趙　慶,王志強(qiáng)

(東北財(cái)經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院,遼寧 大連 116025)

現(xiàn)代投資組合理論應(yīng)用及發(fā)展綜述

趙慶,王志強(qiáng)

(東北財(cái)經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院,遼寧 大連 116025)

摘要：馬科維茨1952年經(jīng)典之作《資產(chǎn)選擇》開啟了金融數(shù)理分析的先河,投資組合模型在理論和實(shí)踐應(yīng)用方面面臨著眾多的發(fā)展與挑戰(zhàn),其中包括交易成本、組合約束及模型對(duì)收益和方差的敏感性。另外,組合優(yōu)化模型及相關(guān)領(lǐng)域同樣也面臨新的發(fā)展趨勢(shì),例如多元化方法、風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)模型、混合不同觀點(diǎn)收益和多期組合優(yōu)化問題等,對(duì)這兩個(gè)方面進(jìn)行綜述無(wú)論從學(xué)術(shù)角度還是實(shí)踐角度對(duì)組合優(yōu)化模型都是一個(gè)重要的補(bǔ)充。

關(guān)鍵詞:投資組合;實(shí)踐應(yīng)用;發(fā)展趨勢(shì)

一、 引言

Markowitz(1952)[1]的經(jīng)典之作《資產(chǎn)選擇》提出的投資組合理論開啟了金融數(shù)理分析的先河,在馬科維茨均值—方差模型(MVO模型)之前,金融投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和收益之間的關(guān)系基本上都是分開研究或者僅是偶然聯(lián)系在一起的。

雖然MVO模型在理論與實(shí)踐中影響重大,但是仍不免存在一些問題:Green和Hollifield(1992)[2]指出投資組合沒有更好的實(shí)現(xiàn)多元化;Black和Litterman(1991[3]、1992[4])指出MVO模型容易對(duì)組合中某些證券產(chǎn)生極端的權(quán)重,等等。但是以上MVO模型中存在的問題,并不代表MVO模型的錯(cuò)誤,只是意味著其在實(shí)踐中需要進(jìn)行修改,以便保證可靠性、穩(wěn)定性。本文結(jié)合Kolm等(2014)[5]等國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)對(duì)MVO模型擴(kuò)展理論和相關(guān)領(lǐng)域進(jìn)行綜述,以達(dá)到兩個(gè)目的:第一,概括MVO模型在實(shí)踐應(yīng)用方面的一些相關(guān)領(lǐng)域。如增添各種約束條件以達(dá)到滿足投資組合管理者特殊目的,又如降低MVO模型對(duì)輸入?yún)?shù)及估計(jì)誤差敏感性的方法等。第二,我們選取了部分基于MVO模型基礎(chǔ)上發(fā)展出的一些新的趨勢(shì)和研究方向。我們討論了多元化方法,概括了風(fēng)險(xiǎn)—平價(jià)組合(Risk-Parity Portfolio)模型,同時(shí)也討論了如何將不同估計(jì)的期望收益率混合在一起并且同時(shí)增加一些新的約束,最后我們概括了多期組合優(yōu)化模型。本文結(jié)構(gòu)安排如下:第二部分,我們討論如何在MVO模型基礎(chǔ)上增加約束條件以滿足投資者在實(shí)踐應(yīng)用中所遇到的挑戰(zhàn)。第三部分,我們選取了一些基于MVO模型發(fā)展的新方向及相關(guān)領(lǐng)域。

二、 投資組合模型實(shí)踐應(yīng)用

Markowitz提出的經(jīng)典MVO模型僅僅是現(xiàn)代投資組合理論的開始,投資組合方法仍有許多現(xiàn)實(shí)因素需要從不同角度對(duì)其進(jìn)行擴(kuò)展。

(一) 在MVO模型中引入交易成本

投資組合的選取是在風(fēng)險(xiǎn)與收益之間權(quán)衡,選擇最優(yōu)權(quán)重的過(guò)程,傳統(tǒng)上這個(gè)過(guò)程與交易成本是分開考慮的,然而這樣得到次優(yōu)權(quán)重經(jīng)常會(huì)導(dǎo)致巨大的交易成本,并且在一些情況下會(huì)嚴(yán)重影響經(jīng)風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整的收益率。交易成本包含:直接成本,如傭金、稅金、買賣價(jià)差等;間接成本,如滑移(Slippage)?；凭褪菍?shí)際買價(jià)高于(或?qū)嶋H賣價(jià)低于)預(yù)期水平的差額。滑移產(chǎn)生主要有兩個(gè)原因:一是市場(chǎng)價(jià)格變動(dòng)迅速,使得投資者預(yù)期的成交價(jià)格與真正行情之間脫節(jié);二是市場(chǎng)影響成本,也就是因?yàn)榻灰妆旧韺?dǎo)致市場(chǎng)價(jià)格變化,即當(dāng)買入時(shí)使得價(jià)格上升,反之亦然,并且當(dāng)單筆交易量占平均成交量較大比重時(shí),滑移對(duì)市場(chǎng)的影響便是實(shí)質(zhì)性的。更進(jìn)一步,由于各項(xiàng)資產(chǎn)的流動(dòng)性不同,其交易成本可能顯著不同,如兩項(xiàng)資產(chǎn)具有相同期望收益與風(fēng)險(xiǎn),具有較高流動(dòng)性的資產(chǎn)更傾向于具有較高的交易成本。因此,在構(gòu)建組合模型時(shí)如果忽略交易成本容易導(dǎo)致產(chǎn)生次優(yōu)組合,基于上述原因,Hasbrouck(1991)[6],Lillo等(2003)[7],Almgren等(2005)[8],孫超和李勝宏(2008)[9],任大源等(2012)[10]等眾多學(xué)者在構(gòu)建投資組合模型時(shí)均引入交易成本。

Brown和Smith(2011)[11]指出將交易成本引入投資組合模型中將會(huì)導(dǎo)致投資組合優(yōu)化問題更加復(fù)雜,難以求解。當(dāng)投資組合模型不包括交易成本時(shí)是二次規(guī)劃模型,而當(dāng)引入交易成本時(shí)則更多的變成非線性規(guī)劃模型,因此對(duì)于引入交易成本的MVO模型難以求解。對(duì)于該問題主要有兩種處理辦法:一種方法是采用專門的求解法,如Ceria等(2008)[12]使用的二階錐規(guī)劃直接求解;另一種是調(diào)整假設(shè)條件使用二次規(guī)劃方法求解,市場(chǎng)影響成本函數(shù)可以利用簡(jiǎn)單的線性或二次函數(shù)進(jìn)行近似替代,由于市場(chǎng)影響成本模型在估計(jì)時(shí)就存在較大的估計(jì)誤差,所以在數(shù)值精度上并沒有什么損失,并且通過(guò)這種近似替代的好處就是投資組合模型容易求解。

(二) 構(gòu)建投資組合模型的約束條件

MVO模型具有靈活性,使得投資組合管理者可以根據(jù)不同需求構(gòu)建組合模型,而不需要調(diào)整預(yù)期收益或風(fēng)險(xiǎn)。并且約束條件對(duì)投資組合模型產(chǎn)生重要影響,Michaud(1989)[13]指出構(gòu)建約束條件可以幫助組合抑制波動(dòng)性、提升表現(xiàn)。

1.監(jiān)管約束條件。在構(gòu)建投資組合模型中經(jīng)常引入反映市場(chǎng)監(jiān)管體系的約束,盡管這些約束條件是有可能限制投資組合管理者才能的發(fā)揮或資產(chǎn)的選擇,但是這些監(jiān)管約束條件屬于強(qiáng)制性、時(shí)刻都需要注意的。這些監(jiān)管約束條件目的是規(guī)范投資者投資行為,減小投資風(fēng)險(xiǎn),這些約束條件在各個(gè)國(guó)家或地區(qū)都存在。

2.根據(jù)客戶要求約束條件。投資組合管理者為客戶管理資產(chǎn),這樣不同客戶對(duì)投資管理者會(huì)有不同要求,例如禁止投資某個(gè)領(lǐng)域或者對(duì)某個(gè)領(lǐng)域又有特殊偏好又或者對(duì)于投資權(quán)重會(huì)有某種要求等等,這些根據(jù)客戶要求產(chǎn)生的約束條件同樣也是屬于強(qiáng)制性、需時(shí)刻注意的約束條件。

3.投資組合管理者約束條件。一般來(lái)說(shuō),構(gòu)建投資組合的約束條件絕大多數(shù)都屬于靈活的(與上述兩種強(qiáng)制約束條件相反),源于投資管理者對(duì)某些證券的特殊偏好如不同國(guó)家或地區(qū)、板塊或財(cái)務(wù)杠桿等。一個(gè)構(gòu)建合理并且經(jīng)過(guò)校驗(yàn)的MVO模型,可以準(zhǔn)確的將風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)顯現(xiàn)出來(lái),即反映出投資組合對(duì)風(fēng)險(xiǎn)與收益之間的權(quán)衡,為什么投資組合管理者還要自己增加約束條件抑制組合優(yōu)化過(guò)程而產(chǎn)生一個(gè)新的風(fēng)險(xiǎn)與收益之間的權(quán)衡？其主要的原因是源于模型保險(xiǎn)的概念,投資者發(fā)現(xiàn),風(fēng)險(xiǎn)與收益的預(yù)測(cè)模型受估計(jì)誤差的影響容易低估實(shí)際投資組合的風(fēng)險(xiǎn),因此投資組合優(yōu)化模型中風(fēng)險(xiǎn)的低估對(duì)于投資者而言更像是一種賭博,因此投資者需要增加約束條件以限制該種情況發(fā)生。

4.交易量約束。大量的買/賣證券交易容易對(duì)證券價(jià)格產(chǎn)生沖擊從而引起市場(chǎng)影響成本,因此,投資者會(huì)明顯限制某些證券成交參與率,以限制由于交易量而導(dǎo)致證券價(jià)格發(fā)生變化。該約束一般是在該組合中某只證券單日交易量不超過(guò)該證券日均成交量的一個(gè)百分比。

5.風(fēng)險(xiǎn)管理約束。投資者經(jīng)常會(huì)將投資組合風(fēng)險(xiǎn)與絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)或證券基本組合風(fēng)險(xiǎn)比較以限制投資組合模型的波動(dòng)性。對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)管理約束還有一種風(fēng)險(xiǎn)配比的方法,就是在投資組合模型中對(duì)不同國(guó)家或地區(qū)、不同風(fēng)險(xiǎn)影響因素分配不同的風(fēng)險(xiǎn)配比。

(三) 組合約束條件診斷方法

如果構(gòu)建約束條件含義不清晰或者量化過(guò)程存在巨大偏差，會(huì)導(dǎo)致投資組合不能反映組合管理者的真實(shí)目的?；诖?近年來(lái)提出一些對(duì)構(gòu)建組合約束條件進(jìn)行診斷的措施和方法以評(píng)估組合約束條件對(duì)組合及其性能的影響。

1.轉(zhuǎn)移系數(shù)(Transfer Coefficient)。Clarke等(2002)[14]提出轉(zhuǎn)移系數(shù)概念,它是投資組合模型中經(jīng)風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整活躍權(quán)重(Risk-adjusted Active Weights)與風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整預(yù)測(cè)活躍收益(Risk-adjusted Forecasted Active Returns)之間的橫截面相關(guān)系數(shù),用來(lái)度量約束條件對(duì)投資組合影響程度的方法,如果理想情況下沒有約束條件則轉(zhuǎn)移系數(shù)為1。在實(shí)踐中轉(zhuǎn)移系數(shù)約束一般取0.3~0.8*Clack et al.(2002)基于標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)實(shí)證分析轉(zhuǎn)移系數(shù)在實(shí)踐中一般取0.3~0.8,國(guó)內(nèi)目前沒發(fā)現(xiàn)類似研究。。

大多投資組合在實(shí)踐應(yīng)用中都會(huì)引入約束條件,但是眾多約束容易使模型產(chǎn)生失真,可以通過(guò)轉(zhuǎn)移系數(shù)方法來(lái)度量該約束對(duì)組合優(yōu)化模型的影響。在Clarke等(2002)[14]研究中約束條件包括:賣空限制約束、市值中立約束、換手率約束,其中賣空限制是代價(jià)最高的的約束,國(guó)內(nèi)康志林和曾燕(2012)[15]研究了風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度、投資上限有界與不允許賣空約束下的最優(yōu)投資組合。米輝和張曙光(2013)[16]研究了財(cái)富約束條件下?lián)p失厭惡投資者的動(dòng)態(tài)投資組合選擇。

2.影子成本分解(Shadow Cost Decomposition)。Clarke等(2002)[14]提供的轉(zhuǎn)移系數(shù)方法只能分析約束條件對(duì)投資組合整體的影響,而不能分析每一個(gè)約束條件對(duì)投資組合的影響,因此在實(shí)際應(yīng)用中很難運(yùn)用轉(zhuǎn)移系數(shù)判斷哪些約束條件對(duì)投資組合是代價(jià)高的約束?？梢酝ㄟ^(guò)影子成本方法分解每個(gè)約束條件對(duì)投資組合的影響:Tütüncü(2012)[17]通過(guò)影子成本分解方法在效用函數(shù)中應(yīng)用,分析了活躍權(quán)重分解(Active-Weight Decomposition)和收益影響因素分析(Return Factor Analysis)。先前使用類似方法有:Grinold(2005)[18]分解過(guò)程中對(duì)不同成本和約束條件分配機(jī)會(huì)損失(Opportunity Loss);Scherer和Xu(2007)[19]發(fā)現(xiàn)約束條件對(duì)各個(gè)證券的投資權(quán)重影響是嚴(yán)重的,但是對(duì)投資者效用影響是不明顯的;Stubbs和Vandenbussche(2010)[20]通過(guò)引入事后約束(Ex-post Constraint)發(fā)展了影子成本分解方法。

3.約束條件引起的偏差。近年來(lái),對(duì)收益和風(fēng)險(xiǎn)模型設(shè)定偏差吸引了越來(lái)越多學(xué)者的注意,如Lee和Stefek(2008)[21],Ceria等(2012)[22]證明了當(dāng)收益模型中的某些因素沒有被風(fēng)險(xiǎn)模型包含時(shí),此時(shí)利用該風(fēng)險(xiǎn)模型的組合優(yōu)化結(jié)果會(huì)在不增加風(fēng)險(xiǎn)的情況下產(chǎn)生超額收益,這樣套利機(jī)會(huì)的出現(xiàn)會(huì)導(dǎo)致投資組合優(yōu)化過(guò)程的不穩(wěn)定并且投資組合的風(fēng)險(xiǎn)也會(huì)被明顯低估,這種低估是由于收益模型中的某些因素與風(fēng)險(xiǎn)模型正交。為確保收益模型和風(fēng)險(xiǎn)模型的正確設(shè)定,Saxena等(2011)[23]對(duì)該偏差進(jìn)行了研究,分析了由約束條件導(dǎo)致的偏差,他們觀察到即使收益模型和風(fēng)險(xiǎn)模型設(shè)定正確并且收益模型中沒有因素與風(fēng)險(xiǎn)模型正交,如果將約束條件引入投資組合中也會(huì)導(dǎo)致組合優(yōu)化結(jié)果明顯低于積極風(fēng)險(xiǎn)(Active Risk)水平20%~30%*Saxena et al.(2012)基于標(biāo)準(zhǔn)普爾600指數(shù)實(shí)證分析得出的結(jié)論,目前國(guó)內(nèi)沒發(fā)現(xiàn)關(guān)于該內(nèi)容研究。,這主要是由于約束條件和MVO模型的結(jié)合反映出在風(fēng)險(xiǎn)模型中缺失的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn),同時(shí)作者也提供了一種收益校準(zhǔn)因素(Alpha Alignment Factor)*在該文中作者使用alpha代表收益率。來(lái)解決這個(gè)問題。馮用富等(2004)[24]認(rèn)為,在不確定情況下,人們追求最大化的任何選擇都會(huì)受到選擇范圍、信息與知識(shí)的約束,因而精確計(jì)算后的結(jié)果與現(xiàn)實(shí)結(jié)果具有不一致性,約束越強(qiáng),偏差就越大,理性是人們約束條件下追求最大化的行為。

(四) 緩解估計(jì)誤差對(duì)MVO模型的影響

在運(yùn)用MVO模型中,投資組合管理者不可能了解他們所有與資產(chǎn)定價(jià)相關(guān)的信息來(lái)判斷預(yù)期收益和協(xié)方差,因此,對(duì)組合輸入?yún)?shù)進(jìn)行合理估計(jì)(還有估計(jì)誤差的問題)是不現(xiàn)實(shí)的。另外,在對(duì)組合輸入?yún)?shù)估計(jì)完成后,組合優(yōu)化問題則變成一個(gè)確定性的問題,完全忽略了輸入?yún)?shù)不確定性對(duì)投資組合的影響,將輸入?yún)?shù)視為一個(gè)無(wú)誤差的變量,這顯然是不謹(jǐn)慎的。

Kritzman(2006)[25]指出估計(jì)誤差會(huì)對(duì)投資組合權(quán)重產(chǎn)生顯著影響,而投資組合期望收益率變化不大。所以,他認(rèn)為當(dāng)以組合期望收益率替代組合優(yōu)化權(quán)重作為衡量指標(biāo)時(shí),MVO模型對(duì)估計(jì)誤差是穩(wěn)健的(Robust);Best和Grauer(1992)[26]指出在MVO模型中,期望收益率估計(jì)誤差不確定性相比于協(xié)方差估計(jì)誤差不確定性的影響要大的多;Chopra和Ziemba(1993)[27]指出二者的相對(duì)重要性依賴于投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡,但是依據(jù)一般的經(jīng)驗(yàn),期望收益率誤差對(duì)MVO模型的影響要大于協(xié)方差矩陣誤差對(duì)MVO模型的影響,方差誤差大概是協(xié)方差誤差影響的兩倍。所以,在建立投資組合模型前對(duì)期望收益的估計(jì)尤為重要,然后是方差和相關(guān)系數(shù)。

1.投資組合權(quán)重的約束條件。組合管理者經(jīng)常會(huì)對(duì)組合各項(xiàng)資產(chǎn)權(quán)重進(jìn)行限制以避免出現(xiàn)極端權(quán)重導(dǎo)致模型不準(zhǔn)確。Jagannathan和Ma(2003)[28]指出權(quán)重約束對(duì)估計(jì)誤差影響的判別方法,結(jié)果顯示:沒有賣空約束條件對(duì)MVO模型影響的效果等價(jià)于減小證券協(xié)方差估計(jì)對(duì)MVO模型的影響,權(quán)重上界約束條件的效果等價(jià)于增加相應(yīng)的協(xié)方差,如果證券具有較高的協(xié)方差則更傾向于負(fù)的組合權(quán)重。

2.多元化措施。Bouchaud等(1997)[29]提出了“多元化指標(biāo)”以度量組合的集中程度,該指標(biāo)可以用來(lái)在組合構(gòu)建過(guò)程中作為限制個(gè)別證券集中程度的約束條件。特別是,集中投資組合策略對(duì)應(yīng)于了解證券大量信息內(nèi)容,等權(quán)重組合策略對(duì)應(yīng)于了解證券少量信息內(nèi)容。多元化指標(biāo)約束同樣也是減小估計(jì)誤差影響的方法。

3.貝葉斯方法與B-L模型。關(guān)于貝葉斯方法、收縮方法(Shrinkage Approaches)介紹的資料眾多,僅對(duì)應(yīng)用于MVO模型輸入?yún)?shù)估計(jì)的文獻(xiàn)進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)單的梳理,對(duì)預(yù)期收益率的估計(jì):Jobson和Korkie(1981)[30],Frost和Savarino(1986)[31],Jorion(1991)[32];對(duì)協(xié)方差的估計(jì):Ledoit和Wolf(2004)[33]*除此之外,雖然在實(shí)踐當(dāng)中應(yīng)用較少,但是也有運(yùn)用魯棒統(tǒng)計(jì)方法對(duì)MVO模型輸入?yún)?shù)進(jìn)行估計(jì),如:Trojani和Vanini(2002)[34];DeMiguel和Nogales(2009)[35]。。

B-L模型是Black和Litterman(1992)[4]在MVO模型基礎(chǔ)上運(yùn)用貝葉斯分析方法提出的改進(jìn)模型。該模型具有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn):(1)削弱了對(duì)輸入?yún)?shù)的高度敏感性的弱點(diǎn)。(2)導(dǎo)入了投資者對(duì)某項(xiàng)資產(chǎn)的主觀預(yù)期,使得根據(jù)市場(chǎng)歷史數(shù)據(jù)計(jì)算預(yù)期收益率和投資者的看法結(jié)合在一起,形成一個(gè)新的市場(chǎng)收益預(yù)期。在B-L模型基礎(chǔ)上也有眾多學(xué)者提出了改進(jìn)模型:Satchel和Scowcroft(2000)[36],Qian和Gorman(2001)[37],Meucci(2008)[38],其中Meucci(2009)[39]對(duì)B-L模型擴(kuò)展模型進(jìn)行了匯總。

4.魯棒優(yōu)化。Tetlow(2001)[40]指出在金融系統(tǒng)中魯棒性成為能否確保金融系統(tǒng)持續(xù)、正常運(yùn)行的重要因素。其中不確定集是魯棒優(yōu)化算法的核心，將含不確定參數(shù)的最優(yōu)化問題得以簡(jiǎn)化為確定型規(guī)劃問題。關(guān)于不確定集確定有幾種方法:投資者的目的是選擇最壞情況下效用最大化的投資組合,如Goldfarb和Iyengar(2003)[41],Tütüncü和Koening(2004)[42];建立模型過(guò)程中增加風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值約束,如EI Ghaoui等(2003)[43];增加條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值約束,如Garlappi等(2007)[44],Zhu和Fukushima(2009)[45]。

到目前為止,魯棒優(yōu)化主要有三種方法,第一種方法是Soyster(1973)[47]在魯棒優(yōu)化方面的開創(chuàng)性工作,提出線性優(yōu)化模型來(lái)求得一個(gè)對(duì)所有屬于一個(gè)凸集的數(shù)據(jù)均可行的解。這個(gè)推斷模型產(chǎn)生的解在某種意義上太保守,為了保證魯棒性,放棄了很多的標(biāo)稱問題的最優(yōu)性。第二種方法是Ben-Tal和Nemitovski(1998)[48]提出一種新的魯棒優(yōu)化處理不確定性環(huán)境方法,對(duì)處理過(guò)度保守性作出了努力,將魯棒優(yōu)化應(yīng)用到具有橢球不確定集合的線性規(guī)劃問題,得到了二次錐規(guī)劃。由于其非線性性,其求解較為復(fù)雜。第三種方法是Bertsimas和Sim(2004)[49]專門為多種不確定性提出的一種方法,通過(guò)生成的線性魯棒對(duì)應(yīng)來(lái)控制解的保守性水平即可以調(diào)節(jié)魯棒水平的方法,并且得到的是線性模型,相比較第二種方法也更容易求解,并且該方法也很容易拓展到離散優(yōu)化問題。*關(guān)于魯棒優(yōu)化方法主要參考高瑩(2008)[46]

和其他對(duì)MVO模型改進(jìn)方法一樣,魯棒優(yōu)化法也面臨挑戰(zhàn),Scherer(2007)[50]認(rèn)為魯棒優(yōu)化算法等價(jià)于輸入量的收縮估計(jì)法,至少在某些情況下會(huì)導(dǎo)致投資組合次優(yōu)結(jié)果輸出。

5.合并高階矩(Incorporating Higher Moments)和尾部風(fēng)險(xiǎn)措施(Tail-Risk Measures)。MVO模型是投資者假定收益率分布滿足正態(tài)分布,但是有的資產(chǎn)顯示厚尾和不對(duì)稱性導(dǎo)致不能用MVO模型描述。在很多情況下收益率尾部分布情況顯著影響投資組合表現(xiàn),Jobst和Zenios(2001)[51],Harvey和Siddique(2000)[52]通過(guò)實(shí)證顯示股票收益率偏度與投資組合選擇相關(guān),當(dāng)資產(chǎn)收益率顯示正偏鋒峰時(shí),投資組合可能導(dǎo)致負(fù)的期望收益率。

理論上根據(jù)資產(chǎn)收益率實(shí)際分布情況構(gòu)造效用函數(shù)從而組建組合模型(至少在合適規(guī)模下)是可能的,然而在實(shí)際應(yīng)用中卻很少使用這種方法,通常選擇均值—方差作為效用函數(shù)的近似替代。Levy和Markowitz(1979)[53]比較冪效用函數(shù)和均值—方差效用函數(shù)組合模型的表現(xiàn),發(fā)現(xiàn)均值—方差效用函數(shù)組合優(yōu)化結(jié)果表現(xiàn)足夠好。Cremers等(2005)[54]通過(guò)實(shí)證檢驗(yàn)對(duì)數(shù)效用函數(shù)和冪效用函數(shù)對(duì)高階矩非常不敏感,均值—方差效用函數(shù)組合優(yōu)化結(jié)果比前兩種效用函數(shù)表現(xiàn)均好。

擴(kuò)展MVO模型效用函數(shù)主要有兩種方法:第一種直接引入組合偏度和峰度,事實(shí)上,這類擴(kuò)展可以看成一般期望效用函數(shù)近似替代,使用泰勒級(jí)數(shù)擴(kuò)展效用函數(shù)并且在擴(kuò)展過(guò)程中放棄高階函數(shù),如Jean(1971)[55],Athayde和Flores(2004)[56]就是使用了該種方法。另一種擴(kuò)展方法是對(duì)組合引入尾部風(fēng)險(xiǎn)措施。除標(biāo)準(zhǔn)偏差度量風(fēng)險(xiǎn)外,最著名的是J.P.Morgan銀行1996年提出風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(VaR),但如Artzner等(1999)[57]指出VaR也存在一些缺陷,如非次可加性和非凸性,如今在構(gòu)建組合中更受歡迎的一種新的度量連貫性風(fēng)險(xiǎn)方法條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(CVaR),Rockafeller和Uryasev(2000)[58]采用線性規(guī)劃方法處理類似問題。

三、 投資組合模型發(fā)展趨勢(shì)

在這部分我們將闡述投資組合模型一些新的發(fā)展趨勢(shì)和它的相關(guān)領(lǐng)域。主要分為三部分,第一部分,討論多元化方法并對(duì)風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)組合相關(guān)領(lǐng)域進(jìn)行概括。第二部分,對(duì)混合不同觀點(diǎn)預(yù)期收益率提供了一些規(guī)范方法,并對(duì)這些規(guī)范方法所面臨的挑戰(zhàn)進(jìn)行了分析。最后,對(duì)在實(shí)踐應(yīng)用中多期組合優(yōu)化模型文獻(xiàn)進(jìn)行了梳理。

(一) 多元化方法

量化投資組合中一個(gè)重要的目標(biāo)是多元化組合收益和風(fēng)險(xiǎn)。其中一個(gè)最簡(jiǎn)單多元化方法就是等權(quán)重組合,DeMiguel等(2009)[35]指出等權(quán)重組合方法不僅能達(dá)到多元化目的,并且其表現(xiàn)有時(shí)也優(yōu)于其他組合模型,同時(shí)等權(quán)重方法不需要估計(jì)收益率和風(fēng)險(xiǎn),不受估計(jì)誤差的影響。另一種實(shí)現(xiàn)多元化投資組合的方法是使用風(fēng)險(xiǎn)模型卻不使用收益模型,Asness等(2012)[59]提出了基于風(fēng)險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)方法,風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)方法是在構(gòu)建組合模型過(guò)程中將所有證券等額分配風(fēng)險(xiǎn)。

1.度量風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)。組合管理中一個(gè)重要的概念是通過(guò)各個(gè)證券量化投資組合整體風(fēng)險(xiǎn),不同證券風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)的分布可以用來(lái)度量組合的多元化程度。有幾種不同方式定義單個(gè)證券對(duì)證券組合的風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn),如J.P.Morgan銀行1997提出的信用計(jì)量模型得到廣泛應(yīng)用,但是其中一個(gè)缺陷是所有投資組合頭寸的風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)之和一般不等于總的投資組合的風(fēng)險(xiǎn),因此使得對(duì)風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)的解釋不直觀。

另一種經(jīng)常在實(shí)踐中構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)的方法是:首先定義每種資產(chǎn)邊際風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)(Marginal Risk Contribution,MRC)等于組合標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)權(quán)重的偏導(dǎo)數(shù),則每種資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)RC等于權(quán)重與邊際風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)之積,該定義一個(gè)重要性質(zhì)是所有資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)之和等于組合總的風(fēng)險(xiǎn),同時(shí)也對(duì)證券風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)對(duì)組合風(fēng)險(xiǎn)的比率相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)(Relative Risk Contribution,RRC)進(jìn)行了定義,即每種資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)與標(biāo)準(zhǔn)差之比。

2.風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)組合。風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)組合即投資組合管理者將投資總風(fēng)險(xiǎn)平均分配到各項(xiàng)資產(chǎn),風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)組合對(duì)于投資者而言不僅能實(shí)現(xiàn)多元化組合而且更直觀更容易理解,然而相比較等權(quán)重或全局最小方差組合(Global Minimum Variance Portfolio),風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)組合更難構(gòu)建。下面考慮一種特殊情況,即僅構(gòu)建賣空限制約束的風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)組合*關(guān)于構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)組合問題如:“對(duì)于一個(gè)給定協(xié)方差矩陣是否總是存在一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)組合”或“當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)組合存在時(shí),是否是唯一的”,是非常難回答的,特別是再加上約束條件。。

構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)組合首先需要量化風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)偏差(Deviation From Risk Parity,DRP),然后實(shí)現(xiàn)最小化。Maillard和Teiletche(2010)[60]提出了一種度量風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)偏差的方法:

另外我們還可以選擇其他兩種類似方式:

風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)組合可以通過(guò)最小化以上三種風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)偏差實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)組合,但是同時(shí)也指出由于該度量方法都是權(quán)重的非凸方程,求解最小化過(guò)程非常困難,并且組合權(quán)重中一個(gè)微小變化都會(huì)導(dǎo)致不可預(yù)測(cè)的結(jié)果,同時(shí)也指出賣空限制約束下的風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)組合具有可行性同時(shí)也具有很大應(yīng)用價(jià)值。

(二) 混合不同觀點(diǎn)的預(yù)期益率

構(gòu)建投資組合模型一個(gè)重要的因素就是構(gòu)建收益率模型,預(yù)期收益率是典型的包含各種觀點(diǎn)和意見的對(duì)證券收益率預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù),例如多因素收益模型是將不同的并且潛在沖突的觀點(diǎn)混合在一起的模型,還有在前面討論的混合不同觀點(diǎn)的B-L(1992)[4]模型。

(三) 多期組合優(yōu)化模型

Merton(1969)[61]等眾多學(xué)者指出單期組合優(yōu)化模型難以捕捉組合跨時(shí)期的影響并由于跨期套期保值的需要,使得投資組合管理者需要了解在下個(gè)時(shí)期證券的最優(yōu)分配?？紤]一種在多期模型中比較常見的市場(chǎng)影響,即與交易即時(shí)性相聯(lián)系:如果交易非常迅速則市場(chǎng)影響成本較大,反之亦然。因此,投資者在一定時(shí)期內(nèi)經(jīng)常分散交易,然而如果投資者交易時(shí)期跨度過(guò)大,由于價(jià)格易變性導(dǎo)致資產(chǎn)價(jià)格變得不利于交易者,Almgren和Chriss(2000)[62]指出這是在目前交易成本(來(lái)源于高市場(chǎng)影響成本)與價(jià)格易變性(來(lái)源于低市場(chǎng)影響成本)之間的權(quán)衡。

一般來(lái)說(shuō),多期組合優(yōu)化模型在實(shí)踐中很少使用。主要有以下幾個(gè)原因:第一,對(duì)于單期組合優(yōu)化模型都很難估計(jì)收益和風(fēng)險(xiǎn),對(duì)于多期組合模型而言則更難。第二,多期組合優(yōu)化模型計(jì)算復(fù)雜,特別當(dāng)組合中資產(chǎn)增加時(shí)更難以求解。第三,多期組合優(yōu)化模型很難處理現(xiàn)實(shí)世界的約束條件,如上節(jié)中所討論的各種約束,基于上述原因,在實(shí)踐中更多分階段使用單期組合優(yōu)化模型。

四、 總結(jié)與展望

投資組合優(yōu)化和多樣化概念的發(fā)展,加深了對(duì)金融市場(chǎng)和金融決策的理解。自1952年Markowitz著作《組合選擇》以來(lái)投資組合在理論和實(shí)踐應(yīng)用中得到廣泛的發(fā)展但同時(shí)也面臨著一些挑戰(zhàn):在MVO模型中引入直接和間接交易成本,當(dāng)引入交易成本后使得投資組合模型更加符合資產(chǎn)市場(chǎng)實(shí)際情況,但是當(dāng)引入交易成本時(shí)投資組合模型則更多的變成非線性規(guī)劃模型,可以采用二階錐規(guī)劃和二次規(guī)劃方法求解;為滿足投資組合管理者根據(jù)不同需求來(lái)構(gòu)建組合模型,以幫助組合抑制波動(dòng)性、提升表現(xiàn),提出各種約束條件,如屬于強(qiáng)制性的監(jiān)管約束條件和顧客要求約束條件等,又如屬于絕大多數(shù)的靈活的投資組合管理者約束條件、交易量約束和風(fēng)險(xiǎn)管理約束等;如果構(gòu)建約束條件含義不清晰或者量化過(guò)程存在巨大偏差會(huì)導(dǎo)致投資組合不能反映組合管理者的真實(shí)目的,需要對(duì)構(gòu)建組合的約束條件進(jìn)行診斷,如通過(guò)投資組合模型中經(jīng)風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整活躍權(quán)重與風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整預(yù)測(cè)活躍收益之間的橫截面相關(guān)系數(shù),以度量約束條件對(duì)投資組合影響程度的轉(zhuǎn)移系數(shù)方法,而由于轉(zhuǎn)移系數(shù)只能分析約束條件對(duì)投資組合整體的影響,故提出影子成本分解方法分析每一個(gè)約束條件對(duì)投資組合的影響;為確保收益模型和風(fēng)險(xiǎn)模型的正確設(shè)定,一些學(xué)者分析了由約束條件導(dǎo)致的偏差和方法,如收益校準(zhǔn)因素方法;通過(guò)對(duì)投資組合權(quán)重的進(jìn)行約束、多元化措施、貝葉斯方法與B-L模型、魯棒優(yōu)化、合并高階矩和尾部風(fēng)險(xiǎn)措施等方法緩解估計(jì)誤差對(duì)MVO模型的影響。然后我們也對(duì)投資組合模型一些新的發(fā)展趨勢(shì)和它的相關(guān)領(lǐng)域進(jìn)行了歸納:投資組合中一個(gè)重要的目標(biāo)是多元化組合收益和風(fēng)險(xiǎn),如通過(guò)各個(gè)證券量化投資組合整體風(fēng)險(xiǎn),不同證券風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)的分布可以用來(lái)度量組合的多元化程度的度量風(fēng)險(xiǎn)貢獻(xiàn)方法和將投資總風(fēng)險(xiǎn)平均分配到各項(xiàng)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)平價(jià)模型;預(yù)期收益率是典型的包含各種觀點(diǎn)和意見的對(duì)證券收益率預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù),將不同的并且潛在沖突的觀點(diǎn)混合在一起的投資組合模型;基于投資組合管理者跨期套期保值的需要,使得投資者需要了解在各個(gè)時(shí)期證券的最優(yōu)權(quán)重分配的多期組合優(yōu)化模型。這無(wú)論從學(xué)術(shù)角度還是實(shí)踐角度對(duì)組合優(yōu)化模型都是一個(gè)重要的補(bǔ)充。

參考文獻(xiàn)：

[1]MARKOWITZ H. Portfolio Selection[J]. Journal of Finance,1952,7(1):77-91.

[2]GREEN R C,HOLLIFIELD B. When Will Mean-Variance Efficient Portfolios be Well Diversified?[J]. Journal of Finance,1992,47(5):1785-1809.

[3]BLACK F,LITTERMAN R. Asset Allocation: Combining Investor Views With Market Equilibrium[J]. Journal of Fixed Income,1991,1(2):7-18.

[4]BLACK F, LITTERMAN R. Global Portfolio Optimization[J]. Financial Analysts Journal, 1992,48(5): 28-43.

[5]KOLM P N, TüTüNCü R, FABOZZI F J. 60 Years of Portfolio Optimization: Practical Challenges and Current Trends[J]. European Journal of Operational Research,2014,234(2):356-371.

[6]HASBROUCK J. Measuring the Information Content of Stock Trades[J]. The Journal of Finance,1991,46(1):179-207.

[7]LILLO F, FARMER J D, MANTEGNA R N. Econophysics: Master Curve for Price-Impact Function[J]. Nature,2003,421:129-130.

[8]ALMGREN R, THUM C, HAUPTMANN E. Direct Estimation of Equity Market Impact[J]. Risk,2005,18(5):57-62.

[9]孫超,李勝宏.帶比例交易成本的投資組合選擇[J].浙江大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版,2008(2):153-159.

[10]任大源,徐玖平,黃南京,等.含交易成本和機(jī)會(huì)成本的極小極大多期投資組合選擇模型[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2012(1):11-19.

[11]BROWN D B, SMITH J E. Dynamic Portfolio Optimization With Transaction Costs: Heuristics and Dual Bounds[J]. Management Science,2011,57(10):1752-1770.

[12]CERIA TAKRITI,TIERENS SOFIANOS. Incorporating the Goldman Sachs Shortfall Model into Portfolio Optimization[R]. New York: Axioma Advisor,2008.

[13]MICHAUD R O. The Markowitz Optimization Enigma: Is’optimized’ Optimal?[J]. Financial Analysts Journal,1989,45(1):31-42.

[14]CLARKE R, DE SILVA H, THORLEY S. Portfolio Constraints and the Fundamental Law of Active Management[J]. Financial Analysts Journal,2002,58(5):48-66.

[15]康志林,曾燕.Minimax準(zhǔn)則下帶約束的最優(yōu)投資組合策略[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2012(5):656-667.

[16]米輝,張曙光.財(cái)富約束條件下?lián)p失厭惡投資者的動(dòng)態(tài)投資組合選擇[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2013(5):1107-1115.

[17]TüTüNCü R. The Oxford Handbook of Quantitative Asset Management[J]. Journal of Applied Statistics,2012,39(10):2307-2308.

[18]GRINOLD R. Implementation Efficiency[J]. Financial Analysts Journal,2005,61(5):52-64.

[19]SCHERER B, XU X. The Impact of Constraints on Value-Added[J]. The Journal of Portfolio Management,2007,33(4):45-54.

[20]STUBBS R A, VANDENBUSSCHE D. Constraint Attribution[J]. Journal of Portfolio Management,2010,36(4):48-59.

[21]LEE J H, STEFEK D. Do Risk Factors Eat Alphas?[J]. The Journal of Portfolio Management,2008,34(4):12-25.

[22]CERIA S, SAXENA A, STUBBS R A. Factor Alignment Problems and Quantitative Portfolio Management[J]. Journal of Portfolio Management,2012,38(2):29-43.

[23]SAXENA A, MARTIN C, STUBBS R A. Aligning Alpha and Risk Factors: A Panacea to Factor Alignment Problems[R]. New York:Axioma Advisor,2011.

[24]馮用富,王慶仁,茍駿.約束條件下理性與中國(guó)股市投資者行為[J].金融研究,2004(9):57-64.

[25]KRITZMAN M. Are Optimizers Error Maximizers?[J]. Journal of Portfolio Management,2006,32(4):66-69.

[26]BEST M J, GRAUER R R. The Analytics of Sensitivity Analysis for Mean-Variance Portfolio Problems[J]. International Review of Financial Analysis,1992,1(1):17-37.

[27]CHOPRA V K, ZIEMBA W T. The Effect of Errors in Means, Variances, and Covariances on Optimal Portfolio Choice[J]. The Journal of Portfolio Management,1993,19(2):6-11.

[28]JAGANNATHAN R, MA T. Risk Reduction in Large Portfolios: Why Imposing the Wrong Constraints Helps[J]. The Journal of Finance,2003,58(4):1651-1684.

[29]BOUCHAUD J P, POTTERS M, AGUILAR J P. Missing Information and Asset Allocation[R]. Science & Finance: Capital Fund Management,1997.

[30]JOBSON J D, KORKIE R M. Putting Markowitz Theory to Work[J]. The Journal of Portfolio Management,1981,7(4):70-74.

[31]FROST P A, SAVARINO J E. An Empirical Bayes Approach to Efficient Portfolio Selection[J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis,1986,21(3):293-305.

[32]JORION P. Bayesian and CAPM Estimators of The Means: Implications for Portfolio Selection[J]. Journal of Banking & Finance,1991,15(3):717-727.

[33]LEDOIT O, WOLF M. Honey, I Shrunk the Sample Covariance Matrix[J]. The Journal of Portfolio Management,2004,30(4):110-119.

[34]TROJANI F, VANINI P. A Note on Robustness in Merton’s Model of Intertemporal Consumption and Portfolio Choice[J]. Journal of Economic Dynamics and Control,2002,26(3):423-435.

[35]DEMIGUEL V, NOGALES F J. Portfolio Selection with Robust Estimation[J]. Operations Research,2009,57(3):560-577.

[36]SATCHELL S, SCOWCROFT A. A Demystification of the Black-Litterman Model: Managing Quantitative and Traditional Portfolio Construction[J]. Journal of Asset Management,2000,1(2):138-150.

[37]QIAN E, GORMAN S. Conditional Distribution in Portfolio Theory[J]. Financial Analysts Journal,2001,57(2):44-51.

[38]MEUCCI A. Fully Flexible Views: Theory and Practice[J]. Risk,2008,21(10):97-102.

[39]MEUCCI A. Enhancing the Black-Litterman and Related Approaches: Views and Stress-test on Risk Factors[J]. Journal of Asset Management,2009,10(2):89-96.

[40]TETLOW R, VON ZUR MUENHLEN P. Robust Monetary Policy with Misspecified Models: Does Model Uncertainty Always Call for Attenuated Policy?[J]. Journal of Economic Dynamics and Control,2001,25(6):911-949.

[41]GOLDFARB D, IYENGAR G. Robust Portfolio Selection Problems[J]. Mathematics of Operations Research,2003,28(1):1-38.

[42]TüTüNCü R H, KOENIG M. Robust Asset Allocation[J]. Annals of Operations Research,2004,132(1-4):157-187.

[43]EI GHAOUI L, OKS M, OUSTRY F. Worst-Case Value-at-Risk and Robust Portfolio Optimization: A Conic Programming Approach[J]. Operations Research,2003,51(4):543-556.

[44]GARLAPPI L, UPPAL R, WANG T. Portfolio Selection with Parameter and Model Uncertainty: A Multi-Prior Approach[J]. Review of Financial Studies,2007,20(1):41-81.

[45] ZHU S, FUKUSHIMA M. Worst-Case Conditional Value-at-Risk with Application to Robust Portfolio Management[J]. Operations research,2009,57(5):1155-1168.

[46]高瑩.金融系統(tǒng)魯棒優(yōu)化:模型與應(yīng)用[M].北京:經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社,2008:18-27.

[47]SOYSTER A L. Technical Note—Convex Programming With Set-Inclusive Constraints and Applications to Inexact Linear Programming[J]. Operations research,1973,21(5):1154-1157.

[48]BEN-TAL A, NEMIROVSKI A. Robust Convex Optimization[J]. Mathematics of Operations Research,1998,23(4):769-805.

[49]BERTSIMAS D, PACHAMANOVA D, SIM M. Robust Linear Optimization Under General Norms[J]. Operations Research Letters,2004,32(6):510-516.

[50]SCHERER B. Can Robust Portfolio Optimisation Help to Build Better Portfolios?[J]. Journal of Asset Management,2007,7(6):374-387.

[51]JOBST N J, ZENIOS S A. The Tail That Wags the Dog: Integrating Credit Risk in Asset Portfolios[J]. Journal of Risk Finance,2001,3(1):31-43.

[52]HARVEY C R, SIDDQUE A. Conditional Skewness in Asset Pricing Tests[J]. The Journal of Finance,2000,55(3):1263-1295.

[53]LEVY H, MARKOWITZ H M. Approximating Expected Utility by a Function of Mean and Variance[J]. The American Economic Review,1979,69(3):308-317.

[54]CREMERS J H, KRITZMAN M, PAGE S. Optimal Hedge Fund Allocations[J]. The Journal of Portfolio Management,2005,31(3):70-81.

[55]JEAN W H. The Extension of Portfolio Analysis to Three or More Parameters[J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis,1971,6(1):505-515.

[56]ATHAYDE G M, FLORES JR R G. Finding a Maximum Skewness Portfolio—a General Solution to Three-Moments Portfolio Choice[J]. Journal of Economic Dynamics and Control,2004,28(7):1335-1352.

[57]ARTZNER P, DELBAEN F, EBER J M, et al. Coherent Measures of Risk[J]. Mathematical Finance,1999,9(3):203-228.

[58]ROCKAFELLAR R T, URYASEV S. Optimization of Conditional Value-at-Risk[J]. Journal of Risk,2000,2(9):21-42.

[59]ASNESS C, FRAZZINI A, PEDERSEN L H. Leverage Aversion and Risk Parity[J]. Financial Analysts Journal,2012,68(1):47-59.

[60]MAILLARD S, RONCALLI T, TEILECHE J. The Properties of Equally Weighted Risk Contribution Portfolios[J]. The Journal of Portfolio Management,36(4):60-70.

[61]MERTON R C. Lifetime Portfolio Selection Under Uncertainty: The Continuous-Time Case[J]. Review of Economics and Statistics,1969,51(3):247-257.

[62]ALMGREN R, CHRISS N. Optimal Execution of Portfolio Transactions[J]. Journal of Risk,2001,3(4):5-40.

(責(zé)任編輯何志剛)

A Summary of the Practical Application of Portfolio Theory and its Development Trend

ZHAO Qing, WANG Zhi-qiang

(FinanceSchool,DongbeiUniversityofFinanceandEconomics,LiaoningDalian116025,China)

Abstract:Markowitz’s classic paper Portfolio Selection in 1952 opens the financial mathematical analysis, portfolio model in theory and practical application faces development and challenges, including transaction costs, combination of constraint, the model of income and the sensitivity of the variance. In addition, portfolio optimization and other areas also faces new development trends, such as diversified methods, risk parity model, return from different views, and many multi-period optimization problems. Whether it is viewed from the perspective of academic perspective or practice, this paper is an important supplement to portfolio optimization model.

Key words:portfolio; practical application; development trend

中圖分類號(hào)：F830.91

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1009-1505(2015)01-0082-10

作者簡(jiǎn)介：趙慶,男,東北財(cái)經(jīng)大學(xué)在讀博士研究生,主要從事金融工程研究;王志強(qiáng),男,東北財(cái)經(jīng)大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師,主要從事數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)研究。

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金“基于時(shí)變參數(shù)的學(xué)習(xí)機(jī)制、利率行為與政策效果研究”(71173030)

收稿日期：2014-06-18