陶　志，胡樹(shù)芹

（中國(guó)民航大學(xué)理學(xué)院，天津　300300）

不完備偏好決策系統(tǒng)中一種擴(kuò)展優(yōu)勢(shì)關(guān)系模型

陶志，胡樹(shù)芹

（中國(guó)民航大學(xué)理學(xué)院，天津300300）

針對(duì)含有大量偏好信息的不完備信息系統(tǒng)，提出一種基于β-先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系的粗集模型。首先給出β-先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系模型的定義，其次討論了新模型的一些相關(guān)性質(zhì)及其近似分類(lèi)質(zhì)量。 β-先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系模型具有一定的容錯(cuò)能力，通過(guò)設(shè)置參數(shù)值來(lái)提高對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)、分類(lèi)的合理性，從而達(dá)到與主觀認(rèn)知相一致的分類(lèi)效果。實(shí)例分析進(jìn)一步驗(yàn)證了新模型的優(yōu)越性。

粗糙集；多屬性決策；不完備偏好決策系統(tǒng)；β-先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系

多屬性決策問(wèn)題存在于社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、管理等各種領(lǐng)域。1982年由波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak提出的粗糙集理論[1]，為處理多屬性決策問(wèn)題提供了有力工具。由于決策者主觀偏好的影響以及數(shù)據(jù)缺失等原因，含有偏好信息且信息不完備是實(shí)際決策系統(tǒng)的顯著特征。然而，Pawlak提出的經(jīng)典粗糙集理論是基于不可分辨關(guān)系的，只能處理完備信息系統(tǒng)，不能很好地解決帶有偏好信息的不完備系統(tǒng)決策問(wèn)題。針對(duì)這一問(wèn)題，Greco等提出了基于優(yōu)勢(shì)關(guān)系的粗集模型[2]，它用優(yōu)勢(shì)關(guān)系代替不可分辨關(guān)系，將決策者的偏好信息以知識(shí)的形式表示出來(lái)，因此在帶有偏好信息的多屬性決策分析中得到廣泛應(yīng)用。

為了將帶有偏好信息的完備系統(tǒng)處理方法拓展至不完備系統(tǒng)，許多學(xué)者對(duì)Greco等人提出的優(yōu)勢(shì)關(guān)系進(jìn)行了擴(kuò)充，文獻(xiàn)[3]提出了一種基于先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系的粗糙決策分析模型，該模型應(yīng)用于同一屬性取值概率相差較大的不完備偏好信息系統(tǒng)時(shí)，分類(lèi)效果較好且較符合實(shí)際。但是，基于先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系的粗糙決策模型也有其不足之處，如在一些實(shí)際問(wèn)題中缺乏對(duì)數(shù)據(jù)噪聲的處理能力，由于分類(lèi)相對(duì)較細(xì)，所以對(duì)數(shù)據(jù)噪聲過(guò)于敏感，也增加了問(wèn)題處理的復(fù)雜度。針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出一種新的更為寬松的優(yōu)勢(shì)關(guān)系模型，即β-先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系粗糙集模型，該模型具有一定的容錯(cuò)能力，且可根據(jù)不同問(wèn)題的不同要求來(lái)調(diào)節(jié)參數(shù)值的大小，從而增加了數(shù)據(jù)分析和處理的魯棒性。

1　預(yù)備知識(shí)

1.1不完備偏好決策系統(tǒng)

設(shè)有一個(gè)決策系統(tǒng)S=〈U，A=C∪D，V，f〉，其中：U是非空的對(duì)象全集；A是非空的屬性集合；C、D分別表示條件屬性和決策屬性集；V是屬性值集，VC={Vq∶q∈C}，VD={Vd∶d∈D}分別是條件屬性值集和決策屬性值集，條件屬性值集Vq和決策屬性值集Vd具有優(yōu)勢(shì)關(guān)系。f∶U×A→V是一個(gè)信息函數(shù)，表示對(duì)每一個(gè)x∈U，a∈A，f（x，a）∈Va。若存在一個(gè)x∈U，a∈C使得f（x，a）=*（“*”表示空值），則稱(chēng)S是帶有偏好關(guān)系的不完備決策系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱(chēng)不完備偏好決策系統(tǒng)），并作如下假設(shè)：

1）決策屬性值Vd沒(méi)有空值；

2）?x∈U至少存在一個(gè)q∈C，使得f（x，q）≠*。

假設(shè)決策屬性d可把U分成有限個(gè)決策類(lèi)，Cl= {Clt，t∈T}，T={1，2，…，n}，則對(duì)象中的任意x∈U屬于且僅屬于一個(gè)決策Clt∈Cl，而且假定這種分類(lèi)是有序的，即對(duì)于所有的r，s∈T，如果r＞s，則Clr中的對(duì)象優(yōu)于Cls中的對(duì)象。為了處理滿(mǎn)足上述條件的不完備偏好決策系統(tǒng)，需要定義兩種累積集。

定義1設(shè)Clt是一個(gè)決策類(lèi)，定義向上累積集和向下累積集分別為[4]

1.2先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系

定義2設(shè)不完備偏好決策系統(tǒng)S=〈U，A=C∪D，V，f〉，集合P?C，x，y∈U，P上的先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系FDOM（P）定義[3]為

其中

其中：Vq={v1，v2，…，vm}表示屬性q的值域；Pq={p1，p2，…，pm}表示值域Vq中各個(gè)值出現(xiàn)的概率，m是該屬性的值域大小。此時(shí)稱(chēng)“y先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)于x”，簡(jiǎn)記為

根據(jù)定義2，判斷空值“*”的取值是依據(jù)最大可能準(zhǔn)則，即在值域Vq中取出現(xiàn)概率最大的值，當(dāng)屬性個(gè)數(shù)較少且每個(gè)屬性取各屬性值的概率相差明顯時(shí)，用先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)較為合理。然而，當(dāng)條件屬性較多時(shí)，用該模型來(lái)判斷兩對(duì)象間的優(yōu)劣關(guān)系就顯得過(guò)于嚴(yán)格。如在一次學(xué)生考試中，共考20門(mén)課程（這時(shí)每門(mén)課程代表一個(gè)條件屬性），根據(jù)先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系，得出甲同學(xué)有18門(mén)課程考試成績(jī)優(yōu)于乙同學(xué)，有2門(mén)不優(yōu)于乙同學(xué)（可能是數(shù)據(jù)噪聲），那么就由此判斷甲不優(yōu)于乙，這顯然與人們的一般主觀判斷不一致，此時(shí)應(yīng)判斷甲同學(xué)比乙同學(xué)優(yōu)秀才更加合理。由此看來(lái)，先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系在數(shù)據(jù)噪聲處理方面略顯不足。為了處理優(yōu)勢(shì)關(guān)系中的噪聲問(wèn)題，一些學(xué)者提出了含偏序關(guān)系的變精度粗集模型[5-6]，這些模型是在定義上、下近似集合時(shí)引入某一參數(shù)，從而增加了模型的容錯(cuò)能力。本文提出的β-先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系模型，是在原有優(yōu)勢(shì)關(guān)系的定義中直接引入?yún)?shù)值，既達(dá)到變精度的目的又降低了計(jì)算復(fù)雜度，從而有利于從認(rèn)為不相關(guān)的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)相關(guān)規(guī)則。

2　β-先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系粗集模型

2.1β-先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系

定義3設(shè)不完備偏好決策系統(tǒng)S=〈U，A=C∪D，V，f〉，集合P?C，x，y∈U，0.5＜β≤1，則P上的β-先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系FDOMβ（P）定義為

從定義3可以看出，β-先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系的實(shí)質(zhì)是對(duì)先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系的一種“軟化”，通過(guò)參數(shù)值β來(lái)調(diào)節(jié)“軟化”的程度。顯然，β-先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系滿(mǎn)足自反性，但不一定滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)性和傳遞性。

定義4設(shè)不完備偏好決策系統(tǒng)S=〈U，A=C∪D，V，f〉，P?C，x∈U，0.5＜β≤1，則x在P下的β-先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)集和β-先驗(yàn)概率劣勢(shì)集分別為

定理1設(shè)不完備偏好決策系統(tǒng)S=〈U，A=C∪D，V，f〉，P?A且X?U，0.5＜β≤1，則在β-先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系下有：

類(lèi)似可證2）亦成立。

證畢。

定理1給出了β-先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)集和β-先驗(yàn)概率劣勢(shì)集之間的關(guān)系。

定理2設(shè)不完備偏好決策系統(tǒng)S=〈U，A=C∪D，V，f〉，P?C，x∈U，0.5＜β≤1，則：

1）如果0.5＜β1≤β2≤1，有

此定理表明，“優(yōu)勢(shì)”關(guān)系依參數(shù)β具有單調(diào)性。

2.2基于β-先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系的粗糙近似

定理3設(shè)不完備偏好決策系統(tǒng)S=〈U，A=C∪D，V，f〉，P?A，x∈U，0.5＜β≤1，在β-先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系下有：

證明由定理1和定義5可直接證明。

分類(lèi)質(zhì)量表示基于β-先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系的不完備偏好多屬性決策系統(tǒng)中正確分類(lèi)對(duì)象數(shù)占總對(duì)象數(shù)的比率，它是系統(tǒng)總體分類(lèi)精度的一個(gè)度量。

3　實(shí)例應(yīng)用

某學(xué)校對(duì)學(xué)生進(jìn)行綜合測(cè)評(píng)，如表1所示，每個(gè)學(xué)生評(píng)價(jià)方案的條件屬性集合為P={a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7}，決策屬性集合為sa0mwo0，a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7分別表示學(xué)生的7門(mén)課程，d表示對(duì)學(xué)生的綜合評(píng)價(jià)，a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7、d均屬于偏好屬性，其中

VP={優(yōu)，良，中，差}

Vd={優(yōu)，良，中}

決策屬性d把U分成3個(gè)決策類(lèi)Cl={Cl1，Cl2， Cl3}，其中中的決策類(lèi)表示為Cl1={u3}，良的決策類(lèi)表示為Cl2={u2，u4，u5，u7}，優(yōu)的決策類(lèi)表示為Cl3={u1，u6，u8}，于是有

表1　某校學(xué)生綜合測(cè)評(píng)表Tab.1　Comprehensive evaluation of students in one college

利用基于先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系的粗糙集模型（即β-先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系中β=1時(shí)）計(jì)算為

利用基于β-先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系的粗糙集模型計(jì)算如下：

當(dāng)給定參數(shù)值β=0.8時(shí)，有

從上述計(jì)算結(jié)果可以看出，根據(jù)先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系，u8除第6個(gè)屬性外其余屬性都優(yōu)于u2，于是根據(jù)先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系不能判斷u2與u8的優(yōu)劣關(guān)系，而根據(jù)β-先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系的計(jì)算結(jié)果可以判斷u8優(yōu)于u2（β=0.8），這一分類(lèi)結(jié)果與人們的主觀判斷相一致。類(lèi)似的對(duì)象還有u3與u7、u5與u8等，這充分說(shuō)明β-先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系模型能在較寬松的條件下判斷對(duì)象的優(yōu)劣關(guān)系。從計(jì)算結(jié)果還可以看出，β-先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系不但有較合理的分類(lèi)結(jié)果，還能保證較高的近似分類(lèi)精度和近似分類(lèi)質(zhì)量。

4　結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)不完備偏好決策系統(tǒng)提出的β-先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系，放寬了原有優(yōu)勢(shì)關(guān)系模型的限制，在某種程度上彌補(bǔ)了先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系模型的“剛性”本質(zhì)所決定的固有的局限性，使得實(shí)際決策過(guò)程更趨合理。β-先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系模型具有一定的抗噪音能力（容錯(cuò)能力），在確保分類(lèi)精度和分類(lèi)質(zhì)量的基礎(chǔ)上既增加了數(shù)據(jù)處理的靈活性，又大大降低了計(jì)算的復(fù)雜度。下一步工作應(yīng)該是在新提出的β-先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究不完備偏好決策系統(tǒng)中屬性約簡(jiǎn)和規(guī)則抽取算法，為實(shí)際應(yīng)用系統(tǒng)開(kāi)發(fā)奠定理論和實(shí)踐基礎(chǔ)。

[1]PALAWK Z.Rough sets[J].International Journal of Computer and Information Science，1982，11（5）：341-356.

[2]GRECO S，MATARAZZO B，SLOWINSKI R.Rough sets theory for multicriteria decision analysis[J].European Journal of Operational Research，2001，129（1）：1-47.

[3]陶志，卞文靜.基于先驗(yàn)概率優(yōu)勢(shì)關(guān)系的粗糙決策分析模型[J].中國(guó)民航大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，31（4）：60-64.

[4]何亞群，胡壽松.不完全信息的多屬性粗糙決策分析方法[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào)，2004，19（2）：117-120.

[5]張先韜.序信息系統(tǒng)中基于變精度粗糙集的發(fā)現(xiàn)[D].重慶：重慶理工大學(xué)，2012.

[6]駱公志，黃衛(wèi)東，李震.變精度確定優(yōu)勢(shì)關(guān)系粗糙決策分析方法及應(yīng)用[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2013（8）：16-18.

（責(zé)任編輯：楊媛媛）

Extended model based on dominance relation in incomplete preferential decision system

TAO Zhi，HU Shu-qin
（College of Science，CAUC，Tianjin 300300，China）

A rough set model based on β-prior probability dominance relation is proposed to solve some problems in the incomplete information system with lots of preferential information.Firstly，the definition of β-prior probability dominance relation is proposed.Secondly，some related properties and approximation classification quality about the new model are discussed.The new model can improve accuracy of data forecast and classification by setting parameters’values.The classification achieved by the new model is almost as same as the classification judged by subjective cognition.The new model softens the dominance relation in some extent and increases the robustness in data analyzing and disposing.At last，the new model proves its superiority by analyzing an example.

rough set；multiple attribute decision making；incomplete preferential decision system；β-prior probability dominance relation

TP18

：A

：1674-5590（2015）04-0051-05

2014-03-26；

：2014-04-30

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（60672178）；中國(guó)民航大學(xué)科研基金項(xiàng)目（2010kys01）

陶志（1963—），男，遼寧沈陽(yáng)人，教授，博士，研究方向?yàn)閺?fù)雜系統(tǒng)建模、粗糙集理論及其應(yīng)用等.