顏閩秀, 王　哲

(沈陽(yáng)化工大學(xué) 信息工程學(xué)院, 遼寧 沈陽(yáng)　110142)

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分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的完全狀態(tài)投影同步

顏閩秀, 王哲

(沈陽(yáng)化工大學(xué) 信息工程學(xué)院, 遼寧 沈陽(yáng)110142)

摘要:應(yīng)用分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論,設(shè)計(jì)了一個(gè)新的非線(xiàn)性控制器,實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的完全狀態(tài)投影同步.該方法理論嚴(yán)格,設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單,能夠?qū)崿F(xiàn)任意比例因子的完全狀態(tài)同步.數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了方法的有效性.

關(guān)鍵詞:分?jǐn)?shù)階; 超混沌系統(tǒng); 投影同步; MATLAB仿真

早在20世紀(jì)80年代,Fujisaka和Yamada等人最早對(duì)混沌同步進(jìn)行了研究. 1990年,美軍實(shí)驗(yàn)室的Pecora和Carroll首次提出了混沌同步的理論并在電路設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)且觀(guān)察到了混沌同步的現(xiàn)象[1].之后,各國(guó)的科學(xué)工作者對(duì)混沌同步理論進(jìn)行了更加深入的研究和實(shí)驗(yàn).如今,混沌同步研究已取得了豐碩的成果,特別是在保密通信、生物醫(yī)學(xué)工程、化學(xué)以及信息科學(xué)等很多學(xué)科中有著重要的應(yīng)用[2].這些成果主要是針對(duì)整數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步,人們從不同的角度實(shí)現(xiàn)了不同類(lèi)型的混沌同步,如完全同步[3]、廣義同步[4]、投影同步[5]、反同步[6]等.

分?jǐn)?shù)階微積分理論已有300多年的歷史,但很長(zhǎng)時(shí)間沒(méi)有實(shí)際的應(yīng)用背景,導(dǎo)致發(fā)展緩慢[7]. 在整數(shù)階非線(xiàn)性系統(tǒng)上的研究成果很多[8].近幾年來(lái),隨著對(duì)分?jǐn)?shù)階非線(xiàn)性系統(tǒng)的基本特性以及分?jǐn)?shù)階非線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究,分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的控制與同步方面取得了不少進(jìn)展. 由于應(yīng)用的推廣,分?jǐn)?shù)階微積分得到了比較大的發(fā)展,已被廣泛應(yīng)用于數(shù)理科學(xué)、化學(xué)、工程科學(xué)等諸多領(lǐng)域[9-10].但由于缺乏分?jǐn)?shù)階非線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定理論,現(xiàn)有的分?jǐn)?shù)階非線(xiàn)性系統(tǒng)包括分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定和同步,基本都是基于主動(dòng)控制的策略,而且對(duì)于分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)的同步的研究不是很豐富. 本文主要基于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性原理,構(gòu)造了相應(yīng)的非線(xiàn)性控制器,實(shí)現(xiàn)了超混沌系統(tǒng)的完全狀態(tài)投影同步. 此種方法可以有效地消去非線(xiàn)性系統(tǒng)的非線(xiàn)性部分,可以使得系統(tǒng)中的信號(hào)更容易跟蹤,從而更簡(jiǎn)捷地處理非線(xiàn)性系統(tǒng)的同步問(wèn)題.

1分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

設(shè)q階分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng):

(1)

式中,x(t)∈Rn為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)矢量,A∈Rn×n,B∈Rn×m,f:Rn→Rm(m≤n)為非線(xiàn)性映射,Ax為分?jǐn)?shù)階驅(qū)動(dòng)混沌系統(tǒng)的線(xiàn)性部分,Bf(x)為分?jǐn)?shù)階驅(qū)動(dòng)混沌系統(tǒng)的非線(xiàn)性部分,1

分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)為

(2)

式中,U為待設(shè)計(jì)的響應(yīng)系統(tǒng)的控制器,A1,B1,f1,q與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的A,B,f,q表示的意義相同.

分?jǐn)?shù)階驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階響應(yīng)系統(tǒng)的同步誤差

(3)

式中,e為系統(tǒng)的誤差,α為達(dá)到投影同步的比例因子.當(dāng)α=1時(shí),為完全同步;當(dāng)α=-1時(shí),為反同步;當(dāng)α(α≠0)為其他值時(shí),為混合投影同步.

可以看出,完全同步與反同步只是投影同步的特殊情況.

2設(shè)計(jì)投影同步控制器

引理一般分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)都可以表示成如下形式:

(4)

式中,1

階數(shù)為q的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域如圖1所示,可以看出,對(duì)于分?jǐn)?shù)階非線(xiàn)性系統(tǒng),如果在平衡點(diǎn)處的Jacobian矩陣的特征值都在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi),無(wú)論狀態(tài)變量為何值,那么分?jǐn)?shù)階受控系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為穩(wěn)定的平衡點(diǎn).

圖1　階數(shù)為q的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域

由e=x-αy可知,動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的誤差為

(5)

令

(6)

根據(jù)主動(dòng)控制器的設(shè)計(jì)思路,使用控制器U來(lái)消除系統(tǒng)的混沌系統(tǒng)中的非線(xiàn)性部分,同時(shí)也能有效地實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的線(xiàn)性化.于是,控制器可以設(shè)計(jì)為

(7)

式中,M∈Rn×n為參數(shù)矩陣.

證明將式(7)代入式(5),得

(8)

式中,A為系統(tǒng)的系數(shù)矩陣,M為參數(shù)矩陣.

即

由此可知,誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,分?jǐn)?shù)階驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)就達(dá)到了投影同步,說(shuō)明了控制器U設(shè)計(jì)的可行性.

3分?jǐn)?shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)的完全狀態(tài)投影同步數(shù)值仿真

分?jǐn)?shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)的形式如下:

(9)

研究表明,當(dāng)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的系數(shù)q=0.93時(shí),該系統(tǒng)是超混沌系統(tǒng).如圖2所示.

圖2　q=0.93時(shí)分?jǐn)?shù)階Lorenz超混沌吸引子

因此,分?jǐn)?shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)用式(1)可寫(xiě)成如下形式:

(10)

當(dāng)q=0.93,投影因子α=0.9,步長(zhǎng)為0.001時(shí),對(duì)上述驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)選取初始值為:x1(0)=0.32,x2(0)=0.78,x3(0)=-1.08,x4(0)=-0.65;y1(0)=0.20,y2(0)=0.30,y3(0)=-0.10,y4(0)=-0.40.

對(duì)系統(tǒng)的同步誤差e=x-αy進(jìn)行數(shù)值模擬仿真,最后得到系統(tǒng)狀態(tài)誤差曲線(xiàn)e1,e2,e3,e4,如圖3所示.

圖3　分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)投影同步誤差狀態(tài)曲線(xiàn)

由圖3可以看出,在設(shè)計(jì)的控制器U的作用下,投影同步誤差的狀態(tài)響應(yīng)曲線(xiàn)在較短的時(shí)間里驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的誤差漸近趨于零,也就是說(shuō),誤差e按照比例因子實(shí)現(xiàn)了投影同步.

4結(jié)語(yǔ)

本文主要研究的是分?jǐn)?shù)階超混沌完全狀態(tài)投影同步問(wèn)題,根據(jù)分?jǐn)?shù)階漸近穩(wěn)定性原理設(shè)計(jì)了控制器,從而可以將分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)更簡(jiǎn)單地運(yùn)用在同步過(guò)程中.針對(duì)超混沌Lorenz系統(tǒng)的不確定性和隨機(jī)性為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng),通過(guò)實(shí)現(xiàn)數(shù)值仿真可以達(dá)到投影同步,驗(yàn)證了控制器設(shè)計(jì)的可行性和有效性.

參考文獻(xiàn):

[ 1 ] Pecora L M, Carroll A T L. Synchronization in Chaotic Systems[J]. Physical Review Letters, 1990,64(8):821-824.

[ 2 ] 王曉燕,瞿少成,田文匯,等. 異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)同步及其在保密通信中的應(yīng)用[J]. 計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究, 2009,26(5):1874-1876.

(WangXiaoyan,QuShaocheng,TianWenhui,etal.SynchronizationofDifferentStructureChaoticSystemsanditsApplicationinSecureCommunication[J].ApplicationResearchofComputers, 2009,26(5):1874-1876.)

[ 3 ] 張廣軍,董俊,姚宏,等. 分?jǐn)?shù)階Chen混沌系統(tǒng)的完全同步與反相同步[J]. 應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào), 2013,30(2):201-205.

(ZhangGuangjun,DongJun,YaoHong,etal.TheCompleteSynchronizationandAnti-phaseSynchronizationoftheFractional-OrderChenChaoticSystem[J].ChineseJournalofAppliedMechanics, 2013,30(2):201-205.)

[ 4 ] 張健,徐紅兵,張洪斌. 基于觀(guān)測(cè)器的一類(lèi)連續(xù)非線(xiàn)性系統(tǒng)的采樣控制[J]. 自動(dòng)化學(xué)報(bào), 2010,36(12):1780-1787.

(ZhangJian,XuHongbing,ZhangHongbin.Observer-BasedSampled-DataControlforaClassofContinuousNonlinearSystems[J].ActaAutomaticSinica, 2010,36(12):1780-1787.)

[ 5 ] 顏閩秀,樊立萍. 混沌系統(tǒng)的主動(dòng)自適應(yīng)滑模修正投影同步[J]. 自動(dòng)化儀表, 2013,34(2):23-25,29.

(YanMinxiu,FanLiping.ActiveAdaptiveSlidingModeModifiedProjectiveSynchronizationoftheChaoticSystems[J].ProcessAutomationInstrumentation, 2013,34(2):23-25,29.)

[ 6 ]HoMC,HungYC,ChouC.PhaseandAnti-phaseSynchronizationofTwoChaoticSystemsbyUsingActiveControl[J].PhysicsLettersA, 2002,296(1):43-48.

[ 7 ] 趙靈冬,胡建兵,劉旭輝. 參數(shù)未知的分?jǐn)?shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)的自適應(yīng)追蹤控制與同步[J]. 物理學(xué)報(bào), 2010,59(4):2305-2309.

(ZhaoLingdong,HuJianbing,LiuXuhui.AdaptiveTrackingControlandSynchronizationofFractionalHyper-ChaoticLorenzSystemwithUnknownParameters[J].ActaPhysicaSinica, 2010,59(4):2305-2309.)

[ 8 ] 郭祥貴. 一類(lèi)連續(xù)非線(xiàn)性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)輸出反饋H∞控制器設(shè)計(jì)[J]. 沈陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2012,24(5):62-68.

(GuoXianggui.DynamicOutputFeedbackH∞ControllerDesignforaClassofContinuous-TimeNonlinearSystems[J].JournalofShenyangUniversity:NaturalScience, 2012,24(5):62-68.)

[ 9 ]BensonDA,WheatcraftSW,MeerschaertMM.ApplicationofaFractionalAdvection-DispersionEquation[J].WaterResourceResearch, 2000,36(6):1403-1412.

[10]LiWanglong,ChangKuoming.RobustSynchronizationofDrive-ResponseChaoticSystemsviaAdaptiveSlidingModeControl[J].Chaos,Solitons&Fractals, 2009,39(5):2086-2092.

【責(zé)任編輯: 李艷】

Full State Projective Synchronization of Fractional Order Hyperchaotic System

YanMinxiu,WangZhe

(College of Information Engineering, Shenyang University of Chemical Technology, Shenyang, 110142, China)

Abstract:Based on the stability theory of the fractional order system, a new nonlinear controller was designed to achieve the full projective state synchronization of fractional order hyperchaotic system. This method is simple and theoretically rigorous, which is capable to realize a full state synchronization of arbitrary scaling factor. Finally, simulation studies have verified the effectiveness of the method.

Key words:fractional-order; hyperchaotic systems; projective synchronization; MATLAB simulation

收稿日期:2014-12-03

中圖分類(lèi)號(hào):TP 391

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

作者簡(jiǎn)介:顏閩秀(1972-),女,福建仙游人,沈陽(yáng)化工大學(xué)副教授.

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61143007); 國(guó)家科技支撐計(jì)劃資助項(xiàng)目(2012BAF09B01).

文章編號(hào):2095-5456(2015)02-0135-04