楊國俊, 郝憲武, 宋 濤, 李子青

(1.蘭州理工大學 土木工程學院,甘肅 蘭州 730050; 2.長安大學 公路學院,陜西 西安 710064)

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基于非對稱懸索橋的振動基頻估算公式

楊國俊1, 郝憲武2, 宋 濤2, 李子青2

(1.蘭州理工大學 土木工程學院,甘肅 蘭州 730050; 2.長安大學 公路學院,陜西 西安 710064)

為了便于快速計算非對稱懸索橋的振動基頻,文章基于主纜不等高支撐的懸索橋,應用Rayleigh法,分別推導了一階豎彎和扭轉振動基頻估算公式,對于一階正對稱的豎彎和扭轉基頻,提出了修正規(guī)范公式的非對稱結構參數影響因子,并推導了扭彎基頻比公式,最后通過有限元法驗證估算公式的精度。研究結果表明:非對稱懸索橋一階反對稱的豎彎和扭轉基頻不受非對稱結構參數的影響,而對于一階正對稱豎彎和扭轉基頻,當非對稱結構敏感性參數ξ大于0.1時,基頻減小的幅度明顯顯著;推導的估算公式計算解與有限元解的誤差能滿足設計階段的要求,該公式可以方便指導非對稱懸索橋的方案選擇和初步設計。

橋梁工程;非對稱懸索橋;基頻; Rayleigh法;估算公式

懸索橋動力分析中的自振特性是許多研究者普遍關注的結構特性之一,結構基頻影響到結構抗風的穩(wěn)定性和對地震荷載的動力響應,所以計算其自振頻率和振型是懸索橋設計階段不可或缺的一環(huán)[1-2],但是在某些地區(qū)尤其山區(qū),橋址受地形的限制,為了更好地適應這種特定的工程環(huán)境而出現了非對稱的懸索橋[3],同樣在設計階段需要對其動力特性進行初步估算。文獻[4]基于單跨懸索橋給出了估算一階正對稱和反對稱豎彎和扭轉振動基頻的計算公式;文獻[5]采用攝動法隨機有限元(stochastic finite element method,SFEM)對橋梁結構的特征值問題進行分析,但是未給出估算基頻的實用公式;文獻[6-7]應用能量法推導了單跨懸索橋振動的基頻估算公式;文獻[8]在文獻[6-7]基礎上考慮了吊桿、索夾等的動能后應用Rayleigh法推導了單跨懸索橋豎向振動基頻的實用近似計算公式;文獻[2]采用非線性的有限元法、SAP5程序計算方法和估算法3種方法計算了吊橋的自振頻率;文獻[9]針對上述能量法推導的懸索橋基頻近似計算公式由于沒有考慮主塔剛度對自振基頻的影響存在一定的誤差,提出了計入邊纜和主塔剛度影響和考慮實際振型修正的正對稱豎彎基頻估算公式;文獻[10]基于3塔懸索橋采用Lanczos特征值求解法分析了中塔梁間的彈性拉索剛度對豎向振動頻率的影響;文獻[11-15]提出了考慮中塔剛度影響的3塔或多塔懸索橋的振動基頻估算公式。

綜上所述,傳統對稱的雙塔或多塔懸索橋有相應的振動基頻近似計算公式,但是針對非對稱懸索橋基頻的實用估算公式很少。雖然有限元法得到了廣泛的應用,但是對此類橋梁來說,有限元建模過程相對復雜,不利于設計人員快速判斷橋梁結構的振動特性。本文以主纜非對稱的懸索橋振動基頻為研究對象,應用能量法,選取合理的振型函數,推導了一階正對稱和反對稱豎彎和扭轉振動基頻估算公式,以供概念設計或校核有限元計算結果。

1 Rayleigh法及基本假定

1.1 基于Rayleigh法的頻率計算方法

假定振動不受動內力的影響,非對稱懸索橋豎彎振動振型如圖1所示。圖1中L為主跨跨徑,Hs為恒載作用下主纜的水平拉力,則豎向固有振動的微分方程[2]為:

(1)

圖1 非對稱懸索橋豎彎振動振型

在無阻尼固有振動的情況下,橋梁的任一點、任一瞬間的位移可以表示為:

(2)

其中,φ(x)為假定的能滿足橋梁位移邊界條件的近似振型函數;ω為與此對應的頻率;θ為相位差。

根據能量守恒原理[16]可得頻率ω的近似公式為:

(3)

其中,EI(x)、m(x)分別為彎曲剛度和質量分布函數;U為體系勢能;T為體系動能。

則基頻f0的計算公式為:

(4)

1.2 非對稱懸索橋基本假定

本文公式的推導是基于懸索橋的撓度理論,基本假定如下:① 不考慮材料非線性,所使用的材料均滿足胡克定律;② 恒載在主纜上沿跨度均勻布置,主纜在恒載作用下的線形為拋物線;③ 吊索沿跨徑均勻稠密布置,且在振動時不伸長不傾斜;④ 橋梁自由振動產生較小幅度的位移,且整個過程結構剛度不變;⑤ 主索鞍在主塔上不產生滑動等現象。

若兩主塔的高差為h,跨中垂度為f,主跨跨徑為L時,矢跨比n=f/L,定義與非對稱懸索橋結構參數有關的系數ξ(主纜支承點高差與主跨跨徑的比值,即ξ=h/L)為敏感性參數,非對稱懸索橋如圖2所示。圖2中,q為主纜產生的均布荷載;α為主纜支承點連線與水平線的夾角;L1為邊跨跨徑。

根據基本假定,主纜線形的函數為:

(5)

垂直方向的平衡條件為:

(6)

將(5)式代入(6)式得恒載作用下主纜水平拉力為:

(7)

圖2 非對稱懸索橋在恒載作用下受力情況

2 非對稱懸索橋豎彎基頻估算公式

2.1 結構體系勢能

非對稱懸索橋鉛垂平面內發(fā)生一階彎曲振動時,其勢能為主纜和加勁梁勢能之和[6-9]。

(1) 主纜勢能。主纜纜力變化產生的勢能Uce為:

(8)

其中,Ec為主纜的彈性模量;σ為主纜的軸向應力;V為主纜體積;Ac為主纜的截面面積;Le為主纜的虛擬長度;H為振動引起的主纜水平分力。令P=1+8n2+25.6n4+1.5ξ2+16ξ2n2+0.5ξ4,有

(9)

其中,s為主纜曲線的長度。

不考慮彈性伸長,由恒載作用點降低產生的主纜重力勢能(Ucg)[8]為:

(10)

因此主纜的勢能Uc為:

(11)

(2) 加勁梁勢能。加勁梁的彎曲勢能Us為:

(12)

結構體系總勢能U為:

U=Uc+Us

(13)

2.2 結構體系動能

非對稱懸索橋鉛垂平面內發(fā)生一階彎曲振動時,其動能為主纜、加勁梁和吊索動能之和[6-9]。

主纜的動能Tc為:

(14)

其中,mc為兩主纜質量集度之和。

加勁梁撓曲動能Tg為:

(15)

其中,mg為順橋向加勁梁質量集度。

吊索的動能Th為:

(16)

其中,mi為第i吊索的質量集度。

所以體系總動能T為:

T=Tc+Tg+Th

(17)

2.3 一階正對稱豎向彎曲基頻估算公式

對于非對稱懸索橋一階正對稱豎彎自由振動,其振型如圖3所示。圖3中As為振動振幅。

圖3 一階正對稱豎彎振型

設其滿足邊界條件的正對稱豎彎振型函數為:

(18)

(19)

當sin(ωt+θ)=1時,體系最大總勢能Umax為:

(20)

將(19)式、(20)式代入(3)式可得:

(21)

將(8)式、(20)式代入(4)式可得正對稱豎彎基頻fv為:

(22)

(22)式的根式運算中，分子前2項比最后一項小1～2個數量級,近似計算時可忽略不計,而吊桿質量遠遠小于主纜和加勁梁的質量,可忽略吊桿的動能,故(22)式可簡化為:

(23)

對于非對稱懸索橋,一般情況下矢跨比n=0.1,主纜虛擬長度可近似為:

正對稱豎彎基頻fv為：

(24)

其中,Ac1為單側主纜的截面面積。

文獻[4]中正對稱豎彎基頻fb估算公式為:

(25)

2.4 一階反對稱豎向彎曲基頻估算公式

對于非對稱懸索橋一階反對稱豎彎自由振動,其振型如圖4所示。

圖4 一階反對稱豎彎振型

設滿足邊界條件的反對稱豎彎振型函數為:

(26)

體系最大總動能Tmax為:

(27)

體系最大總勢能Umax為:

(28)

同理可得一階反對稱豎彎基頻f1的估算公式為:

(29)

同理(29)式可簡化為:

(30)

文獻[4]中反對稱豎彎基頻fb的估算公式為:

(31)

其中,Hg為恒載作用下單側主纜的水平拉力。

(32)

所以(31)式與文獻[4,7]給出的估算公式是相同的,表明推導的非對稱懸索橋的一階反對稱豎彎基頻近似計算公式與單跨懸索橋的一階反對稱豎彎基頻近似計算公式相同,說明與非對稱結構有關的參數對一階正對稱豎彎基頻沒有影響。

3 非對稱懸索橋扭轉基頻估算公式

3.1 結構體系勢能

結構體系扭轉振動的勢能[6-7]推導如下。

加勁梁約束扭轉勢能U1為:

(33)

其中,EJw為加勁梁約束扭轉剛度。

加勁梁自由扭轉勢能U2為:

(34)

其中,GIt為加勁梁自由扭轉剛度。

主纜撓垂勢能U3為:

(35)

其中,b為兩主纜的間距。

結構體系總勢能U為:

U=U1+U2+U3

(36)

3.2 結構體系動能

結構體系扭轉振動的動能[6-7]推導如下。

加勁梁旋轉動能T1為:

(37)

主纜撓垂動能T2為:

(38)

結構體系總動能T為:

T=T1+T2

(39)

3.3 一階正對稱扭轉基頻估算公式

對于一階正對稱扭轉振動,設其滿足邊界條件的扭轉振型函數為:

(40)

(41)

(42)

其中,r為加勁梁質量回轉半徑。

令J=mgr2+mcb2/4,將(41)式和(42)式代入(3)式得:

(43)

同理可得一階正對稱扭轉基頻fn估算公式為:

(44)

其中,n=0.1,Le≈L(1+8n2+1.5ξ2)。

由于(44)式的中括號內第1項遠小于后2項,也就是說對于一階正對稱扭轉振動,可忽略加勁梁的約束扭轉的影響,(44)式可簡化為:

(45)

文獻[4]中一階正對稱扭轉基頻ft估算公式為:

(46)

(47)

因此λ可以定義為非對稱結構參數對正對稱扭轉基頻的影響因子。

為了計算方便,將一階正對稱的扭轉基頻和豎彎基頻比值記作扭彎基頻比,對于非對稱懸索橋,正對稱扭彎基頻比ε為:

經簡化得:

(48)

3.4 一階反對稱扭轉基頻估算公式

對于反對稱扭轉振動,設其滿足邊界條件的扭轉振型函數為:

(49)

(50)

(51)

(52)

根據前面的分析結果,同樣可以忽略約束扭轉的影響,故(52)式簡化為:

(53)

所以(53)式與文獻[4,7]給出的估算公式是相同的,即推導的非對稱懸索橋的一階反對稱扭轉基頻估算公式與單跨懸索橋的一階反對稱扭轉估算公式一致,說明與非對稱懸索橋結構有關的參數不影響一階反對稱扭轉的基頻。

4 算例驗證

某特大橋為主跨628 m的單跨主纜不等高支撐的非對稱懸索橋,跨徑分布為166 m+628 m+166 m,上部結構采用較好抗風性能的扁平流線型鋼箱梁。設計主纜矢跨比為1/10,主纜橫橋向中心間距為26 m,吊索順向標準間距為12 m。索塔采用鋼筋混凝土塔柱結構,外形為門式框架。塔體包括塔頂、上塔柱、中塔柱和下塔柱,塔柱之間設3道橫梁。塔柱采用矩形空心薄壁截面。由于受地形的限制兩主塔是非對稱布置的,索塔高差為10.362 m,主纜支撐點高差與主跨跨徑的比值為0.017,索塔左、右塔柱采用不等高形式,高塔肢高153.5 m,矮塔肢高138.5 m,加勁梁泊松比為0.3,其他參數見表1所列。

將表1中的參數代入(24) 式、(25)式、(45) 式、(46)式及(53)式,得到該橋一階正對稱和反對稱豎彎和扭轉基頻,計算結果見表2所列。

表1 實橋結構計算參數

注：m0為對應項目單位長度質量。

表2 不同解下實橋的一階豎彎和扭轉振動基頻對比

注:誤差1是本文解與有限元解之間的誤差;誤差2是文獻[4]規(guī)范解與有限元解之間的誤差。

非對稱結構敏感性參數對豎向振動基頻、扭轉振動基頻的影響分別如圖5、圖6所示。

圖5 結構敏感性參數對豎向振動基頻的影響

圖6 結構敏感性參數對扭轉基頻的影響

由表2分析可知,對于非對稱懸索橋的一階正對稱豎彎基頻和扭轉基頻,推導的公式比不計入結構非對稱性影響的規(guī)范公式[4]計算精度高,豎彎和扭轉基頻計算結果與有限元結果誤差分別從6.8%、6.0%降到2.7%、4.1%,而對于非對稱懸索橋的一階反對稱豎彎基頻扭轉基頻,推導的公式與文獻[4]給出的一致,說明非對稱懸索橋的一階反對稱豎彎基頻和扭轉基頻不受其相關結構參數的影響。

由圖5和圖6分析可知,非對稱懸索橋的一階反對稱豎彎基頻和扭轉基頻不隨結構敏感性參數ξ的變化而變化,而正對稱豎彎基頻和扭轉基頻受結構敏感性參數ξ的影響,當ξ較小時,正對稱豎彎基頻和扭轉基頻變化不大,說明結構整體剛度在減小,但減小幅度不是太明顯;當ξ>0.1時,基頻減小的幅度較顯著,表明隨著主纜非對稱性逐漸增大,結構的整體剛度減小幅度較顯著,這些規(guī)律可以指導非對稱懸索橋的初步設計。

5 結 論

(1) 推導了非對稱懸索橋一階正對稱和反對稱豎向振動、扭轉振動的基頻近似計算公式以及正對稱下的扭彎基頻比,提出了與非對稱懸索橋有關的結構參數對正對稱豎彎基頻影響因子η和對正對稱扭轉基頻影響因子λ。

(2) 分別計算了非對稱懸索橋的一階豎向彎曲自振基頻和扭轉振動基頻,結果表明該類型橋的反對稱豎彎基頻和扭轉基頻不受非對稱結構參數的影響,而對于正對稱豎彎基頻和扭轉基頻,推導的公式比不計非對稱結構參數影響的文獻[4]公式精度高,對于正對稱豎彎基頻,其計算結果與有限元計算結果的誤差從6.8%降到2.7%,對于正對稱扭轉基頻,相應的誤差從6.0%降到4.1%。

(3) 對于非對稱懸索橋正對稱豎彎基頻和扭轉基頻,文獻[4]中的近似計算公式存在一定的缺陷,本文基于非對稱懸索橋推導的實用近似計算公式只適用于主纜非對稱的情況,對于跨徑非對稱、3塔或多塔體系及其他體系應做專門研究。

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(責任編輯 張淑艷)

Estimation formulas of vibration fundamental frequency based on asymmetry suspension bridge

YANG Guojun1, HAO Xianwu2, SONG Tao2, LI Ziqing2

(1.School of Civil Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China; 2.School of Highway, Chang’an University, Xi’an 710064, China)

In order to calculate vibration fundamental frequencies of asymmetry suspension bridge conveniently and rapidly, frequency formulas for 1stvertical and torsional vibration of suspension bridge with asymmetric main cables were derived based on the Rayleigh’s method. As for 1stsymmetric vertical and torsional vibration, asymmetric structure influencing factors for the correction of code formula were put forward, and the formula for the crankle ratio of fundamental frequency was also derived. Finally, the accuracy of the proposed formulas was examined by the finite element method(FEM). The results show that 1stanti-symmetric vertical and torsional vibration of asymmetry suspension bridge is free from the influence of asymmetry structure parameter. While for 1stsymmetric vertical and torsional vibration, the decreasing range of fundamental frequency is obviously more significant when the structure sensitivity parameterξexceeds 0.1. The error between the fundamental frequency calculated by the proposed method and that by the FEM can meet the requirement of design phase, indicating that the proposed formulas can be applied to guiding the schematic design and preliminary design of asymmetry suspension bridge.

bridge engineering; asymmetry suspension bridge; fundamental frequency; Rayleigh’s method; estimation formula

2015-06-08；

2016-09-30

中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金資助項目(2013G1211010)

楊國俊(1988-),男,甘肅臨夏人,博士,蘭州理工大學講師; 郝憲武(1962-),男,陜西綏德人,博士,長安大學教授,碩士生導師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.11.020

U448.25

A

1003-5060(2016)11-1536-07