梁 子 楊

(華北水利水電大學(xué)土木與交通學(xué)院，河南 鄭州 450045)

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點估計方法在功能函數(shù)有折點時的適用性

梁 子 楊

(華北水利水電大學(xué)土木與交通學(xué)院，河南 鄭州 450045)

通過實例計算比較點估計方法和蒙特卡洛模擬的結(jié)果，功能函數(shù)有折點時，點估計方法的精度并非隨估計點數(shù)增加而單調(diào)增加，當(dāng)估計點個數(shù)足夠多時，點估計方法計算結(jié)果穩(wěn)定，且有較好的精度。在同等精度要求下，功能函數(shù)有折點時點估計方法計算量與功能函數(shù)光滑時相比有所增加，但與蒙特卡洛模擬相比，仍有較高的計算效率。

點估計方法，結(jié)構(gòu)功能函數(shù)，蒙特卡洛模擬，計算效率

可靠度理論基本的問題是求解結(jié)構(gòu)失效概率，其求解需要通過簡化計算。傳統(tǒng)的一次二階矩、二次二階矩等方法已被指出精度不高。蒙特卡洛模擬可達(dá)到很高的精度，但計算量很大。

Zhao提出的矩法，通過點估計方法得到結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的前四階矩，進(jìn)而求解失效概率。功能函數(shù)為光滑曲線時，文獻(xiàn)表明，進(jìn)行5點或7點估計，就有較高的精度，且精度隨著估計點數(shù)的增加單調(diào)增加。彈塑性分析時，功能函數(shù)會有折點，此時點估計方法的適用性尚需研究。

1 點估計方法

2 功能函數(shù)有折點情況

在彈塑性分析時，通常在結(jié)構(gòu)易屈服處設(shè)置塑性鉸。塑性鉸骨架曲線通常簡化為多折線形式。例如，對于一個單跨剛架進(jìn)行靜力彈塑性分析，有兩個柱為構(gòu)件1和構(gòu)件3，一個梁為構(gòu)件2，其中構(gòu)件1截面EI1=1.675×107N·m2，構(gòu)件2和3截面EI2=3.35×107N·m2。分別在構(gòu)件1，3與地面固結(jié)處設(shè)置塑性鉸，塑性鉸骨架曲線M—θ采用雙折線形式。構(gòu)件1屈服彎矩My=8 000 kN·m，屈服轉(zhuǎn)角θy=0.001 rad，極限轉(zhuǎn)角θu=0.03 rad。構(gòu)件2屈服彎矩My=10 000 kN·m，屈服轉(zhuǎn)角θy=0.002 rad，極限轉(zhuǎn)角θu=0.06 rad。

假定在梁構(gòu)件2與柱構(gòu)件1節(jié)點處施加一水平荷載P～N(3.5,0.1)，構(gòu)件1底部截面轉(zhuǎn)角達(dá)到0.001 5 rad時，剛架失效。剛架功能函數(shù)可表示為：Z=G(P)=θR-θS，θR為構(gòu)件1底部截面的能力，θR=0.001 5 rad,θS為構(gòu)件1底部截面的轉(zhuǎn)角反應(yīng)。

計算得到Z=G(P)函數(shù)有兩個折點。構(gòu)件1底部截面首先進(jìn)入塑性，功能函數(shù)出現(xiàn)第一個折點，坐標(biāo)為(3.351 7,0.000 5)；構(gòu)件2底部截面隨荷載的增大進(jìn)入塑性，功能函數(shù)出現(xiàn)第二個折點，坐標(biāo)為(3.561 7,0.000 3)。

3 算例與分析

計算2個有折點的功能函數(shù)算例，并與蒙特卡洛模擬結(jié)果比較。

3.1 算例1

構(gòu)造有一個折點的功能函數(shù)：x<-1時Z=G(x)=-0.5x+0.5，x≥-1時Z=-x；假定x～N(0，1)。

蒙特卡洛模擬樣本足夠多時，認(rèn)為是準(zhǔn)確值，點估計方法與蒙特卡洛模擬結(jié)果的相對誤差如圖1所示?？傻命c估計方法的計算誤差在準(zhǔn)確值附近震蕩，當(dāng)估計點達(dá)到一定數(shù)目后，誤差穩(wěn)定。要保證計算誤差小于5%，算例1中點估計方法需要15點估計。

蒙特卡洛模擬計算失效概率一般需要樣本數(shù)N=100/Pf。算例1失效概率為0.500 3，蒙特卡洛模擬至少需要計算200次。點估計方法要計算的次數(shù)是前15次相加為63次，是蒙特卡洛模擬計算次數(shù)的1/3。

3.2 算例2

構(gòu)造有兩個折點的功能函數(shù)：x<0時，Z=G(x)=-0.75x+3.25,0≤x<1時Z=-x+3，x≥1時Z=-1.33x+3.33；假定x～N(0.1)。

點估計方法與蒙特卡洛模擬結(jié)果的相對誤差如圖2所示。得到與算例1相同的結(jié)論，要保證計算誤差小于5%，則算例2中點估計方法需要9點估計。

對于此算例，失效概率為0.006 21，蒙特卡洛模擬至少需要計算1.6×104次。點估計方法需要計算的次數(shù)為24次，僅為蒙特卡洛模擬計算次數(shù)的1/667。

4 結(jié)語

1)功能函數(shù)有折點時，點估計方法的精度并非隨估計點數(shù)增加而單調(diào)增加，當(dāng)估計點個數(shù)足夠多時，其計算結(jié)果基本穩(wěn)定，且有較好的精度。2)精度達(dá)到一般工程精度要求的5%時，功能函數(shù)有折點時的點估計方法計算量比功能函數(shù)光滑時的計算量多，對于本文的兩個算例，前者是后者的5倍～12倍。3)精度達(dá)到一般要求的5%時，對于本文的兩個算例，蒙特卡洛模擬計算量是點估計方法計算量的3倍～700倍，且失效概率越小，蒙特卡洛模擬法的計算量越大，點估計方法相對于蒙特卡洛模擬的計算效率越高。

[1]張 明.結(jié)構(gòu)可靠度分析——方法與程序.北京：科學(xué)出版社，2009.

[2]Zhao YG. New point-estimates for probability moments.Engrg,Mech,ASCE，2000,126(4):433.

The applicability of point estimation method in function with salient point

Liang Ziyang

(CivilEngineeringandTransportationCollege,NorthChinaWaterConservancyandHydropowerUniversity,Zhengzhou450045,China)

Through the example calculation comparison of point estimation method and Monte Carlo simulation results, when the function with salient point, the accuracy of point estimation method monotonically increased with the increasing of estimation numbers, when the estimation numbers large enough, the point estimate method results were stable, and had good accuracy, at the same accuracy requirements, compared with function with smooth the point estimation methods calculation quantity of function with salient point increased, but compared with Monte Carlo simulation, still had higher computational efficiency.

point estimation method, structure function, Monte Carlo simulation, computational efficiency

1009-6825(2015)18-0045-02

2015-04-12

梁子楊(1994- )，女，在讀本科生

U441.3

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