嚴 卿，胡典順，2，汪鈺雯，紀靜萍，黃舒嫻

（1.華中師范大學 數學與統(tǒng)計學學院，湖北 武漢 430079；2.華中師范大學 教師教育學院，湖北 武漢 430079）

中美兩國課程標準中高中函數內容的比較

嚴 卿1，胡典順1，2，汪鈺雯1，紀靜萍1，黃舒嫻1

（1.華中師范大學 數學與統(tǒng)計學學院，湖北 武漢 430079；2.華中師范大學 教師教育學院，湖北 武漢 430079）

摘要：美國于2010年頒布了《共同核心州立數學標準》，其高中函數部分的內容與中國《普通高中數學課程標準（實驗）》相比，二者的知識點都有比較清晰、具體的要求，都重視函數的應用以及與信息技術的結合；而在課程實施的靈活性、內容編排的邏輯性與具體知識點的要求等多方面都有一定的區(qū)別.比較中美兩國數學課程標準的高中函數內容，可以得到不少啟示，在未來的課程改革中要處理好數學課程標準中函數內容的限定與自主的關系，函數知識的理解與應用的關系，函數知識與其它數學知識的關系.

關鍵詞：共同核心州立數學標準；函數；中美比較

1　引 言

長期以來，美國認識到如果不提高基礎教育，特別是數學教育的質量，美國就會失去全球化競爭力.強烈的危機感以及學生在第三次國際數學與科學教育研究（TIMSS），國際學生評估計劃（Program for International Student Assessment，簡稱PISA）等國際比較項目中表現不佳，促使美國數學教育界不斷地反思、比較，以改進自己的數學教育[1].近年來，全美數學教師理事會（National Council of Teachers of Mathematics，NCTM）公布了一系列的數學課程與數學標準，如《學校數學的原則和標準》（2000）、《課程焦點》（2006）、《高中數學焦點：推理與意義建構》（2009）等.這些課程與標準的出臺旨在提高美國學生的數學成績，建立具有國際競爭力的全美統(tǒng)一的優(yōu)質數學教育.2010年，全美州長協(xié)會（National Governors Association，NGA）和各州教育長官理事會（The Council of Chief State School Officers，CCSSO）共同推出了《共同核心州立數學標準》（Common Core State Standards for Mathematics，簡稱CCSSM），標準的出臺在美國引起了很大的反響[2~4].

進入新世紀，中國也相繼成立了義務教育和普通高中課程標準研制小組.2003年4月，出臺了《普通高中數學課程標準（實驗）》.縱觀兩國數學課程標準，可以找到許多值得相互借鑒的地方.在《共同核心州立數學標準》中就明確指出借鑒了中國的課程標準；而在《普通高中數學課程標準（實驗）》中雖然沒有專門注明，但注重提供知識的實際背景、對于活動過程與問題解決的重視等都能看出對于美國數學教育的借鑒.以上也就體現了東西方教育“相向運動”的態(tài)勢[5].目前，國內學者關于美國數學教育的研究有不少成果[6~14]，中美兩國數學課程標準的比較及其相關研究也是研究的熱點問題之一[15~19].顯然，借鑒美國經驗，既能為解決中國當前數學教育的問題提供參考，又能給課程改革以啟示.

函數是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數學模型.通過函數的學習，學生可以理解數學知識來源于生活、而又應用于現實生活，能夠加深對于數學本質的認識.和《美國學校數學教育的原則和標準》（NCTM，2000）相比，《共同核心州立數學標準》中的函數部分脫離了代數而單獨列出，足見其所受到的重視.中國《普通高中數學課程標準（實驗）》中，函數也占據著重要的地位.在編排順序上，函數是必修數學1中的主要內容，數學1又是其它內容的基礎，且專門提到“函數的思想方法將貫穿高中數學課程的始終”[20].距離《普通高中數學課程標準（實驗）》頒布已有10年，其中函數部分的相關內容始終是研究關注的重點領域[21~24].以中美兩國課程標準中的“函數”內容為例，對中國《普通高中數學課程標準（實驗）》（2003）（以下簡稱“中國《標準》”）和美國《共同核心州立數學標準》（2010）（以下簡稱“美國《標準》”）進行比較.希望通過比較研究能給中國數學課程標準的修訂與教學改革提供一些參考.

2　函數具體內容的比較

美國《標準》函數部分的內容標準分為4大板塊：

（1）理解函數；（2）建立函數；（3）線性函數，二次函數，指數函數模型；（4）三角函數.

中國《標準》關于函數的內容來自數學1中函數概念與基本初等函數Ⅰ以及數學4中的三角函數.主要內容包括：

（1）函數；（2）指數函數；（3）對數函數；（4）冪函數；（5）函數與方程；（6）函數模型及其應用；（7）實習作業(yè)；（8）三角函數等8個部分，以及“說明與建議”部分中相應內容的補充.

下面以美國《標準》的劃分維度為依據進行比較.

2.1理解函數

理解函數見表1.

表1　理解函數

美國《標準》中的“理解函數”部分涵蓋內容很廣，既包含了函數的概念、性質等，又涉及從線性函數、二次函數到指數函數、對數函數等各初等函數的性質.與此同時，美國《標準》中沒有專門涉及各初等函數的板塊.因此，在這里把中國《標準》中（1）至（5）板塊都歸入該維度.

從而，這種結構上的不同帶來的一個主要區(qū)別即是對于具體初等函數要求的不同.以指數函數為例，中國《標準》中包括引入，概念、性質以及解決簡單實際問題，強調連貫、全面學習指數函數.而在《美國》標準中，則有“會畫指數函數圖象，會求截距和極端情況”“會根據指數的性質去理解指數函數的意義”等，主要側重于對于指數函數特點的分析.此外，美國《標準》將各初等函數的分析放在同一板塊中，有利于對其進行比較.

對于函數特點的分析，美國《標準》的要求更加豐富、具體.中國《標準》中所涉及的特點包括定義域、值域、單調性、最大（?。┲怠⑵媾夹?、特殊點，美國《標準》中則多出了截距、正（負）區(qū)間、對稱性、極端情況（當x趨向于無窮時的情況）、周期性、指定區(qū)間上的平均變化率、漸近線等.

對于函數的表征，兩國《標準》都強調了繪制函數圖象以及利用圖象研究函數性質.中國《標準》明確要求會畫指數函數和對數函數的圖象，美國《標準》除此之外還要求會畫平方根、立方根、分段函數、多項式函數、有理函數等的圖象.此外中國《標準》只是提出“根據需要選擇恰當方法表示函數”.美國《標準》指出運用因式分解、配方等方法研究函數性質，并“會比較兩個使用不同形式表征的函數的性質”，這就要求能夠熟練地在不同表征間轉換和轉譯，要求更加具體也更高.

在結合實際方面，中國《標準》強調通過實例引出函數及初等函數內容，并利用實例幫助理解概念和性質.美國《標準》則側重于實際背景下函數的運用，例如“在實際問題中根據實際意義確定函數的定義域”.

最后，在與相關數學知識的聯(lián)系方面，兩國《標準》都提到了函數與一元二次方程的關系，美國《標準》簡單指出二者圖象上的關系，中國《標準》則專門利用一個板塊，介紹利用函數零點來判斷方程根的情況，以及根據圖象，利用二分法求解方程.此外，美國《標準》還通過函數引出了數列的基本內容.

2.2建立函數

建立函數見表2.

美國《標準》中“建立函數”板塊主要包括函數的運算、復合、變換以及反函數等.中國《標準》中相關內容較少，在此僅把“說明與建議”部分中反函數相關要求歸入本維度.

反函數是高中數學中的難點概念之一[25]，對于該部分的內容，中國《標準》只是要求“以具體函數為例進行解釋和直觀理解”，與之相比，美國《標準》具體列出了關于反函數的幾條標準，例如求反函數在特定點的值、反函數的存在條件等，并要求能求已知函數的反函數.兩國《標準》都提到了指數函數與對數函數這一對重要反函數，美國《標準》還要求會將其用于解決現實問題.

美國《標準》要求會進行函數間的運算與復合，對于函數的變換要求會識別當解析式變化時圖象的變化情況，并利用計算機研究參數改變時函數圖象的變化.從“*”標記的情況與所給例子來看，美國《標準》這一板塊的內容很重視函數與現實情境的聯(lián)系.現實世界中的問題如果要轉化為函數模型，往往不可能由某一種函數簡單描繪，因此函數的運算、復合乃至變換就十分重要.

此外，雖然中國《標準》在數列部分提到了其與函數的聯(lián)系，但數列安排在了數學5中.而美國《標準》繼“理解函數”部分提出數列概念后，這里又進一步涉及了等差數列和等比數列的通項公式.數列既是函數在數學領域中的應用、又是函數在現實中的應用，美國《標準》很好地詮釋了這一點.

2.3線性函數 二次函數 指數函數模型

線性函數，二次函數，指數函數模型見表3.

表2　建立函數

表3　線性函數 二次函數 指數函數模型

美國《標準》中該板塊要求在現實情境中，根據需要，在理解線性、二次和指數模型增長情況的前提下能夠選擇并利用合適的函數模型，重點在于能夠識別這幾種函數模型增長的差異.相應的，中國《標準》中“（6）函數模型及其應用”也包含了指數函數、對數函數等增長差異的比較以及初等函數應用等內容，故歸入此維度.

兩國《標準》都注意到了對幾種增長型函數進行比較分析的必要性，也都認識到這種比較是基于實際應用中的需要，其中美國《標準》在這一板塊的標題上直接標注了“*”，開宗明義地指出了這部分就是為函數模型服務的，例如“根據具體情境理解線性函數和指數函數中參數的意義”，正是由于現實情境的千差萬別，導致會面對同種函數不同參數的情況，因此安排該知識點正是考慮到了函數的實際運用，與此同時，這種結合具體情境的安排對于學習者來說也是十分合理的，否則學習者恐怕難以理解為何要研究參數變化的情況.類似的，中國《標準》也提到“結合實例體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同函數類型增長的含義”.

具體到條目中的要求，美國《標準》的表述更加詳細.例如，對于線性函數和指數函數的區(qū)別，要求證明二者在相等區(qū)間長度上函數值增長情況的不同；會在給定圖象、關系描述或數據的情況下建立線性函數或指數函數模型；能夠從圖象或數表觀察函數增長情況的區(qū)別.既有嚴格證明方面的要求，又要會識別圖象或數據信息.相對而言，中國《標準》中只是簡單提出要“比較差異”、“體會不同增長的含義”，沒有具體說明要比較幾種函數的哪些方面，要求不明確.“收集函數模型實例、了解函數的廣泛應用”作為一條標準，很難界定需要怎樣執(zhí)行才算達到要求.

2.4三角函數

三角函數見表4.

表4　三角函數

在美國《標準》中，三角函數是唯一單獨列出的初等函數，中國標準中更是將其安排在了數學4中，體現了對其特殊性的認識與重要性的認可.

就具體內容來說，兩國《標準》都由弧度制的定義入手，借助單位圓理解三角函數并推導出誘導公式，對于同角三角函數的關系式也做出了類似要求.對于三角函數的性質，兩國《標準》共同關注的都有周期性.此外中國《標準》強調了單調性、最值以及圖象與x軸的交點，美國《標準》則更重視三角函數的對稱性、奇偶性.中國《標準》要求利用計算機畫出三角函數圖象，并研究參數變化時對函數圖象變化的影響.美國《標準》對反三角函數提出了明確要求，能夠求解反三角函數，并使用計算器求出數值.美國《標準》包含了和角與差角公式，相關內容中國《標準》則安排在了三角恒等變換中，由向量數量積引出.

在三角函數的應用方面，美國《標準》要求能根據給定周期現象的特點選擇合適的三角函數模型，根據具體情境列出三角方程；中國《標準》只提到用三角函數解決簡單實際問題，缺乏更加細致的要求.

3　結 論

中美《標準》中“函數”部分內容有很多相似之處，主要表現在以下幾個方面：

（1）知識點的要求都比較清晰、具體.中國《標準》中體現在“指數函數”、“對數函數”以及“函數與方程”部分的內容比較細致，美國《標準》在函數的表征、函數的運算與復合函數、反函數、初等函數比較等方面都有十分詳盡的要求.另外，兩國標準都提供了一些具體例子來配合說明，例如，美國《標準》在談到數列是定義在整數子集上的特殊函數時聯(lián)系了斐波那契數列的例子，中國《標準》在“運用函數圖象理解和研究函數的性質”時也附加了一個關于變速跑步的參考案例.

（2）都很重視函數的應用.中國《標準》中函數、初等函數的概念強調了解其實際背景，對于指數函數具體給出了幾個背景實例如細胞分裂等，對于指數函數、分段函數、三角函數等也都要求能夠簡單應用，并且安排了“函數模型及其應用”板塊，要求收集函數模型實例，體會其廣泛應用.美國《標準》直觀上通過“*”標記了大量與函數模型有關的內容，并且在涉及這些內容的地方安排了具體實例，如在復合函數部分安排了這樣一個例子：隨著時間變化的氣球溫度的函數由隨著時間變化的高度函數與隨著高度變化的溫度函數合成.這種例子的安排能夠幫助學生了解該知識點是如何應用于實際的.

（3）都強調利用信息技術幫助理解和分析函數性質.例如美國《標準》要求“會使用計算機繪制復雜函數的圖象，并會從圖象中得到函數的主要特征”、“會使用計算機來驗證和解釋參數對于函數圖象的影響”以及使用計算器求解反三角函數；中國《標準》中也有“能借助計算器或計算機畫出具體指數函數、對數函數的圖象，探索并理解指數函數、對數函數的單調性與特殊點”、“利用計算工具，比較指數函數、對數函數以及冪函數增長差異”以及借助計算機研究參數對于三角函數圖象變化的影響等.

兩國《標準》“函數”部分內容也有很多不同之處，主要表現在以下幾個方面：

（1）標準實施中的靈活程度不同.美國《標準》雖然規(guī)定了函數部分的內容及要求，但并沒有限定哪一個年級必須執(zhí)行哪些知識點，課程設置有一定的自由度.中國《標準》則把除三角函數外的內容都列入了數學1中.數學1是數學2至數學5的基礎，這樣一來，函數課程的開設時間就相對被限定了.

（2）板塊（或內容）間的邏輯關系不同.兩國《標準》中三角函數部分都被相對獨立地安排，其余板塊以及之間聯(lián)系都有很大不同.美國《標準》“理解函數”部分側重整個函數內容基礎知識的學習，之后的“建立函數”與“線性函數，二次函數，指數函數模型”則是在此基礎上的深入，且明顯立足于函數的實際應用，即這3個板塊體現了從學習知識到應用知識的遞進過程，反映了由理解知識到在現實中應用知識，并在應用中加深理解的構想.與之不同，中國《標準》將幾種基本初等函數單獨設立了板塊，前4個板塊都主要強調函數的理解，第五板塊“函數與方程”是函數在數學中的一個應用，其后才又專門設置了“函數模型及其應用”.

（3）知識點的廣度、深度不同.廣度上，主要體現在美國《標準》相比中國《標準》多出了函數的運算、復合及變換這部分的內容，以及在繪制函數圖象方面，要求能畫平方根、立方根、多項式函數等的圖象；中國《標準》則多出了用二分法求相應方程近似解.另外，美國《標準》沒有涉及映射的概念.深度方面，美國《標準》在反函數與表征方面有較高要求，如求已知函數的反函數（包括反三角函數）以及比較兩個使用不同形式表征的函數的性質等.而中國《標準》則在對數函數、函數與方程等內容上有更高的要求.

4　討 論

4.1處理好函數內容的限定與自主的關系

美國《標準》是基于當前各州教育水平參差不齊，內容廣而淺的現狀而制定.要通過一部標準解決這些問題，對于標準中的知識點做出多大程度上的限定是關鍵.針對教育水平參差不齊的現狀，《標準》中知識點呈現十分具體、詳細的特點；針對內容淺顯的問題，《標準》中很多知識點的要求也都有一定的難度.這樣一來，內容比較固定，內容上允許的自由度較小.與此同時，美國《標準》并沒有規(guī)定該部分內容在課程實施中的時間、順序，就這一點來說，又留出了一定的自主空間，使得各州可以靈活安排實施.

而在中國《標準》中，內容上同樣比較固定，但相比美國《標準》多了按照模塊劃分的限制.函數所在的數學1作為其它必修內容的基礎，被限定在高中數學課程的最開始，相關內容則分散在不同模塊中，給教學帶來了一些問題.例如，不等式是函數的基礎，但卻被安排在數學5，因此不得不提前給學習者講授這一部分的內容[26].又如，三角函數和三角恒等變換安排在數學4中，而解三角形則被安排在數學5中，和數列、不等式放在一起，而數列也由此與函數分割開.歸根結底，模塊化的安排是為了讓知識編排呈現螺旋形上升，幫助學習者逐步理解.然而，根據美國《標準》的附錄A——《基于共同核心州立標準的高中數學課程設計》（Designing High School Mathematics Courses Based on the Common Core State Standards）所給出的4種課程編排模式，單是“理解函數”部分的知識點就被分散到了不同年級的內容當中[27]，螺旋上升的程度相比中國《標準》有過之而無不及.既然如此，又何必要作出模塊化的限定呢？

4.2處理好函數知識的理解與應用的關系

重視函數模型是兩國《標準》共同的特點，如何貫徹這一點，處理好知識理解與應用的關系，兩國《標準》的方式有所不同，主要體現在“結論”部分所指出的兩國《標準》板塊間邏輯關系的區(qū)別上.美國《標準》的編排從總體上看呈現由理解知識到應用知識的遞進過程，具體到其中側重于應用的兩個部分（“建立函數”，“線性函數、二次函數、指數函數模型”），也體現了知識理解與應用的結合——由實際情境中運用函數的需求引出了復合函數、初等函數的比較等知識點，詳細而有條理，內容充實，而不是空談應用.

中國《標準》在理解函數的內容中并沒有忽視應用，強調由實例引出函數和初等函數的概念，這是該《標準》的一個特點，但落腳點仍在幫助學生更好地理解函數的概念與性質.至于之后安排的“函數模型及其應用”部分，其一內容太少，涉及的現實問題單一；其二缺乏具體相關知識點支撐，難以達到一定深度；其三該部分被放到最后，與其它內容割裂，容易流于形式.據此，建議聯(lián)系具體函數知識點，適當增加現實情境中運用函數的內容，并力求詳細、清晰，從而為函數模型的深入學習與運用創(chuàng)造條件.

4.3處理好函數知識與其它數學知識的關系

函數的思想方法貫穿了高中數學中的許多知識點.F·克萊因曾提出，用函數的思想方法統(tǒng)領數學教育的內容.聯(lián)系函數與相關數學知識，不僅對后者的學習有所幫助，也能加深對函數本身的理解.美國《標準》把“數列”的內容納入函數中，此外還涉及了導數、方程等內容，并用“（+）”標明了與高等數學（如微積分，高級統(tǒng)計學，離散數學等）有聯(lián)系的部分.相對而言，中國《標準》只是安排了“函數與方程”這一板塊.雖然在選修與必修中的大量內容（方程、不等式、線性規(guī)劃、數列、算法、信息安全與密碼、優(yōu)選法與試驗設計等）中都蘊含了函數的思想方法，但由于模塊化的安排所限，難以及時、靈活地與函數相關內容進行互動.因此，在函數內容中，對于這些部分，不妨做出適當引申，簡單指出其與相關知識的聯(lián)系.此外，由于這些內容相比函數本身往往更加接近現實情境，也可以結合函數的應用來一并考慮.

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[責任編校：周學智]

Comparison in the Field of “Function” on Senior High School between Chinese and American Mathematics Curriculum Standards

YAN Qing1, HU Dian-shun1, 2, WANG Yu-wen1, JI Jing-ping1, HUANG Shu-xian1
(1. School of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China; 2. School of Teacher Education, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China)

Abstract:American Common Core State Standards for Mathematics was issued in 2010. The content standards of function in high school, compared with which in Chinese mathematics curriculum standards, have something in common. Both of the standards have distinct and concrete requirements, and they both attach importance to the application of function and its combination with information technology. The two standards have some differences in flexibility of implementation, logic of content arrangement and standards of specific knowledge. We can get a great revelation from the comparison. In future curriculum reform, we should pay attention to the relationship of limitation and self regulation, of understanding and application, of function and other knowledge in the field of function.

Key words:Common Core State Standards for Mathematics; function; comparison between China and America

中圖分類號：G40-059.3

文獻標識碼：A

文章編號：1004-9894（2015）04-0019-06

作者簡介：嚴卿（1987—），男，湖北武漢人，碩士，主要從事數學課程和教學論研究.

基金項目：中央高校基本科研業(yè)務費專項資金資助——數學問題提出與數學教育改革：跨國比較研究（CCNU13F021）；湖北省教學研究項目——數學師范生拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)的理論與實踐；華中師范大學研究生教學改革研究項目——免費師范生攻讀教育碩士培養(yǎng)模式的改革研究與實踐（2013018）；華中師范大學教師教育學院研究專項資助（2012JS07）；湖北省教育科學“十二五”規(guī)劃2012年度立項課題——中學教師數學學科教學知識的理論與實踐研究（2012B010）

收稿日期：2015-03-03