郝　樂

(沈陽大學 經(jīng)濟學院, 遼寧 沈陽　110044)

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關(guān)于正項級數(shù)斂散性的判別法序列

郝樂

(沈陽大學 經(jīng)濟學院, 遼寧 沈陽110044)

摘要:通過將熟知的對數(shù)判斂法、根值判斂法和比值判斂法進行推廣,得到了相應的判別法序列,并列舉了其中的某些方法的應用.

關(guān)鍵詞:正項級數(shù); 收斂; 判別法; 序列

關(guān)于正項級數(shù)斂散性的判別,除了定義及柯西收斂準則外,并不存在對任意級數(shù)都能生效的萬能判別法.但一些方法卻可以無止境地推廣和延伸,從而得到判別法序列,見文獻[1]. 這些判別法序列的功能是逐漸加強的.首先引入如下記號:

1對數(shù)判別法序列

在本段中記:

證明顯然,判別法L0就是對數(shù)判別法,見文獻[2],以下設(shè)k是任意的正整數(shù).

(1) 若10 及自然數(shù)N, 使得當n≥N時,有l(wèi)n[k+1]n>0及Lk(n)≥1+α,即

整理得

由柯西積分判斂法及比較判斂法知,級數(shù)∑an收斂.

(2) 若-∞≤pk<1,則存在自然數(shù)M, 使得當n≥M時,有l(wèi)n[k+1]n>0及Lk(n)<1, 整理得

由柯西積分判斂法及比較判斂法知,級數(shù)∑an發(fā)散.

2根值判別法序列

在本段中,引用如下記號:

證明顯然,判別法G0就是柯西(根值)判別法,見文獻[3],以下設(shè)k是任意的正整數(shù).

兩端取對數(shù),得

則

3比值判別法序列

在本段中記:

證明顯然,判別法D0,D1,D2分別就是達朗貝爾(比值)判別法、拉貝判別法和伯爾特昂判別法,見文獻[4]. 下面就k≥3的一般情形予以證明.

為書寫方便,記:

上式兩端取對數(shù),則有

lnan-lnan+1=

N≥M時

由文獻[5]中的定理1.1及附注(1.3)可知

式中,Ck-1為廣義歐拉常數(shù).所以

則

與前面的判別法Lk強于判別法Lk-1同理,在判別法序列{Dk}中,判別法Dk強于判別法Dk-1.

解

顯然,判別法D0即達朗貝爾(比值)判別法失效.但

由判別法Q2知級數(shù)發(fā)散.

參考文獻:

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【責任編輯: 李艷】

(Hao Le, Ma Qiankai. Divergence Speed or Convergence Value Domain ofpSeries[J]. Journal of Shenyang University: Natural Science, 2013,25(6):514-516.)

Criterion Sequence for Convergence of Series with Positive Terms

HaoLe

(School of Economy, Shenyang University, Shenyang 110044, China )

Abstract:The corresponding criterion sequence was achieved from the promotion and extension of some known criteria, such as the criteria for the convergence of logarithm, the root value and the ratio, etc. The applications of the criterion sequence were given.

Key words:series with positive terms; convergence; criterion; sequence

收稿日期:2014-04-22

中圖分類號:O 173

文獻標志碼:A

作者簡介:郝樂(1984-),女,遼寧沈陽人,沈陽大學講師,碩士.

文章編號:2095-5456(2015)02-0166-04