鄧瑞娟

(蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

一類三階微分方程周期解的變分方法

鄧瑞娟

(蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

摘要：運(yùn)用變分方法探討了一類三階微分方程x?(t)+f(x′(t))+h(x(t))x′(t)+β(t)g(x(t-τ(t)))=p(t)的2π-周期解的存在性，獲得周期解存在的一個(gè)充分條件，同時(shí)推出一個(gè)相關(guān)推論.

關(guān)鍵詞：微分方程；2π-周期解；變分方法

1引言及引理

目前，關(guān)于具偏差變?cè)奈⒎址匠痰膽?yīng)用越來越多，也使得越來越多的學(xué)者開始研究此類方程.由于自然界中很多現(xiàn)象如氣候變化、波的振動(dòng)等都具有明顯的周期性，對(duì)微分方程解的周期性的研究更具有突出的意義．文[1-3]研究了二階微分方程解的周期性，對(duì)三階微分方程解周期性的研究雖然也正在進(jìn)行[4-7]，但是結(jié)論相對(duì)較少．文[4]研究了x?(t)+f(x′(t))+g(x(t-τ(t)))=p(t)的周期解；文[5]則給出了x?(t)+f(x′(t))+h(x(t))x′(t)+g(x(t-τ(t)))=p(t)周期解的相關(guān)結(jié)論，但是方程

解的周期性，目前仍無法判定．本文利用與文[2，5]相類似的方法，解決了下列三階微分方程周期解的存在性：

x?(t)+f(x′(t))+h(x(t))x′(t)+β(t)g(x(t-τ(t)))=p(t)，

(1)

利用重合度理論得到了方程(1)關(guān)于2π-周期解的一個(gè)新結(jié)論.

在方程(1)中出現(xiàn)的f(x),g(x),β(t),τ(t),h(x),p(t)，均為R上的連續(xù)函數(shù)，特別地，p(t),τ(t),β(t)都是以2π為周期的函數(shù).

(2)

(3)

由Fourier級(jí)數(shù)理論可知，C2π=ImL⊕R，于是codim ImL=dim(C2π/ImL)=1.ImL?C2π，且其閉子集，算子L亦是指標(biāo)為零的Fredholm算子．

假定投影算子P,Q分別為

則ImP=KerL，KerQ=ImL．令LP=L|D(L)∩Ker P，易得LP是可逆的，其逆為

(4)

算子方程Lx=λNx與下列方程等價(jià):

x?(t)=-λf(x′(t))-λh(x(t))x′(t)-λβ(t)g(x(t-τ(t)))+λp(t)，λ∈(0,1).

(5)

1) 對(duì)?λ∈(0,1)，x∈?Ω∩D(L)，有Lx≠λNx；

2) ?x∈?Ω∩KerL，QNx≠0；

3) deg(JQN,Ω∩KerL,0)≠0，其中J:ImQ→KerL為同構(gòu).

2主要結(jié)果及其證明

定理1如果方程(1)滿足如下條件，其中常數(shù)k>0,α≥0,M>0,k1≥0,r>0，

則當(dāng)4π2(k1+r+β1α(2π+1))<1時(shí)，方程(1)至少存在一個(gè)2π-周期解．

文化藝術(shù)中心以陶瓷作為主要材料，立面裝飾采用大量陶板、陶片等元素，彰顯福州市打造21世紀(jì)海上絲綢之路戰(zhàn)略樞紐城市的豐富歷史文化。竹子也是主要材料，每個(gè)場(chǎng)館弧形曲線連廊的墻面采用竹皮材料，場(chǎng)館內(nèi)部地面、墻面和座椅等也大量使用竹制材料，能有效吸音，減少場(chǎng)館內(nèi)的回音。

證明整理方程(5)，得

x?(t)+λf(x′(t))+λh(x(t))x′(t)+λβ(t)g(x(t-τ(t)))=λp(t)，λ∈(0,1).

(6)

考慮到ξ-τ(ξ)∈R，故一定存在m∈Z，t*∈[0,2π]，使得ξ-τ(ξ) =2πm+t*,于是，故式(6)成立．又因?yàn)閤(t)，所以

(7)

由iii)知，

(8)

將式(7)、(8)代入式(5)，并結(jié)合條件i)，得

(9)

由x(0)=x(2π)知，存在η∈[0,2π]，使得x′(η)=0，因此

(10)

將式(10)代入式(9)，

(11)

再由x′(0)=x′(2π)知，存在η*∈[0,2π]，使得x″(η*)=0，因此

由Mawhin延拓定理知，方程(1)至少存在一個(gè)2π-周期解．證畢．

推論1如果存在常數(shù)k>0,α≥0,M>0,k1≥0,r>0，使得方程(1)滿足下列條件：

則當(dāng)4π2(k1+r+β1α(2π+1))<1時(shí)，方程(1)至少存在一個(gè)2π-周期解．

作為應(yīng)用考慮如下方程：

其中，

由推論1可知，該方程至少存在一個(gè)2π-周期解.

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The Variational Method of Periodic Solutions in the Third Order Differential Equation

DENG Ruijuan

(Wuhu Institute of Technology, Wuhu 241000， China)

Abstract:The existence of 2π-periodic solutions for the third order differential equation x?(t)+f(x′(t))+h(x(t))x′(t)+β(t)g(x(t-τ(t)))=p(t) is explored by the variational methed, a sufficient condition for the periodic solutions is obtained, and a relevant corollary is also provided.

Key words:differential equation; 2π-periodic solutions; variational method

文章編號(hào):1674-232X(2015)06-0652-04

中圖分類號(hào):O175.6MSC2010: 34C25

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.06.016

通信作者：鄧瑞娟(1984—)，女，講師，主要從事微分方程研究．E-mail：5862593@qq.com

基金項(xiàng)目：安徽省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(KJ2013B347，KJ2013B348);安徽省教育廳高等學(xué)校省級(jí)質(zhì)量工程項(xiàng)目(2014mooc070).

收稿日期：2015-04-06