尤國強(qiáng), 劉瑞妮, 胡景勤

西安翻譯學(xué)院 工程技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710105

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索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)

尤國強(qiáng), 劉瑞妮, 胡景勤

西安翻譯學(xué)院 工程技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710105

摘要：針對(duì)太空可展開天線的特殊性能要求, 對(duì)周邊桁架式可展開天線索網(wǎng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)。選取天線索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的上弦節(jié)點(diǎn)縱坐標(biāo)為設(shè)計(jì)變量,繼而分別以索網(wǎng)表面精度和結(jié)構(gòu)基頻為優(yōu)化目標(biāo)，建立了優(yōu)化數(shù)學(xué)模型?？紤]到索網(wǎng)結(jié)構(gòu)有限元計(jì)算的非線性和復(fù)雜性，使用序列二次規(guī)劃法對(duì)模型進(jìn)行求解。通過算例分析可知，文中的形狀優(yōu)化計(jì)算方法可以有效地提高天線索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的工作性能，取得的優(yōu)化結(jié)果和結(jié)論對(duì)于工程實(shí)踐具有一定的指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：可展開天線；索網(wǎng)結(jié)構(gòu)；形狀優(yōu)化；表面精度；基頻；優(yōu)化數(shù)學(xué)模型；序列二次規(guī)劃法

劉瑞妮(1983-)，女，講師，碩士.

做為大型高精密儀器，太空可展開天線具有反射面精度、收納率、展開剛度等一系列特有的工作性能指標(biāo)。只有在這些性能指標(biāo)均滿足指定要求的情況下，天線才能在太空正常工作[1-4]，而通過優(yōu)化設(shè)計(jì)來合理地給定天線的結(jié)構(gòu)參數(shù)是實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)最為行之有效的方法。

文中所研究的可展開天線整體結(jié)構(gòu)形式如圖1所示。其中，天線的索網(wǎng)體系由48片結(jié)構(gòu)形式相同并且呈輻射狀分布的索網(wǎng)結(jié)構(gòu)組成，它主要用于形成天線的反射面系統(tǒng)，并且兩端分別與周邊桁架和中央圓筒相連。該索網(wǎng)體系的具體結(jié)構(gòu)形式如圖2所示。

圖1　可展開天線整體結(jié)構(gòu)

圖2　天線索網(wǎng)體系

當(dāng)索網(wǎng)結(jié)構(gòu)中所有上弦索節(jié)點(diǎn)的初始坐標(biāo)位置均處于理想拋物線上時(shí)，在對(duì)結(jié)構(gòu)施加初始預(yù)張力后，上弦索節(jié)點(diǎn)在張力的作用下將偏離其原來的理想位置而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)表面精度下降。因此，若希望在初始預(yù)張力已經(jīng)確定的情況下進(jìn)一步提高結(jié)構(gòu)的表面精度性能，則可以通過形狀優(yōu)化的方法來給出更為合理的上弦索節(jié)點(diǎn)初始坐標(biāo)位置，從而使平衡態(tài)時(shí)的上弦索形狀更接近理想拋物線，以達(dá)到提高表面精度的目的。同時(shí)，由索單元切線剛度矩陣表達(dá)式可知，索單元節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)位置也是影響單元切線剛度矩陣的因素之一。因此，基于以上考慮，文中將上弦索節(jié)點(diǎn)的初始坐標(biāo)位置作為索網(wǎng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化計(jì)算中的設(shè)計(jì)變量來研究它對(duì)結(jié)構(gòu)性能的影響規(guī)律。

1優(yōu)化參數(shù)的設(shè)定

由于可展開天線索網(wǎng)體系是帶有幾何非線性特征的柔性結(jié)構(gòu)，而且其結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜，單元數(shù)目眾多，難于整體優(yōu)化分析和設(shè)計(jì)，因此，為了便于研究，文中將具有相同結(jié)構(gòu)形式的單片輻射索網(wǎng)結(jié)構(gòu)作為子結(jié)構(gòu)先行分離出來進(jìn)行分析，以實(shí)現(xiàn)由簡到繁、由局部到整體的優(yōu)化設(shè)計(jì)思路。

提取出的單片輻射索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的有限元模型如圖3所示。該模型采用兩節(jié)點(diǎn)直桿索單元建立，圖中標(biāo)號(hào)1～36為節(jié)點(diǎn)號(hào)，θ1和θ2分別為上弦索單元K1、K2與水平方向所成夾角。結(jié)構(gòu)中的上、下弦索沿中軸線對(duì)稱分布，它們均由17個(gè)索單元平滑連接組成；而中間縱向索則是由在對(duì)稱節(jié)點(diǎn)位置連接上、下弦索的16個(gè)豎直方向的索單元組成；整個(gè)單片索網(wǎng)結(jié)構(gòu)共包含50個(gè)索單元。

圖3　單片輻射索網(wǎng)結(jié)構(gòu)

可展開天線能夠正常工作的首要前提是確保其電性能達(dá)到預(yù)定要求。由天線設(shè)計(jì)理論中的Ruze公式可知，當(dāng)天線反射面為理想設(shè)計(jì)曲面時(shí)，反射后的電磁波在其口面上會(huì)處于等相位狀態(tài)，而在這種理想情況下天線增益將不會(huì)有所損失。但實(shí)際上，天線反射面在外界載荷或結(jié)構(gòu)內(nèi)力的影響下必然會(huì)產(chǎn)生變形，這一變形將會(huì)使天線口面不再是等相位面從而引起電磁波的路程差(或稱光程差)，并導(dǎo)致天線增益下降[5-7]?？紤]到天線反射面變形程度對(duì)其工作性能的重要影響，文中將上弦索的表面精度作為單片輻射索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)性能指標(biāo)之一，該指標(biāo)能夠較好地反映上弦索實(shí)際形狀與理想拋物線的變形偏差情況。

另外，由于天線在太空展開和工作時(shí)都必然會(huì)遇到振動(dòng)的情況，故需要盡量提高結(jié)構(gòu)基頻，使其遠(yuǎn)離激勵(lì)(衛(wèi)星姿態(tài)調(diào)整或變軌)頻率，從而避免諧振現(xiàn)象對(duì)天線的破壞，確保天線結(jié)構(gòu)的動(dòng)力性能。因此，文中以單片輻射索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的基頻作為優(yōu)化設(shè)計(jì)的另一個(gè)性能指標(biāo)。

在優(yōu)化設(shè)計(jì)變量方面，如前文所述，將上弦索節(jié)點(diǎn)的初始坐標(biāo)位置作為索網(wǎng)結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化中的設(shè)計(jì)變量。需要指出的是，如果從索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的生產(chǎn)制造實(shí)際情況出發(fā)，則優(yōu)化上弦索節(jié)點(diǎn)初始坐標(biāo)位置實(shí)質(zhì)上就是對(duì)上弦索單元和中間縱向索單元原始索段長度的優(yōu)化調(diào)整。

由于單片輻射索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的表面精度是根據(jù)上弦索單元節(jié)點(diǎn)平衡態(tài)時(shí)的縱坐標(biāo)值與其在理想拋物線上的縱坐標(biāo)值之間的偏差計(jì)算得出的，因此，為避免過多的設(shè)計(jì)變量數(shù)目給優(yōu)化計(jì)算帶來不利影響，文中僅將上弦索節(jié)點(diǎn)初始縱坐標(biāo)值相對(duì)于理想位置的變化量作為優(yōu)化時(shí)的設(shè)計(jì)變量；在優(yōu)化迭代計(jì)算時(shí)只需將這一變化量與節(jié)點(diǎn)在原來理想位置時(shí)的縱坐標(biāo)值相加得到新的節(jié)點(diǎn)初始縱坐標(biāo)值。另外，因?yàn)樗骶W(wǎng)結(jié)構(gòu)上弦索單元共包含18個(gè)節(jié)點(diǎn)，而左右兩端的2個(gè)節(jié)點(diǎn)又為固結(jié)點(diǎn)，故此處節(jié)點(diǎn)縱坐標(biāo)變化量的數(shù)目共有16個(gè)。

2 以表面精度為目標(biāo)函數(shù)時(shí)的優(yōu)化計(jì)算分析

以表面精度最小為目標(biāo)函數(shù)，以16個(gè)上弦索節(jié)點(diǎn)縱坐標(biāo)變化量為設(shè)計(jì)變量，可以建立如下優(yōu)化數(shù)學(xué)模型：

(1)

(2)

圖3所示的單片輻射索網(wǎng)結(jié)構(gòu)為優(yōu)化對(duì)象進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算時(shí)，索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的索材料設(shè)為芳綸纖維材料，其單元彈性模量和密度分別取為1.24e11 N/m2和1.45e3 kg/m3；優(yōu)化計(jì)算時(shí)將索單元初始預(yù)張力值均取為50 N，索單元半徑值均取為1 mm。在確定設(shè)計(jì)變量取值范圍方面，由于索網(wǎng)結(jié)構(gòu)需具有反向雙曲結(jié)構(gòu)形式，這樣就要求節(jié)點(diǎn)縱坐標(biāo)的變化范圍不能設(shè)的太大而使上弦索出現(xiàn)直線或與原方向相反的彎曲結(jié)構(gòu)形式。為此，在進(jìn)行了一些試算的基礎(chǔ)上，文中將上弦索節(jié)點(diǎn)縱坐標(biāo)變化量取值的上、下限分別設(shè)為1 mm和-1 mm，優(yōu)化計(jì)算時(shí)16個(gè)設(shè)計(jì)變量的初始值均取為0 mm，此時(shí)上弦索的初始位置將正好處于理想拋物線上。

采用序列二次規(guī)劃法[9-12]對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解，得到的優(yōu)化結(jié)果如圖4所示。其中，表面精度最優(yōu)值為0.011 53 mm，它與計(jì)算初始值0.086 18 mm相比下降了86.62%；另外，此時(shí)的基頻值為4.303 25 Hz。表1列出了在最優(yōu)解處設(shè)計(jì)變量的具體取值情況。

圖4　表面精度在優(yōu)化迭代計(jì)算中的變化情況圖

表1 以表面精度為優(yōu)化目標(biāo)時(shí)最優(yōu)解處設(shè)計(jì)變量的取值

上弦索節(jié)點(diǎn)號(hào)縱坐標(biāo)變化量Δz/mm上弦索節(jié)點(diǎn)號(hào)縱坐標(biāo)變化量Δz/mm2-0.004258100.0211603-0.015370110.0334604-0.042490120.0884905-0.036420130.10850060.042900140.1681007-0.035840150.2196008-0.007770160.27840090.014440170.307900

由表1可知，在最優(yōu)解處上弦索節(jié)點(diǎn)縱坐標(biāo)變化量的大小與其所在的索單元同水平方向夾角的大小有關(guān)，與水平方向夾角大的單元節(jié)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變化量也相應(yīng)較大。這是因?yàn)楫?dāng)以表面精度為優(yōu)化目標(biāo)時(shí)，優(yōu)化計(jì)算的作用實(shí)質(zhì)上就是相對(duì)于理想位置預(yù)先給上弦節(jié)點(diǎn)一個(gè)變形量，以使變形后的上弦索形狀能夠盡量與理想拋物線重合，因此，優(yōu)化得到的節(jié)點(diǎn)縱坐標(biāo)變化量實(shí)際上反映的是各節(jié)點(diǎn)受力后偏離其原位置的程度。因?yàn)樵诔跏碱A(yù)張力的作用下，與水平方向夾角大的索單元在豎直方向獲得的分力相應(yīng)較大，故該單元上的節(jié)點(diǎn)在縱坐標(biāo)方向上的變形量也較大，因此最優(yōu)解處得到的節(jié)點(diǎn)縱坐標(biāo)變化量會(huì)隨著節(jié)點(diǎn)所在單元與水平方向夾角的增大而增大。

另一方面，在整個(gè)優(yōu)化計(jì)算過程中結(jié)構(gòu)基頻值的變化很小，由此可知，當(dāng)以節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)位置為設(shè)計(jì)變量時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)在不影響結(jié)構(gòu)的動(dòng)力性能的前提下對(duì)表面精度進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

國內(nèi)相關(guān)研究機(jī)構(gòu)已對(duì)可展開天線中的索網(wǎng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了較長時(shí)間的研究，在已有的較為成熟全面的研究中，文獻(xiàn)[8]以可展開天線中索網(wǎng)單元的預(yù)張力為設(shè)計(jì)變量進(jìn)行了天線結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，取得的優(yōu)化結(jié)果中索網(wǎng)表面精度值為2 mm左右，且優(yōu)化計(jì)算中基頻值受設(shè)計(jì)變量的影響非常大，這導(dǎo)致優(yōu)化目標(biāo)受基頻變化的影響難以得到更理想的最優(yōu)解；文獻(xiàn)[13]以可展開天線中縱向索單元的長度為設(shè)計(jì)變量對(duì)天線索網(wǎng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，取得的優(yōu)化結(jié)果中索網(wǎng)表面精度值也為毫米量級(jí)，且基頻值受設(shè)計(jì)變量的影響同樣很大。與這些研究相比，文中取得的優(yōu)化結(jié)果中，索網(wǎng)結(jié)構(gòu)表面精度值為0.011 53 mm，且以文中提出的形狀優(yōu)化方法進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算時(shí)，結(jié)構(gòu)基頻變化很小，這將能為可展開天線整體性能優(yōu)化計(jì)算提供更有利的優(yōu)化手段。

3 以基頻為目標(biāo)函數(shù)時(shí)的優(yōu)化計(jì)算分析

以結(jié)構(gòu)的基頻最大為優(yōu)化目標(biāo)，以16個(gè)上弦索節(jié)點(diǎn)縱坐標(biāo)變化量為設(shè)計(jì)變量，可以建立以下優(yōu)化數(shù)學(xué)模型：

(3)

采用與上一節(jié)相同的參數(shù)設(shè)置以及計(jì)算方法來求解上面的優(yōu)化模型，得到的優(yōu)化結(jié)果如圖5所示。其中，最大結(jié)構(gòu)基頻值為4.304 22 Hz，它與計(jì)算初始值4.303 29 Hz相比提高了0.021 61%；另外，此時(shí)的表面精度值為0.857 2 mm。表2列出了在最優(yōu)解處設(shè)計(jì)變量的具體取值情況。

圖5　基頻在優(yōu)化迭代計(jì)算中的變化情況

上弦索節(jié)點(diǎn)號(hào)縱坐標(biāo)變化量Δz/mm上弦索節(jié)點(diǎn)號(hào)縱坐標(biāo)變化量Δz/mm2010-13-111-14-112-15-113-16-114-17-115-18-11609-1171

由表2可知，最優(yōu)解處上弦索最右端節(jié)點(diǎn)的縱坐標(biāo)上移至取值范圍的上限，而中間13個(gè)節(jié)點(diǎn)的縱坐標(biāo)則下移至取值范圍的下限。這樣的取值使得上弦索具有更大的彎曲程度，從而令結(jié)構(gòu)內(nèi)的應(yīng)力水平達(dá)到最大，并相應(yīng)地使結(jié)構(gòu)基頻在此處也得到了它的最大值。

另外，在整個(gè)優(yōu)化計(jì)算過程中結(jié)構(gòu)基頻值的變化很小，這與上一節(jié)得到的計(jì)算效果相同。因此，可以進(jìn)一步證實(shí)：上弦索節(jié)點(diǎn)縱坐標(biāo)初始位置在較小范圍內(nèi)的變化對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力性能將不會(huì)產(chǎn)生很大的影響。因此，在可展開天線剛性結(jié)構(gòu)部分設(shè)計(jì)給定的情況下，采用文中方法對(duì)索網(wǎng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，將不會(huì)降低天線的整體動(dòng)力性能，這一點(diǎn)將有利于可展開天線整體結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

5結(jié)論

1)算例表明，以索單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，應(yīng)用序列二次規(guī)劃法，可以較好地解決包含精度、頻率等復(fù)雜優(yōu)化目標(biāo)的可展開天線幾何非線性索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的形狀優(yōu)化問題，得到的優(yōu)化結(jié)果對(duì)于工程實(shí)踐具有一定的指導(dǎo)意義。

2)通過以索網(wǎng)表面精度為目標(biāo)的優(yōu)化計(jì)算可知，最優(yōu)解處上弦索節(jié)點(diǎn)縱坐標(biāo)變化量的大小與其所在的索單元同水平方向夾角的大小有關(guān)，節(jié)點(diǎn)縱坐標(biāo)變化量會(huì)隨著節(jié)點(diǎn)所在單元與水平方向夾角的增大而增大。由此可知，與水平方向夾角大的上弦索單元的節(jié)點(diǎn)縱坐標(biāo)值在優(yōu)化過程中對(duì)優(yōu)化目標(biāo)具有較大的影響。

3)由上面兩類優(yōu)化計(jì)算可知，上弦索節(jié)點(diǎn)縱坐標(biāo)初始位置在較小范圍內(nèi)的變化對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力性能將不會(huì)產(chǎn)生很大的影響。這表明，以節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)位置

為設(shè)計(jì)變量的天線索網(wǎng)結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)，不會(huì)在優(yōu)化的同時(shí)降低索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力性能。

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網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1191.U.20151206.1008.006.html

Shape optimization of cable-net structures

YOU Guoqiang，LIU Ruini，HU Jingqin

School of Technology and Engineering, Xi’an Fanyi University, Xi’an 710105, China

Abstract：Based on the special requirements of deployable space antenna, a shape optimization method is proposed here for the cable-net structure of a perimeter truss type deployable antenna according to its special performance features. In this method, the optimal mathematical model is established with the vertical ordinate of upper cable nodes as variables, surface precision of cable-net and fundamental frequency of structure as objectives. And considering the nonlinearity and complexity of the finite element computation of the cable net, the sequential quadratic programming method is used to solve it. The analysis results of examples show that the shape optimization can effectively improve the structural properties of cable-net structures, and these results can be helpful for engineering practice.

Keywords：deployable antenna; cable-net structure; shape optimization; surface precision; fundamental frequency; optimum mathematic model; sequential quadratic programming

通信作者：尤國強(qiáng)，E-mail：simonyouyou@163.com.

作者簡介：尤國強(qiáng)(1980-)，男，講師，博士；

基金項(xiàng)目：陜西省教育廳資助項(xiàng)目(14JK2040).

收稿日期：2015-04-09.網(wǎng)絡(luò)出版日期：2015-12-06.

中圖分類號(hào)：V443.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1009-671X(2015)06-058-04

doi:10.11991/yykj.201504007