文/昌浩田 霍隆興

二階變系數(shù)線性微分方程的解

文/昌浩田 霍隆興

本文給出了一類二階線性微分方程的解法，并舉例說(shuō)明。

變系數(shù)；微分方程；通解

1、預(yù)備知識(shí)

考慮二階非齊次線性微分方程[1-4]

y”+p(x)y'+q(x)y=f(x)

(1)

(其中p(x)，q(x)，f(x)是關(guān)于x的未知函數(shù))的解；若f(x)=0，則該方程為齊次微分方程

y”+p(x)y'+q(x)y=0。

(2)

特解：若y0滿足方程y”+p(x)y'+q(x)y=0，則稱y0是該方程的一個(gè)特解。

通解：對(duì)于方程y”+p(x)y'+q(x)y=0，若y1(x)，y2(x)是該方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則稱y=c1y1+c2y2(這里c1，c2為任意常數(shù))為該方程的通解。

若知道(2)的通解為

y=c1y1(x)+c2y2(x)(這里c1，c2為常數(shù))

通過(guò)常數(shù)變易法，設(shè)方程(1)的通解為

y=c1(x)y1(x)+c2(x)y2(x)(其中c1，c2是待定的未知函數(shù))

由變系數(shù)二元線性方程組

解出c1'(x)，c2'(x)，再對(duì)其積分，即可求出c1(x)，c2(x)，從而可以求出方程(1)的通解。這里在知道方程(2)的一個(gè)非零特解的情況下，直接用常數(shù)變易法求方程(1)的通解。

2.主要定理及結(jié)論

若知道方程(2)的一個(gè)非零特解，則可以通過(guò)換元法化二階方程為一階方程，進(jìn)而求出原方程的通解。

定理 若y1是方程(2)的一個(gè)非零解，則方程(1)的通解為

這里c1，c2為任意常數(shù)。

證明因?yàn)楹瘮?shù)y1是方程(2)的特解，則

y1”+p(x)y1'+q(x)y1=0

(3)

由線性微分方程的性質(zhì)知，函數(shù)cy1一定是方程(2)的解(c為任意的常數(shù))。

設(shè)y=c(x)y1是方程(1)的解(其中c(x)是待定的未知函數(shù))，將其求一、二階導(dǎo)數(shù)并代入方程(1)，整理得:

y1c”(x)+(2y1'+p(x)y1)c'(x)+[y1”+p(x)y1'+q(x)y1]c(x)=f(x)

由式(3)，可得

這是以c(x)為未知函數(shù)的可降階的二階線性微分方程，解之得

則：

所以方程(1)的通解為：

例:求方程(x-1)y”-xy'+y=x(x-1)2e2x的通解。

(x-1)y”-xy'+y=0

(4)

有特解y1=ex,則設(shè)該方程的通解為y=zex，代入方程(4)，化簡(jiǎn)有

解得

積分有

故該方程的通解為

[1]羅亞平,陳仲.微分方程[M].南京:南京大學(xué)出版社,1987

[2]張學(xué)元.變系數(shù)二階線性微分方程的一個(gè)新的可解類型[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2003(1):96-98.

[3]東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系微分方程教研室.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,1982

[4]丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].北京：高等教育出版社，2001：18-248.

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2095-9214(2015)03-0112-01

云南大學(xué)數(shù)學(xué)系)