施衛(wèi)（甘肅省山丹育才中學(xué)734100）

如何比較反比例函數(shù)與一次函數(shù)的大小

施衛(wèi)（甘肅省山丹育才中學(xué)734100）

反比例函數(shù)與一次函數(shù)是初中階段最基礎(chǔ)、最核心的內(nèi)容。它們之間的大小關(guān)系是一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，可以提高學(xué)生的觀察、分析、綜合應(yīng)用及合情推理能力。它也是描述現(xiàn)實(shí)世界變量之間關(guān)系的重要的數(shù)學(xué)模型。此類題目在中考中常見(jiàn)。筆者經(jīng)過(guò)多年教學(xué)，把反比例函數(shù)與一次函數(shù)在相交時(shí)的大小關(guān)系的問(wèn)題總結(jié)用如下口訣解決，取得了較好的教學(xué)效果。這個(gè)口訣就是：“數(shù)形結(jié)合，三線四域，上大下小?！?/p>

反比例函數(shù)一次函數(shù)數(shù)形結(jié)合綜合

一、反比例函數(shù)與一次函數(shù)在相交時(shí)的幾種情況

一是兩函數(shù)中的系數(shù)a1、a2異號(hào)（如圖一所示）。

圖一

二是兩函數(shù)中的系數(shù)a1、a2同號(hào)（例如圖二所示）。

圖二

以上兩種情況，常常以選擇題或解答題的形式出現(xiàn)，下面并舉例說(shuō)明。

二、反比例函數(shù)與一次函數(shù)大小關(guān)系的比較

根據(jù)題目的不同，反比例函數(shù)與一次函數(shù)大小關(guān)系的比較一般有以下的種方法，如對(duì)于以下的選擇題。

例：如圖，一次函數(shù)y1=x－1與反比例函數(shù)y2=的圖像交于點(diǎn)A(2,1),B(－1,－2),則使y1>y2的x的取值范圍是（）。

A.x>2B.x>2或－1

C.－12或x<－1

分析：根據(jù)圖像特點(diǎn)結(jié)合A,B兩點(diǎn)就可以找出使y1>y2的x的取值范圍。

解：由A(2,1),B(－1,－2)兩點(diǎn)可知，當(dāng)x>2或－1

學(xué)生在看圖像比較反比例函數(shù)與一次函數(shù)大小的解答題時(shí)，往往覺(jué)得無(wú)從下手，我經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐，認(rèn)為可按照如下的步驟進(jìn)行：數(shù)形結(jié)合（畫(huà)圖像，找交點(diǎn)）；三線四域（繪三線，分四域）；上大下小（定大?。?。

（一）兩函數(shù)系數(shù)a1、a2同號(hào)（下面以a>0為例說(shuō)明）

圖三

2.找交點(diǎn)。根據(jù)兩函數(shù)的圖像，找到兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)A(x1,y1)和B(x2,y2)。例如，由圖二可得兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(-6,-2)和B(4,3).

3.繪三線。根據(jù)兩函數(shù)的交點(diǎn)繪出三條垂直于x軸的直線x=x1;x=0(即y軸)和x=x2。例如，反比例函數(shù)和一次函數(shù)兩函數(shù)可繪如圖四的三條直線分別是x=-6；x=0(即y軸)和x=4。

4.分四域。以三線為界可將直角平面劃分為四個(gè)區(qū)域，分別是：①x<-6；②-64.xx2.例如以上兩函數(shù)可劃分四個(gè)區(qū)域如圖五所示是：

圖五

5.定大小。根據(jù)“上大下小”原則，在劃分的四個(gè)區(qū)域中，函數(shù)圖像在上的大于圖像在下的，由圖五中的圖像所示可得在四個(gè)不同的區(qū)域中兩函數(shù)的大小關(guān)系如下：①x<-6時(shí)，反比例函數(shù)圖像在一次函數(shù)圖像上面，所以反比例函數(shù)大于一次函數(shù)，即y1>y2;②-6< x<0時(shí)，一次函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像上面，所以一次函數(shù)大于反比例函數(shù)，即y1＜y2;③0y2;④x>4時(shí)，一次函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像上面，所以一次函數(shù)大于反比例函數(shù)，即y1＜y2.

（二）兩函數(shù)系數(shù)a1、a2異號(hào)

1.兩函數(shù)不相交時(shí)。當(dāng)兩函數(shù)不相交時(shí)，由圖像根據(jù)“上大下小”原則即可得到兩函數(shù)的大小關(guān)系。如圖六所示對(duì)于函數(shù)和可根據(jù)圖像當(dāng)x>0時(shí)，反比函數(shù)圖像在一次函數(shù)圖像上面，所以反比例函數(shù)大于一次函數(shù)，即y1>y2；當(dāng)x<0時(shí)，反比函數(shù)圖像在一次函數(shù)圖像下面，所以一次函數(shù)大于反比例函數(shù)，即y1

圖六

2.當(dāng)兩函數(shù)相交時(shí)。

兩函數(shù)相交時(shí)，可參照兩函數(shù)系數(shù)a同號(hào)時(shí)的情況進(jìn)行判斷。

（責(zé)編趙建榮）