劉雪梅，接 賢

（中國(guó)民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

利用推廣的Tanh函數(shù)法求解兩個(gè)非線(xiàn)性發(fā)展方程

劉雪梅，接 賢

（中國(guó)民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

利用推廣的Tanh函數(shù)法，借助于符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)Mathematica求解獲得了Kaup-Kupershmidt方程和（2+1）-維Kdv-Burgers方程新的精確行波解，并分別以含有兩個(gè)任意參數(shù)的雙曲函數(shù)解、三角函數(shù)解及有理函數(shù)解等3種形式表示，其中雙曲函數(shù)表示的行波解中參數(shù)取特殊值時(shí)可得到孤波解。

推廣的Tanh函數(shù)法；行波解；Kaup-Kupershmidt方程；（2+1）-維Kdv-Burgers方程

非線(xiàn)性學(xué)科是現(xiàn)代科學(xué)的重點(diǎn)，它研究自然科學(xué)中的許多現(xiàn)象，如孤波、混沌、吸引子等，研究領(lǐng)域非常廣。而非線(xiàn)性的許多問(wèn)題都可歸結(jié)為求非線(xiàn)性發(fā)展方程（組）（NLEEs）的精確解問(wèn)題。因此，研究者們發(fā)展出了求解NLEEs精確解的諸多方法，如Tanh-函數(shù)法[1]、齊次平衡法[2]、Jacobi橢圓函數(shù)展開(kāi)法[3]、sub-ODE法[4]、F-展開(kāi)法[5]、Sine-Cosine函數(shù)方法[6]、Exp-函數(shù)方法[7]、投影Riccati方程方法[8]、簡(jiǎn)單方程方法[9-10]、（G’/ G）-展開(kāi)法[11]等。

在文獻(xiàn)[12]中，研究者基于投影Riccati方程構(gòu)造了新的輔助方程方法，將其稱(chēng)為推廣的Tanh函數(shù)法。在該方法中，以二階線(xiàn)性常微分方程（簡(jiǎn)寫(xiě)為ODE）作為輔助方程，并給出了新的解表達(dá)式。該方法可用于構(gòu)造NLEEs的精確行波解，并可得到不同于其它方法[5-7，11]所得到的新形式解。利用該推廣的Tanh函數(shù)法，本文成功構(gòu)造了多個(gè)NLEEs的精確行波解[12-13]。

本文將利用該推廣的Tanh函數(shù)法，借助于計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Mathematica，構(gòu)造Kaup-Kupershmidt方程和（2+1）-維Kdv-Burgers方程的新精確行波解。

1 Kaup-Kupershmidt方程的精確行波解

首先考慮Kaup-Kupershmidt方程[14]

由以下5個(gè)步驟，利用推廣的Tanh函數(shù)法來(lái)構(gòu)造方程（1）的行波解。

1.1 做行波變換

為了尋找方程（1）的行波解，在此引進(jìn)如下行波變換，即

其中：k、c為常數(shù)。將方程（1）化為關(guān)于u（ζ）的ODE形式，即

對(duì)ODE（3）中的ζ進(jìn)行一次積分并整理得

其中：c1為待定積分常數(shù)。

1.2 選擇解表達(dá)式

假設(shè)方程（4）具有如下形式的解，即

其中：αi、βj（i=0，1，…，N；j=0，1，…，N-1）為待定常數(shù)，且αNβN-1≠0。函數(shù)ψ=ψ（ζ）滿(mǎn)足二階線(xiàn)性O(shè)DE，即

其中：λ、μ為常數(shù)，而ODE（6）有如下3種形式的解，即

其中：ω1、ω2為任意常數(shù)。

1.3 確定平衡數(shù)

考慮方程（4）中最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)u(4)與最高次非線(xiàn)性項(xiàng)u3的齊次平衡，可確定平衡數(shù)N=2。因而解表達(dá)式（5）可寫(xiě)成如下具體形式，即

其中：α0、α1、α2、β0、β1均為待定常數(shù)。

1.4 確定系數(shù)

將表達(dá)式（8）代入方程（4）中，并反復(fù)利用二階線(xiàn)性O(shè)DE（6），合并的同次冪系數(shù)，則方程（4）的左邊化為關(guān)于的多項(xiàng)式。令此多項(xiàng)式的系數(shù)全為0，得到關(guān)于αi，βj（i=0，1，…，M；j= 0，1，…，M-1），c1，k，c，λ和μ的非線(xiàn)性代數(shù)方程組。借助于符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)Mathematica，解以上代數(shù)方程組即可得到以下解：

第1組解

第2組解

1.5 構(gòu)造精確行波解

設(shè)定解表達(dá)式（8）有如下具體形式，即

其中：當(dāng)i=1時(shí)，對(duì)應(yīng)λ＜0；當(dāng)i=2時(shí)，對(duì)應(yīng)λ＞0；當(dāng)i=3時(shí)，對(duì)應(yīng)λ=0。而且Φi和ψi滿(mǎn)足如下表達(dá)形式，即

其中：ζ=kx-ct。最后，將以上所得結(jié)果式（9）～式（10）和方程（6）的通解式（7）代入表達(dá)式（8）中，再按照式（12）整理得到以下3種類(lèi)型的精確行波解：

第1種解

第2種解

對(duì)于式（15）～式（16），適當(dāng)選取μj1（ζ）（j=1，2）中參數(shù)的特殊值即可獲得孤波解。

如取λ=-1，μ=1，c=1，ω1=1，ω2=-2且k=10時(shí)，u11得到的孤波解如圖1所示。

圖1 Kaup-Kupershmidt方程的孤波解Fig.1 Solitary wave solution of Kaup-Kupershmidt equation

2 （2+1）-維KdV-Burgers方程的孤波解

同理，利用求解式（1）的同樣過(guò)程可得（2+1）-維Kdv-Burgers方程[15]，即

其λ＞0情形下的孤波解為

特別地，取γ=-1，μ=1，α=1，β=1，c=1，ω1=1，ω2= -2，k=10時(shí)的孤波解如圖2所示。

圖2 （2+1）-維Kdv-Burgers方程的孤波解Fig.2 Solitary wave solution of（2+1）-dimensional Kdv-Burgers equation

由于篇幅所限，不再給出方程（17）的求解過(guò)程。

3 結(jié)語(yǔ)

利用推廣的Tanh函數(shù)法分別構(gòu)造了Kauo-Kupershmidt方程和（2+1）-維Kdv-Burgers方程的新精確行波解，為NLEEs的求解提供了一種新方法，其結(jié)果分別表示為含有任意兩個(gè)參數(shù)的雙曲函數(shù)、三角函數(shù)和有理函數(shù)形式。以解式（15）為例，說(shuō)明解的3種具體形式。

其中：i=3，對(duì)應(yīng)λ=0。

表明所得到的每一種情況解都由3種形式表示；由于篇幅所限，不再給出所有解的具體形式。特別地，

1）雙曲函數(shù)解形式，即

其中：i=1，對(duì)應(yīng)λ＜0。

2）三角函數(shù)形式，即

其中：i=2，對(duì)應(yīng)λ＞0。

3）有理函數(shù)形式，即

當(dāng)雙曲函數(shù)表示的行波解中參數(shù)取特殊值時(shí)可以得到孤波解，如圖1所示。

研究者們同樣利用不同方法獲取了方程（1）和方程（17）的多種形式的精確解，其中包括：非局域?qū)ΨQ(chēng)Lie-B?ckLund變換，得到方程（1）的孤子解[14]；利用雙曲函數(shù)法，獲得了方程（1）的雙曲函數(shù)解[16]；F-展開(kāi)法及一種基于符號(hào)計(jì)算的代數(shù)方法，獲得了方程（1）的顯示行波解[17]；利用廣義Tanh方法，獲得了方程（17）的復(fù)線(xiàn)孤子解[15]。與以往文獻(xiàn)中所得結(jié)果進(jìn)行比較，本文所利用的推廣的Tanh函數(shù)法成功得到了新的精確解，豐富了文獻(xiàn)的結(jié)果[15-17]，也更好地反映出該方法在求解NLEEs精確解上具有直接、有效和穩(wěn)定的特點(diǎn)，并同樣可應(yīng)用于其他數(shù)學(xué)物理中NLEEs的求解。

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（責(zé)任編輯：黨亞茹）

Applications of extended Tanh function method in two nonlinear evolution equations

LIU Xue-mei，JIE Xian
（College of Science，CAUC，Tianjin 300300，China）

Algebraic method can directly and efficiently construct the exact solutions of nonlinear evolution equations，and the computing can be achieved by computer algebraic systems.A new exact traveling wave solution of Kaup-Kupershmidt equation and（2+1）-dimensional Kdv-Burgers equation is successfully constructed by using the extended Tanh function method.The exact traveling wave solution with double arbitrary parameters is respectively expressed by hyperbolic functions，trigonometric functions and rational functions.Some solitary wave solutions can be obtained from hyperbolic function solutions when the parameters are regarded as special values.

extended Tanh function method；traveling wave solutions；Kaup-Kupershmidt equation；（2+1）-dimensional Kdv-Burgers equation

O175.29

：A

：1674-5590（2015）04-0056-03

2014-03-26；

：2014-05-12

：中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)（3122013k001）

劉雪梅（1977—），女，黑龍江呼蘭人，副教授，碩士，研究方向?yàn)榇鷶?shù)方程.