徐 峰

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 商學(xué)院，江蘇 蘇州 215104)

混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下歐式期權(quán)的定價(jià)

徐 峰

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 商學(xué)院，江蘇 蘇州 215104)

提出一種新的不具有平穩(wěn)增量的隨機(jī)過程—混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，用來刻畫標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，進(jìn)行歐式期權(quán)定價(jià)的研究.假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)由混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)，運(yùn)用對沖原理建立混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的歐式期權(quán)價(jià)值所滿足的偏微分方程，并采用邊界條件和變量代換的方法得到該偏微分方程的解，即歐式期權(quán)的定價(jià)公式，其結(jié)果可看作是混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)下的一種推廣.

混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)；歐式期權(quán)；定價(jià)；長記憶性

傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)都是在假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，然而近年來大量的實(shí)證研究表明，金融資產(chǎn)的對數(shù)收益率并非服從正態(tài)分布，而是服從一種“尖峰厚尾”的分布，而且其價(jià)格之間也并非是隨機(jī)游走的，存在著長記憶性和自相似性等分形特征，這導(dǎo)致了大量由布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的定價(jià)模型不符合真實(shí)的市場.分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)[1]已成為彌補(bǔ)上述模型缺陷最為簡單的方法.

但是，文獻(xiàn)[2]指出分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)不是半鞅，許多研究者用不同的方法給出了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的離散逼近，并指出直接將分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)應(yīng)用于金融環(huán)境將會(huì)產(chǎn)生套利機(jī)會(huì)[3-4]，這使得分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)似乎不適合用于刻畫金融資產(chǎn)價(jià)格變化的行為模式.從而，部分學(xué)者開始研究修正的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，如混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)、雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)等[5-6]，由于雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)不僅具有自相似性和長記憶性的特征，而且在一定的限制條件下是半鞅，因此可以應(yīng)用于期權(quán)定價(jià)領(lǐng)域.

本文提出一種新的不具有平穩(wěn)增量的隨機(jī)過程—混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，用來刻畫標(biāo)的資產(chǎn)(如股票)的價(jià)格，進(jìn)行歐式期權(quán)定價(jià)的研究.本文的結(jié)果可作為混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)下的一種推廣.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的定義與性質(zhì)

定義1 如果滿足均值為0，協(xié)方差為

當(dāng)K=1時(shí)，混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)就退化成混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)；當(dāng)時(shí)，混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)就退化成雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng).

由定義易知，混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)具有以下性質(zhì).

性質(zhì)1是HK-自相似的，即對任意α＞0，過程具有相同的分布；

性質(zhì)2 當(dāng)具有長記憶性；

性質(zhì)3 當(dāng)不是半鞅.

這些性質(zhì)的證明可見參考文獻(xiàn)[6].

1.2 模型假設(shè)

對金融市場做如下假設(shè)：市場無摩擦，即交易費(fèi)用為零，無稅收，不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；沒有對交易頭寸方向的限制，允許買空賣空證券；無風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)；標(biāo)的資產(chǎn)(如股票)的價(jià)格變化過程St服從過程

根據(jù)文獻(xiàn)[7]易得到下面的引理.

引理1 隨機(jī)微分方程(1)的解為

2 主要結(jié)果與證明

定理1 設(shè)Ct=C(t，St)是歐式看漲期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)格，股票價(jià)格滿足方程(1)，則Ct滿足偏微分方程

證明構(gòu)建一個(gè)買入一份期權(quán)C和賣空Δ份股票S的資產(chǎn)組合Π，即Π=C-ΔS，則

選取適當(dāng)?shù)摩な沟觅Y產(chǎn)組合Π在(t，t+dt)上是無風(fēng)險(xiǎn)的，即dΠ=rΠdt.令，則有

即有

定理2 假設(shè)到期日為T，履約價(jià)格為K，則混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下歐式看漲期權(quán)在任意時(shí)刻t∈ [0，T]的價(jià)格Ct為

證明由定理1得Ct滿足偏微分方程(3)，且邊界條件為C(T，S)=(S-K)+.令S=ex，C=V(t，x)，則易得

將上式代入式(3)，則有

令

則有

將上式代入式(4)，則有

根據(jù)熱傳導(dǎo)方程經(jīng)典解理論[8]，式(5)有唯一強(qiáng)解

將邊界條件代入可得

1

1

對式(6)做逆變換易得定理2成立.

推論1 當(dāng)K=1時(shí)，可得到混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)下的歐式看漲期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)格為

注1 該結(jié)論與文獻(xiàn)[9](當(dāng)n=1時(shí))中得出的結(jié)果一致.

注2 當(dāng)ε=0時(shí)，推論1的結(jié)果即為雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下歐式期權(quán)的定價(jià)公式，與文獻(xiàn)[10]的結(jié)果一致.

采用類似的方法同樣可以推導(dǎo)出歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式，不加證明地給出下面的定理.

定理3 假設(shè)到期日為T，履約價(jià)格為K，則混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下歐式看跌期權(quán)在任意時(shí)刻t∈ [0，T]的價(jià)格Ct為

3 結(jié)論

本文假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)由混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)，利用偏微分方程的方法探討了歐式期權(quán)的定價(jià)問題.采用混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)刻畫金融資產(chǎn)的價(jià)格變化過程在一定程度上比傳統(tǒng)模型有所改進(jìn)，可以看作是混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)下的一種推廣.另外，混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)也可以應(yīng)用于探討奇異期權(quán)(如重置期權(quán)、障礙期權(quán)等)的定價(jià)問題.

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(責(zé)任編輯：沈鳳英)

Pricing European Option in a Mixed Bi-fractional Brownian Motion

XU Feng
(Business School，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

Assuming that the underlying asset is driven by the mixed bi-fractional Brownian motion，this paper proposes a partial differential equation formulation for valuing European option by hedge principle. Moreover，using the boundary condition and the method of variable substitution，we obtain the solution to this partial differential equation-the pricing formula for European option.

mixed bi-fractional brownian motion；european option；pricing；long memory

F830.9；O211.6

A

1008-5475(2015)01-0050-04

2014-10-30；

2014-11-28

蘇州市職業(yè)大學(xué)創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(2013SZDYY05)

徐 峰(1980-)，男，江蘇泰興人，講師，碩士，主要從事金融數(shù)學(xué)研究.