錢榮華

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

Weibull分布最大值吸引場(chǎng)次序統(tǒng)計(jì)量的不等式及應(yīng)用

錢榮華

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

主要討論Weibull分布極值吸引場(chǎng)下的隨機(jī)樣本及非隨機(jī)樣本的次序統(tǒng)計(jì)量的一個(gè)不等式，并給出兩個(gè)簡(jiǎn)單的應(yīng)用.

最大值吸引場(chǎng)；Weibull分布；次序統(tǒng)計(jì)量

假設(shè){X，Xn│n≥1}為非退化獨(dú)立同分布(i.i.d.)隨機(jī)變量序列，具有共同的分布函數(shù)F.記部分和為自Hsu與Robbins (1947)[1]引入完全收斂的概念后，出現(xiàn)了很多結(jié)果. 最初考慮級(jí)數(shù)

收斂的條件.很多文獻(xiàn)都研究了這個(gè)問(wèn)題.如，Hsu與Robbins[1](1947)、Erd s (1949[2]，1950[3])考慮了當(dāng)φ(x)=1，f(x)=x時(shí)的結(jié)果；當(dāng)0＜p＜2時(shí)，Baum、Katz[4](1965)對(duì)進(jìn)行了討論，Bingham、Goldie[5](1988)對(duì)更一般的情況進(jìn)行了研究.

眾所周知，次序統(tǒng)計(jì)量在實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，對(duì)其性質(zhì)的討論歷來(lái)是一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，嚴(yán)繼高等[6]考慮了i.i.d.的隨機(jī)變量，在其分布函數(shù)屬于極值分布為Fre'chet分布的最大值吸引場(chǎng)情況下相應(yīng)次序統(tǒng)計(jì)量的精致漸近性，且考慮了樣本容量是一個(gè)計(jì)數(shù)過(guò)程的結(jié)果，本文旨在考慮極值分布是Weibull分布的最大值吸引場(chǎng)的情況下的一個(gè)不等式，并給出兩個(gè)簡(jiǎn)單的應(yīng)用.

1 基本概念介紹

定義1 設(shè)X，X1，X2，…為非退化i.i.d.的隨機(jī)變量序列，其共同的分布函數(shù)為F(x)，x∈R.若存在適當(dāng)?shù)某?shù)cn＞0，dn∈R及分布函數(shù)H(x)使得

則稱隨機(jī)變量X(或分布函數(shù)F)屬于極值分布H(x)的最大值吸引場(chǎng)，記作X∈MDA(x)或F∈MDA(H)

由著名的Fisher-Tippett定理知，極值分布H(x)只有三種類型：Fre'chet分布，Gumbel分布，Weibull分布Ψα(x)，其中α＞0為參數(shù).

假設(shè){Y，Y，i≥1}為i.i.d.的隨機(jī)變量序列，且與隨機(jī)變量序列{X，Xi│i≥1}相互獨(dú)立，P(Y＞0)=1，為常數(shù).記則N(t)為一更新計(jì)數(shù)過(guò)程.定義隨機(jī)樣本X1，的次序統(tǒng)計(jì)量為，相應(yīng)的非隨機(jī)樣本X1，X2，…，Xn的次序統(tǒng)計(jì)量為

2 引理和主要結(jié)論

先給出幾個(gè)重要的引理.

引理1 The df F belongs to the maximum domain of attraction of，α＞0，if and only ifandfor some slowing varying function L.

where the norming constants cncan be chosen as

引理2 (1) Ifl is slowly varying then for any chosen constants A＞1，δ＞0 there exists X=X(A，δ) such that

(3) If f is regularly varying of index ρ then for any chosen A＞1，δ＞0 there exists X=X(A，δ) such that

再給出本文的主要結(jié)果.

定理1 設(shè)F∈MDA(Ψα)，θ，s均為任意正常數(shù)，則對(duì)任意ε＞0，當(dāng)n充分大時(shí)有

其中C為與ε無(wú)關(guān)的正常數(shù).

類似于經(jīng)典的Baum-Katz定理，給出如下兩個(gè)簡(jiǎn)單的應(yīng)用.

命題1 設(shè)，則對(duì)任意0＜s≤p≤r≤α有

特別地

特別地，當(dāng)命題1中的s=r=ρ時(shí)，有如下結(jié)論成立.

命題2設(shè)F∈MDA(Ψα)，則對(duì)任意0＜p＜α有

特別地

3 結(jié)論的證明

由于{Xi，i≥1}為i.i.d.的隨機(jī)變量序列，故由Markov不等式及Cr-不等式得

類似可得

故要證結(jié)論成立，只需

事實(shí)上，由于F ∈ MDA(Ψα)，故存在某正值緩變函數(shù)L(x)使得，又，從而. 故對(duì)充分大的n，不妨設(shè)則

由Potter定理[7]知，對(duì)充分大的n，存在A=A(θ)＞1使得故由式(10)得

An Inequality for Order Statistics in Maximum Domain of Attraction of Weibull Distribution and its Applications

QIAN Rong-hua
(Department of Mathematics and Physics，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

The paper mainly discusses an inequality for order statistics of a random sample and a non-random sample that belong to the maximum domain of attraction of Weibull distribution，and some applications are also presented.

maximum domain of attraction；Weibull distribution；order statistics

O212

A

1008-5475(2015)01-0041-03

2014-10-23；

2014-11-21

錢榮華(1978-)，女，江蘇常熟人，主要從事概率統(tǒng)計(jì)研究.