ是一個不確定變量，且有連續(xù)的不確定分布Φ，那么對任意的實數x，有

定義3 不確定分布Φ被稱為是規(guī)則的，如果對每一個α∈（0，1），其逆函數Φ-1（α）都存在且唯一。

定理2 設ξ1，ξ2，…，ξn是獨立的不確定變量，且分別有規(guī)則的不確定分布Φ1，Φ2，…，Φn。如果函數f（x1，x2，…，xn）對于x1，x2，…，xm是嚴格增的，對于xm+1，xm+2，…，xn是嚴格減的，那么

是一不確定變量，且有逆不確定分布

定義4 設ξ是一個不確定變量，那么ξ的期望值為

假設這兩個積分中至少有一個是有限的。

定理3 設ξ是一個不確定變量，且有規(guī)則的不確定分布Φ，如果期望值存在，那么有

同時，Liu（2013）提出了期望值算子的線性性質，即

其中：ξ、η為兩個獨立的不確定變量且有有限的期望值；a，b為任意的兩實數。

2 問題的描述及分析

生產-運輸網絡建模的基本目標是優(yōu)化生產-運輸成本，在考慮生產過程中原材料的消耗和加工的同時，還應充分把握運輸過程中節(jié)約成本的機會。在生產過程中，降低生產成本的同時，必須在各自的生產能力范圍之內安排自己的生產任務。在利用不同的運輸工具進行運輸時，單位運輸成本會有所不同；因此，必須制定基于需求的運輸方案，以達到減少不必要的運輸和降低運輸成本的目的。

本文將考慮不確定需求下的單產品生產-運輸網絡（多個生產商和多個客戶）。根據不同的運輸需求來組織對所需產品的生產，使得生產-運輸總成本最小。在需求量為隨機變量，生產廠家生產單位產品所需的成本和所消耗的原材料為不確定變量的條件下，利用不確定規(guī)劃和隨機規(guī)劃方法建立了生產運輸的不確定隨機規(guī)劃模型。

3 模型的建立

3.1 不確定的產品生產模型

假設有m個生產廠家，為n個不同的客戶生產同一種產品P，P由l（l=1，2，…，k）種原材料h1，h2，…，hk加工而成。又有如下符號假設：ci0為廠家i（i=1，2，…，m）的啟動成本；ηi為廠家i（i=1，2，…，m）所生產的產品P的單位可變成本，為不確定變量；ξihl為廠家i生產單位產品P所消耗的原材料hl（l=1，2，…，k）的不確定變量；φi為ηi的不確定分布；φihl為ξihl的不確定分布；Shl為原材料hl的供應量；yi為廠家i所生產的產品P的產量，為決策變量；Vi為廠家i的生產能力；αhl為預先給定的置信水平。

基于以上假設，在充分利用原材料的基礎上，以最小化生產成本為目標，建立如下不確定產品生產模型為

在上述模型中，目標函數是最小化期望成本，而主約束為使得原材料得以充分利用的不確定機會約束。

3.2 隨機需求的運輸模型

假設n個不同的顧客對產品P的需求是隨機的，且由上述m個生產廠家供應。符號假設如下：cij為從生產廠家i到顧客j的單位運輸成本；xij為從生產廠家i到顧客j的運貨量，為決策變量為需求量bj是服從正態(tài)分布的獨立隨機變量n）為預先給定的置信水平為標準正態(tài)分布函數。

根據傳統(tǒng)的運輸問題模型，帶有隨機需求的運輸問題模型為

在此模型中，主約束使得需求得到最大程度的滿足。

3.3 生產與運輸的聯合優(yōu)化模型

生產問題與運輸問題是運籌學研究的兩個重要問題。當考慮由生產商加工產品，再運送到顧客的整個過程時，就需要綜合考慮生產和運輸兩大重要問題。不同的生產計劃需要安排不同的運輸方案；而不同的運輸需求也要求生產計劃有相應的調整。因此，根據實際情況的不同以及要實現的目的的不同，設計合理的生產-運輸方案將是十分必要的。

在實際生活中由于生產與運輸結合的緊密性，所以為了減少生產與運輸的總成本，必須綜合考慮這兩個問題而不是單個考慮。首先，為了達到節(jié)約成本的目的，必須有效地組織生產并安排運輸。因此，在這里考慮使得每個生產商生產的產品全部得以運輸，即

基于上式，可根據需求的變化來對產品的生產進行有效的調整，以達到降低各方成本、優(yōu)化生產運輸網絡的目的。

于是聯立模型（1）和（2），立即可得不確定環(huán)境下的生產運輸聯合優(yōu)化模型為

為了求解這一模型，根據3.1節(jié)中介紹的不確定理論，可得如下引理。

引理1 假設函數g（x，ξ1，ξ2，…，ξn）對于 ξ1，ξ2，…，ξk是嚴格增的，對于ξk+1，ξk+2，…，ξn是嚴格減的。如果ξ1，ξ2，…，ξn是獨立的不確定變量，且分別有不確定分布Φ1，Φ2，…，Φn，那么機會約束

成立，當且僅當

等價于

由引理1及不確定理論，有如下定理成立。

定理4 不確定機會約束

又由概率論的知識，可得如下定理。

定理5 在模型（2）中，隨機機會約束

等價于

那么，基于3.1節(jié)中介紹的不確定理論及定理4、定理5，就可得到模型（3）的確定性等價模型為

這是一個線性規(guī)劃模型，可用Matlab軟件中的linprog命令求解。

4 數值算例

假設某產品P安排在A1、A2、A3三個產地生產，需消耗h1、h2、h3三種原材料，并分別運往四個銷地B1、B2、B3、B4。又根據專家意見有：生產單位產品P需消耗原材料h1、h2、h3的量服從線性不確定分布L（ai，hm），i=1，2，3，m=1，2，3。生產產品P的單位可變成本服從ZigZag不確定分布Z（ai，bi，ci），i=1，2，3。目的地j的需求量為隨機變量，服從正態(tài)分布。表1和表2給出了這些參數的值以及其他數值。

表1 生產廠家的各個參數值Tab.1 Parameters of manufacturers

另外，假設信度水平αhl= 0.9，l = 1，2，3，βj= 0.95，j=1，2，3，4。因為線性不確定變量L（a，b）的逆不確定分布為：Φ-1（α）=（1-α）a+αb，ZigZag不確定變量Z（a，b，c）的逆不確定分布為：如果α≥0.5，Φ-1（α）=（2-2α）b+（2α-1）c。又對標準正態(tài)分布有Φ-1（0.95）=1.645，因此根據模型（4），立即可得關于此生產-運輸系統(tǒng)的優(yōu)化模型為

表2 單位運輸成本及需求量的正態(tài)分布參數Tab.2 Normal distribution of unit delivery cost and demand

這是一個線性規(guī)劃模型，用Matlab軟件中的linprog命令可得該模型的解，亦即最優(yōu)生產計劃、運輸方案以及生產量和需求量如表3所示。

表3 最優(yōu)運輸方案、生產商的產量以及需求地需求量Tab.3 Optimal transportation scheme，manufacturers’outputs and destinations’demands

生產所需的成本為 302.000 0，運輸成本為21.260 0，總成本為333.260 0。

5 結語

本文考慮了生產與運輸的整個過程，研究了具有多生產商多目的地的單產品生產-運輸問題。在生產過程中，通過引入不確定理論，提出了不確定的產品生產模型；在運輸過程中，假設需求量為隨機變量，建立了隨機需求的運輸模型?；诟鶕煌倪\輸需求來組織對所需產品的生產，使得生產運輸總成本最小的生產-運輸方案的考慮，假設所生產的產品能夠及時全部地運送到需求地，從而聯立不確定的產品生產模型和隨機需求的運輸模型，建立了生產-運輸的聯合優(yōu)化模型。通過對目標函數取期望以及對約束函數取信度，將這一不確定隨機的聯合優(yōu)化模型轉化為確定性的模型。此確定性模型是一線性規(guī)劃模型，可利用Matlab求解。最后，通過一個實例說明本文所建立模型和方法是有效的。

[1]GLOVER F，JONES G，KARNEY D.An integrated production，distribution，and inventory planning system[J].Interfaces，1979，9：21-35.

[2]BLUMENFELD D E，BURNS L D，DAGANZO C F.Synchronizing production and transportation schedules[J].Transportation Res，1991，Part B 25：23-37.

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（責任編輯：楊媛媛）

圖13 盈虧平衡分析Fig.13 Breakeven analysis

本算例中的研制成本、定價和盈虧平衡點分析，是在一系列假設條件下得到的，當這些假設因素變化時，結論將隨之變化。對主要影響因素討論如下：

1）發(fā)動機和系統(tǒng)采購成本 每架機增加發(fā)動機和系統(tǒng)采購成本500萬美元，盈虧平衡點為232架；

2）熟練系數 勞務成本的熟練因子b的假設，如果從0.85變?yōu)?.88，盈虧平衡點將變?yōu)?43架；

3）客戶服務支出 如果客戶服務支出占銷售收入的比例從5%升為8%，盈虧平衡點將變?yōu)?28架；

4）項目研制周期 增加項目研制周期，將增加非重復成本和盈虧平衡架數。

4 結語

本文描述了民機產品的全壽命周期成本的定義與初步估算方法，以基于DOC的競爭定價為紐帶，形成完整的民機項目經濟可行性分析模型。通過工程實踐，具有一定的實際指導意義。

當然，在國產民機型號的實際應用中還存在一些問題，主要表現在：①成本數據統(tǒng)計規(guī)范不能滿足評估模型要求，包括研發(fā)成本統(tǒng)計規(guī)范和運營成本統(tǒng)計規(guī)范；②成本經驗數據缺失和矛盾，對模型的應用提出了較大的挑戰(zhàn)；③本模型還未考慮時間價值的因素，計算存在誤差。解決上述問題，將是未來主要的研究方向。

參考文獻：

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[4]MARKISH J.Valuation Techniques for Commercial Aircraft Program Design[R].S M Thesis，MIT，2002.

（責任編輯：黃 月）

Joint optimization model of production and transportation under multi-uncertainty

MOU De-yi，CHANG Xiao-ding
（College of Science，CAUC，Tianjin 300300，China）

Organizing the required products’manufacture according to various transporting demands can make the total cost of manufacture and transportation the least.Consuming that the delivery demands are random variables，and the cost of unit product manufacture as well as the consumed raw materials are uncertain variables，the uncertain stochastic programming model about production and transportation is developed.Finally，a practical case verifies the effectiveness of the model.

production management；transportation problem；uncertain variables；uncertain-stochastic programming

O221

:A

:1674-5590(2015)02-0060-05

2013-10-23；

:2013-11-11

:中央高校基本科研業(yè)務費專項（ZXH2012K005）

牟德一（1960—），男,四川合江人，教授，博士，研究方向為運籌與優(yōu)化、航空運輸管理.