趙偉波

（山西省芮城縣第一職業(yè)學(xué)校）

等差數(shù)列這節(jié)內(nèi)容是對口升學(xué)考試的一個(gè)重點(diǎn)。若能巧用性質(zhì)解決問題，便可提高解題的速度和準(zhǔn)確度。下面，我著重介紹等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的幾個(gè)性質(zhì)：

一、根據(jù)數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式，求通項(xiàng)公式

例：已知數(shù)列{an}前n 項(xiàng)和Sn=3n2+n，求an。

解：當(dāng)n=1 時(shí)，a1=S1=3+1=4

當(dāng)n≥2 時(shí)，an=Sn-Sn-1=3n2+n-［3（n-1）2+（n-1）］=6n-2

∵n=1 時(shí)，a1=6×1-2=4 也適合此式

∴an=6n-2

點(diǎn)評：已知Sn，求an的過程：當(dāng)n=1 時(shí)，a1=S1，當(dāng)n≥2 時(shí)，an=Sn-Sn-1

二、已知等差數(shù)列前n 項(xiàng)和Sn，則Sk，S2k-Sk，S3k-S2k為等差數(shù)列

例：已知等差數(shù)列前n 項(xiàng)和Sn，且S10=70，S20=60，求S30

解：∵S10，S20-S10，S30-S20成等差數(shù)列

∴2（S20-S10）=S10+（S30-S20）

2×（60-70）=70+S30-60

∴S30=-30

三、若｛an｝｛bn｝為等差數(shù)列，其前n 項(xiàng)和分別為Sn，Tn，則

例1.已知等差數(shù)列｛an｝｛bn｝ 的前n 項(xiàng)和為Sn，Tn，且

②由等差數(shù)列性質(zhì)解題：若m、n、p、q∈N*，m+n=p+q，則am+an=ap+aq

四、當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)項(xiàng)2n 項(xiàng)時(shí)：S偶-S奇=nd，

當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)項(xiàng)2n+1 時(shí)：S奇-S偶=an+1=a中，

例2.已知某等差數(shù)列共有2n+1 項(xiàng)，S奇=132，S偶=120，則n=_______

例3.已知某等差數(shù)列共有10 項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，求d。

解：∵項(xiàng)數(shù)為2n=10 即n=5，S偶-S奇=nd

∴30-15=5d，d=3

例4.在等差數(shù)列{an}中，d=，S100=45，則a1+a3+……a99=？

解：由題知，此數(shù)列共有2n=100 項(xiàng)，n=50

五、等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的最值問題

例5.在數(shù)列｛53-3n｝中，前n 項(xiàng)和Sn取得最大值的項(xiàng)數(shù)n 為第幾項(xiàng)？

例6.已知數(shù)列｛an｝中，a1=-11，an+1=an+2，求

（1）數(shù)列｛an｝前n 項(xiàng)和Sn

（2）Sn的最小值

解：（1）∵an+1=an+2∴an+1-an=2 ∴｛an｝是公差為2 的等差數(shù)列

（2）∵Sn=n2-12n=（n-6）2=36

∴當(dāng)n=6 時(shí)，Sn的最小值是-36.