孟　迪, 谷　峰

(1.杭州師范大學(xué)經(jīng)亨頤學(xué)院,浙江 杭州 311121；2.杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310036)

四項(xiàng)展開式的性質(zhì)及其應(yīng)用

孟迪1, 谷峰2

(1.杭州師范大學(xué)經(jīng)亨頤學(xué)院,浙江 杭州 311121；2.杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310036)

摘要：研究了一個(gè)四項(xiàng)展開式的問題, 獲得了四項(xiàng)展開式的一些有趣性質(zhì), 并利用這些性質(zhì)證明了一些新的組合恒等式.

關(guān)鍵詞：二項(xiàng)式定理；四項(xiàng)式定理；四項(xiàng)式系數(shù)；組合恒等式

二項(xiàng)式定理以及與其密切相關(guān)的二項(xiàng)式系數(shù)有許多有趣的性質(zhì), 多位學(xué)者曾進(jìn)行過深入的研究[1-5]. 最近，毛妍等[6]討論了一個(gè)三項(xiàng)展開式，并獲得了幾個(gè)新的組合恒等式. 本文受此啟發(fā)，引入并研究了如下展開式:

(1)

1性質(zhì)及其證明

(2)

令r=3t+2p+q,0≤r≤3n，則分為以下3種情況討論.

表1　3種情況下t,p,q的組合數(shù)目

2p+q036…r-3rtr3r-33r-63…r-(r-3)30

2p+q147…r-3rtr-13r-43r-73…r-(r-3)30

2p+q258…r-3rtr-23r-53r-83…r-(r-3)30

性質(zhì).

證明

又

根據(jù)性質(zhì)2, 將展開的系數(shù)類似楊輝三角那樣排列(稱之為D三角形)如下:

1

1111

1234321

13610121210631

…………………………

性質(zhì).

性質(zhì).

證明在展開式(1)中令x=1即得.

性質(zhì).

性質(zhì).

性質(zhì).

證明將四項(xiàng)展開式對(duì)x求導(dǎo)可得:

(3)

對(duì)式(1)和(3)取x=1，得

(4)

(5)

2幾個(gè)新的組合恒等式

(6)

(7)

(8)

且

(9)

將式(6)、(7)、(8)代入(9),得：

所以得：

最后，給出一個(gè)利用四項(xiàng)展開式證明不等式的例子.

注此證法比用數(shù)學(xué)歸納法要簡便.一般，若恒等式一邊可表示成若干個(gè)非負(fù)項(xiàng)的和，去掉其中一項(xiàng)或若干項(xiàng)可得到相應(yīng)的絕對(duì)值不等式.若干關(guān)于n的不等式，常可用四項(xiàng)式定理證明.

參考文獻(xiàn):

[1] 盧開澄，盧華明.組合數(shù)學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2006：23-27.

[2] 李宇寰.組合數(shù)學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1988.

[3] 楊樺飛.組合數(shù)學(xué)[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，1994.

[4] 蒙正中.幾個(gè)組合恒等式及其組合意義[J].廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2003，20(3)：104-106.

[5] 王永亮，葉芳，高靜偉，等.六個(gè)組合恒等式的證明[J].貴州教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，15(4)：12-13.

[6] 毛妍，谷峰.三項(xiàng)展開式的性質(zhì)及其應(yīng)用[J].杭州師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，13(3)：262-267.

The Properties and Applications of Quadranomial Expansion

MENG Di1，GU Feng2

(1. Jing Hengyi Honors College, Hangzhou Normal University, Hangzhou 311121, China;

2. School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

Abstract:The problem of quadranomial expansion is studied and some interesting properties are obtained. Using these properties, several new combinatorial identities are proved.

Key words:binomial theorem; quadranomial theorem; quadranomial coefficients; combinatorial identity

文章編號(hào):1674-232X(2015)06-0645-07

中圖分類號(hào):O157；O122.4MSC2010: 05A10；05A19

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.06.015

通信作者：谷峰(1960—)，男，教授，主要從事非線性分析及其應(yīng)用研究．E-mail：gufeng99@sohu.com

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11071169)；浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(Y6110287).

收稿日期：2015-05-31