龍林園,楊立新,徐衍聰

(1.杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310036；2.浙江同濟(jì)科技職業(yè)學(xué)院數(shù)理學(xué)院,浙江 杭州 311231)

一類擾動(dòng)復(fù)Swift-Hohenberg方程的精確孤立子解

龍林園1,楊立新2,徐衍聰1

(1.杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310036；2.浙江同濟(jì)科技職業(yè)學(xué)院數(shù)理學(xué)院,浙江 杭州 311231)

摘要：利用Painlevé分析、Hirota多元線性法和直接擬設(shè)技巧，研究了一維帶有耗散項(xiàng)的五次復(fù)Swift-Hohenberg方程的解析解.找到了方程的精確解并證明方程系數(shù)之間存在著某種關(guān)系.得到了包括特殊類型的孤波解、暗孤子解和以雅可比橢圓函數(shù)形式表示的周期解等，為光學(xué)的進(jìn)一步研究提供了一系列孤子解.

關(guān)鍵詞：孤立子;Painlevé分析;Hirota多元線性法;Swift-Hohenberg方程;直接擬設(shè)法

0引言

Swift-Hohenberg方程首先由Swift等[1]提出，主要用于描述局部結(jié)構(gòu)和現(xiàn)代物理學(xué)的各種斑圖形成現(xiàn)象[2-3],包括Taylor-Couette 流中的Rayleigh-Benard 問(wèn)題[4]、大規(guī)模流和螺旋芯的不穩(wěn)定性[5]及一些化學(xué)反應(yīng)[6]. 研究的方程看上去復(fù)雜，但實(shí)際上，斑圖空間是由一定數(shù)量有序或混亂的簡(jiǎn)單的局部結(jié)構(gòu)組合在一起所形成的空間.眾所周知，Swift-Hohenberg方程服從橫向局部結(jié)構(gòu)和相域的存在性[7].這些相關(guān)的結(jié)構(gòu)可以視為亮、暗孤子.因此，這些簡(jiǎn)單的局部結(jié)構(gòu)及其穩(wěn)定性，在研究任何斑圖形成的系統(tǒng)時(shí)能引起學(xué)者的濃厚興趣.考慮到斑圖直觀的特性，可以將問(wèn)題分成幾個(gè)步驟.首先，應(yīng)當(dāng)掌握最基本的固定對(duì)象(局部結(jié)構(gòu)).然后，必須分析其穩(wěn)定性.最后，應(yīng)該研究它們之間的相互作用和組合結(jié)構(gòu).此外，為了更多的穩(wěn)定局部結(jié)構(gòu)的研究，應(yīng)該從最簡(jiǎn)單的情況開始，即(1+1)維結(jié)構(gòu).按照這個(gè)順序逐步進(jìn)行，可以防止在試圖一步解釋一個(gè)復(fù)雜的內(nèi)部結(jié)構(gòu)時(shí)出現(xiàn)任何可能的混淆.

在許多方面，Swift-Hohenberg方程的局部結(jié)構(gòu)類似于先前研究的復(fù)Ginzburg-Landau方程(CGLE).回顧一些經(jīng)典的五次CGLE的解析解[8-11],S-H 方程[12]與CGLE的主要區(qū)別在于它涉及衍射項(xiàng).在描述一個(gè)實(shí)際物理問(wèn)題的詳細(xì)特征時(shí)，后者顯得尤為重要.在三次(1+1)維方程的例子中，解析解描述了所有可能的亮孤子和暗孤子解.但是五次方程中，CGLE的解析解僅表示很小一部分的孤子解，并且其中還不包含穩(wěn)定的孤子解[11].

眾所周知，除了一些例外，CGLE通常只有孤立解[11,13]，即對(duì)任意特定的方程參數(shù)，它的解是奇異的.更一般地，孤立解的存在性是耗散系統(tǒng)的一個(gè)基本特征，該特征具有定性的物理基礎(chǔ)[14].Swift-Hohenberg方程模型的耗散系統(tǒng)與CGLE相似，并且預(yù)計(jì)它也將有此特征.事實(shí)上，初步的數(shù)值模擬支持了這一猜想.在物理問(wèn)題中，五階非線性等同甚至超過(guò)三階[15]的重要性，因?yàn)樗鼪Q定了局部解的穩(wěn)定性.筆者將分析(1+1)維亮孤子和暗孤子，并先暫時(shí)不考慮它們的穩(wěn)定性和它們之間的相互作用問(wèn)題.本文研究了含耗散項(xiàng)的五次Swift-Hohenberg方程，并且利用Painlevé和Hirota多元線性方法得到新的精確解.此方法是Berloff-Howard法[16]的修改和延伸，并最早由Nozaki等[17]提出.除此之外，將通過(guò)直接擬設(shè)法來(lái)確認(rèn)所得的解是成立的.在這里得到的解可作為進(jìn)一步研究的基礎(chǔ).筆者研究的一維五次含有耗散項(xiàng)的復(fù)Swift-Hohenberg方程為：

iut+βuxx+γuxxxx+μ|u|2u+ν|u|4u+ε|ux|2u=iδu,

(1)

方程中的系數(shù)β=β1+iβ2，γ=γ1+iγ2，μ=μ1+iμ2，ν=ν1+iν2和ε=ε1+iε2為復(fù)數(shù)，δ為實(shí)數(shù).

參數(shù)的實(shí)際意義取決于具體的物理問(wèn)題.在激光光學(xué)系統(tǒng)的問(wèn)題中，t表示傳播距離或腔的往返次數(shù)(作為一個(gè)連續(xù)變量)，x表示延遲時(shí)間，β1表示二階色散，γ1表示四階衍射，μ2表示非線性增益(若μ2為負(fù)數(shù)，則表示雙光子吸收)，δ則表示聯(lián)合線性增益和耗損.帶限增益則由β2(拋物型的光譜形狀)，γ2(4階校正)和ε|ux|2u(耗散項(xiàng))表示.

本文余下部分組織結(jié)構(gòu)如下：首先，回顧本文將使用的方法和分析程序；隨后，對(duì)帶耗散項(xiàng)的CQSH方程進(jìn)行Painlevé分析，并得到它在特殊情況下的精確解；最后,總結(jié)出結(jié)論.因?yàn)闆](méi)有必要的參數(shù)很小，所以不受擾動(dòng)機(jī)制的限制.

1方法論

1.1　Painlevé分析和Hirota多元線性法

(2)

并說(shuō)明如何通過(guò)Painlevé檢驗(yàn)和Hirota多元線性法，得到含耗散項(xiàng)的不可積偏微分方程的精確解.把變換截?cái)嘣诔?shù)項(xiàng)之前，

u=u0F-r+u1F-r+1+…+um-1F-1.

(3)

對(duì)首項(xiàng)指數(shù)的分析得 r=1.將展式(3)代入RQSH方程(2)中，并令F最高階項(xiàng)的系數(shù)為0，可得u0的關(guān)于F的表達(dá)式，并且有

(4)

將變換(4)代入式(2)可得一個(gè)關(guān)于F的四次方程：

(5)

然后，將F=1+e2kx+2ωt代入四次線性方程(5)中，合并同類項(xiàng)并使含不同冪e項(xiàng)的系數(shù)為零，便能夠得到4個(gè)代數(shù)方程，但該方程組沒(méi)有解. 現(xiàn)在，做另外一個(gè)不同的假設(shè)變換：

(6)

然后，將變換(6)代入方程(5)中，能夠得到一個(gè)關(guān)于F和G的五次線性方程：

(7)

如果將 F=1+e2kx+2ωt，G=ne2kx+2ωt+2mekx+ωt+n代入方程(7)中，合并同類項(xiàng)并使含不同冪e項(xiàng)的系數(shù)為零，能夠得到單孤子解：

u=msech(kx)+n,

(8)

其中，

如果將F=1+e2kx+2ωt，G=(n+m)e2kx+2ωt+n-m代入方程(7)中，合并同類項(xiàng)并使含不同冪e項(xiàng)的系數(shù)為零，能夠得到扭結(jié)解：

u=mtanh(kx)+n,

(9)

其中，

1.2　直接擬設(shè)法

許多非線性微分方程的解可以通過(guò)雙曲函數(shù)表示.這一事實(shí)促使了一種直接的方法，它的出發(fā)點(diǎn)是作出一個(gè)合適的擬設(shè)，使偏微分方程可表示為一個(gè)關(guān)于雙曲正切tanh函數(shù)和雙曲正割sech函數(shù)的多項(xiàng)式.當(dāng)找不到合適的擬設(shè)時(shí)，這種方法就失去了意義，所以它不像Hirota法一樣具有一般性.但這種方法比Hirota方法更簡(jiǎn)單，更易獲得周期解(橢圓函數(shù)的形式).利用此方法得到方程(3)的橢圓解如下：

1.2.1Jacobi cn函數(shù)

u=mcn(kx,q)+n,

(10)

其中，

1.2.2Jacobi sn函數(shù)

u=msn(kx,q)+n,

(11)

其中，

1.2.3Jacobi dn函數(shù)

u=mdn(kx,q)+n,

(12)

其中，

2復(fù)S-H方程的Painlevé分析

五次復(fù)Swift-Hohenberg方程首先改寫為如下方程：

iut+(β1+iβ2)uxx+(γ1+iγ2)uxxxx+(μ1+iμ2)|u|2u+(ν1+iν2)|u|4u=iδu,

(13)

(14)

u和u*的展開形式為：

u=(u0F-1-iα+u1F-iα+…)exp(iKx+iΩt),

(15)

(16)

并且，可以采取以下相關(guān)變量變換：

(17)

3含有耗散項(xiàng)的五次復(fù)S-H方程的精確解

這里討論的含有耗散項(xiàng)的五次復(fù)S-H方程的形式為：

iut+(f+2id)uxx+iduxxxx+(b2-ib1)|u|2u+(-c2+ic1)|u|4u+

(m2-im1)|ux|2u=(-a2+i(a1-d))u,

(18)

然后將變換(17)代入方程(18)中，得：

(19)

把F，G和G*寫成exp(kx+ωt)的多項(xiàng)式形式，并將這些函數(shù)代入方程(19)中，可得如下精確解(也能通過(guò)直接擬設(shè)法得到相同的解)：

3.1　亮孤子

u=gsech(kx)eiΩt,

(20)

這里，

且方程系數(shù)滿足的限制關(guān)系是：

3.2　暗孤子

u=gtanh(kx)eiΩt,

(21)

這里，

且方程系數(shù)滿足的限制關(guān)系是：

3.3　啁啾亮孤子

u=gsech(kx)e-iαlog(sech(kx))eiΩt,

(22)

這里，

且方程系數(shù)滿足的限制關(guān)系是：

3.4　啁啾暗孤子

u=gtanh(kx)e-iαlog(sech(kx))eiΩt,

(23)

這里，

A=-2b1(5α(8+α2)-α(16-15α2)m1+(16-15α2)m2)-2b2(20-25α2-16-15α2m1-α(16-15α2)m2),

B=b1(2f+6dα-fα2-(8dα-6fα2)m1+(8d-6fα)m2)+b2(4d-3fα-2dα2-(8d-6fα)m1-(8dα-6fα2)m2),

且方程系數(shù)滿足的限制關(guān)系是：

方程的橢圓函數(shù)解如下：

3.4.1 雅可比cn函數(shù)解

u=gcn(kx,m)eiΩt,

(24)

其中，

A=-24mc2(m1-mm1)-(c1m2-c2m1)(16m2-16m+1),

且方程系數(shù)滿足的限制關(guān)系是：

3.4.2雅可比sn函數(shù)解

u=gsn(kx,m)eiΩt,

(25)

其中,

A=-24mc2m1+(c2m1-c1m2)(m2+14m+1),

B=-2d(c2m1-c1m2)(1+m),

且方程系數(shù)滿足的限制關(guān)系是：

3.4.3雅可比dn函數(shù)解

u=gdn(kx,m)eiΩt,

(26)

其中，

A=-24c2m1(1-m)+(c2m1-c1m2)(m2-16m+16),

B=2d(c2m1-c1m2)(2-m),

且方程系數(shù)滿足的限制關(guān)系是：

4結(jié)論

通過(guò)Painlevé分析，利用Hirota多元線性法和直接擬設(shè)技巧得到了推廣的Swift-Hohenberg 方程的諸多精確解，同時(shí)也證明了方程系數(shù)之間存在的相互限制關(guān)系.然而，這些雅可比橢圓函數(shù)形式的解，僅僅代表了所研究方程可能存在的部分周期解和局部解.值得一提的是，本文得到的很多解是孤立子解和周期解，它們構(gòu)成一系列解族且其參數(shù)具有一般性.筆者同時(shí)也希望這些解能夠?yàn)楹罄m(xù)的研究提供一定的理論基礎(chǔ).

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Exact Soliton Solutions for the Dimensional Complex Quintic

Swift-Hohenberg Equation with a Dissipative Term

LONG Linyuan1, YANG Lixin2, XU Yancong1

(1.School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036,China;

2.College of Science, Zhejiang Tongji Vacational College of Science and Technology, Hangzhou 311231,China)

Abstract:Analytic solutions for the dimensional quintic complex Swift-Hohenberg equation with a dissipative term are investigated by using Painlevé analysis,the Hirota multi-linear method and a direct ansatz technique. This paer finds exact solutions exist to the equation and proves that there is certain relation among the coefficients. The set of solutions consist of particular types of solitary wave solutions, dark soliton solutions and periodic solutions in terms of elliptic Jacobi functions are obtainde. In fact,these muliti-parameter families of solutions can act as a seeding set of solutions which can be very useful in optical studies.

Key words:soliton; Painlevé analysis; Hirota multi-linear method; Swift-Hohenberg equation; direct ansatz method

文章編號(hào):1674-232X(2015)06-0625-07

中圖分類號(hào):O175.4MSC2010: 39A20

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.06.012

通信作者：徐衍聰(1970—)，男，副教授，博士，主要從事微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)研究.E-mail：yancongx@163.com

基金項(xiàng)目：浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(LY13A010020);杭州師范大學(xué)科研基金項(xiàng)目(HNUEYT2013).

收稿日期：2015-01-25