樊 浩， 晏偉清， 劉 鵬, 陳 奇

(合肥工業(yè)大學 機械與汽車工程學院,安徽 合肥 230009)

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考慮摩擦的兩球體接觸承載分析的分形接觸模型研究

樊 浩， 晏偉清， 劉 鵬, 陳 奇

(合肥工業(yè)大學 機械與汽車工程學院,安徽 合肥 230009)

為了獲得更貼合實際的兩球體接觸承載能力分析的分形接觸模型,文章考慮摩擦的影響,在兩球體接觸應力計算分形模型的基礎上,引入存在摩擦的彈塑性變形臨界面積公式,給出考慮摩擦的兩球體分形接觸模型；通過在Matlab中對模型的仿真和預測,獲得了模型中主要參數(shù)對兩球體接觸承載能力的影響。結果表明:降低摩擦系數(shù)、減小粗糙度幅值以及選擇內接觸形式,有利于提高接觸承載能力;分形維數(shù)與接觸承載能力之間不是一個簡單的線性關系,而是存在一個分形維數(shù)的最優(yōu)值。因為球面副是球軸承的簡化模型,所以該文的研究為后續(xù)進行球軸承及相關產品的接觸承載分析提供了理論依據。

摩擦球面副;接觸承載分析;分形理論

高副接觸體之間的表面承載能力是影響其強度和壽命的重要指標。目前,用于高副接觸體間的表面承載能力分析主要有傳統(tǒng)的Hertz方法[1]、近現(xiàn)代的有限元方法[2-6]以及近年來比較熱門的分形理論方法[7-8]。前兩者主要用于宏觀分析,而后者可進行微觀分析,能分析接觸體表面微觀形貌對接觸承載的影響,因此考慮因素更全面，分析能力更強,從而得到了研究者們的廣泛關注[9-13]。

齒輪和軸承為常見的高副接觸體產品。具體分析時,常常把齒輪副接觸和圓柱滾子軸承簡化為兩圓柱體,把球軸承簡化為兩球體。目前，關于兩圓柱體和齒輪的分形承載能力分析已經取得了一定的成果[14-17];對于兩球體的分形接觸承載能力分析也進行了前期研究,并建立了基于分形理論的兩球體接觸模型[18]，但是該模型沒有考慮摩擦對接觸承載能力的影響。在實際工況中,摩擦常常不可忽略,因此,需要建立更為準確的兩球體接觸承載能力分析的分形接觸模型,并將之用于球面副相關產品的接觸應力分析。

本文以M-B分形接觸模型和兩球體分形接觸模型為基礎,引入存在摩擦的彈塑性變形臨界面積公式,給出考慮摩擦的兩球體分形接觸模型;通過對該模型的預測分析可以獲得相關參數(shù)對其承載能力影響的變化規(guī)律,有利于提高其接觸承載能力的最優(yōu)參數(shù),為改善和提高球面副及相關產品的接觸承載能力提供理論依據。

1 考慮摩擦的兩球體分形接觸模型

在M-B分形接觸模型的基礎上,結合兩球體的接觸面積分布公式和考慮摩擦的彈塑性臨界接觸面積公式,得出考慮摩擦因素的兩球體接觸承載能力的分形接觸模型。

1.1 M-B分形接觸模型

文獻[19]建立了粗糙表面的彈塑性接觸的分形模型,即M-B分形接觸模型。M-B分形接觸模型給出了粗糙“平面”間的接觸載荷與實際接觸面積之間的關系,其公式描述如下。

(1) 當al>ac,接觸點發(fā)生彈塑性變形,則總載荷為:

(1)

其中,第1項為彈性接觸載荷;第2項為塑性接觸載荷。

(2) 當al

(2)

(3)

as為最小接觸點的面積;al為最大接觸點的面積;ac為微凸體彈塑性變形臨界面積,其計算公式為:

(4)

其中,φ為材料的特性參數(shù),定義φ=σy/E。

1.2 兩球體的接觸面積分布公式

M-B分形接觸模型主要分析粗糙“平面”間的接觸承載能力,而對于粗糙“曲面”間的接觸問題未能涉及。為了將M-B分形接觸模型應用于粗糙曲面,本研究團隊經過研究建立了“兩任意輪廓彈性體接觸應力計算的分形模型”[21],并同時建立了“兩球體的分形接觸模型”[18]。在上述模型中,引入了表面接觸系數(shù),對接觸面積分布公式進行了修正,從而解決了M-B不能分析粗糙“曲面”間的接觸承載問題。已獲得的“兩球體的接觸面積分布”計算公式如下:

(5)

其中,λB為兩球體的接觸系數(shù),其計算公式[16]為:

(6)

其中,R1和R2為兩圓柱體的曲率半徑;“+”為外接觸;“-”為內接觸(假設R1>R2)。

兩球體接觸示意圖如圖1所示。

圖1 兩球體接觸示意圖

1.3 考慮摩擦的彈塑性臨界接觸面積計算公式

根據文獻[22]的研究可知,存在摩擦時微凸體彈塑性變形臨界面積的計算公式為：

(7)

其中,aμc為考慮摩擦的微凸體彈塑性變形臨界面積;kμ為摩擦力修正因子,與摩擦系數(shù)μ有關,其計算公式為:

(8)

1.4 考慮摩擦因素的兩球體分形接觸模型

將(5)式和(7)式帶入M-B分形接觸模型,即可得到“考慮摩擦因素的兩球體分形接觸模型”，該模型可建立兩球體接觸載荷與真實接觸面積之間的關系。具體公式描述如下。

(1) 當al>aμc時,接觸點處于彈塑性接觸狀態(tài),此時又分成如下2種情況:

當D≠1.5時,有

(9)

當D=1.5時,有

(10)

(11)

(2) 當al

(12)

2 模型仿真與預測

為了驗證上述模型,本文在Matlab中對模型進行仿真,重點分析模型中的4個主要參數(shù)(摩擦系數(shù)、分形維數(shù)、粗糙度幅值以及接觸形式)對兩球體接觸承載能力的預測分析。

假設兩球面副的基本參數(shù)如下:彈性模量E1=E2=2.06×105N/mm2,泊松比υ1=υ2=0.3,球體半徑分別為R1=100 mm,R2=60 mm。

2.1 摩擦系數(shù)對兩球體承載能力的影響

摩擦系數(shù)對兩球體接觸承載的影響如圖2所示。由圖2可知,隨著摩擦系數(shù)μ的增加,相同真實接觸面積對應的法向載荷增加,接觸應力增加,從而接觸承載能力下降。

這一結論與實際經驗相符,即降低接觸體的摩擦(如常采用潤滑措施)對于提高接觸面的承載能力有利,也與文獻[23-24]中的試驗結果一致,因此上述模型可信。

圖2 摩擦系數(shù)對兩球體接觸承載的影響

2.2 分形維數(shù)對兩球體承載能力的影響

分形維數(shù)對兩球體接觸承載的影響如圖3所示。

圖3 分形維數(shù)對兩球體接觸承載的影響

由圖3可知,分形維數(shù)對兩球體承載能力的影響,不是一個簡單的線性關系,而是存在一個最優(yōu)值,即隨著分形維數(shù)的增加,接觸承載能力總體趨勢為增強。但當分形維數(shù)為1.5時,相同載荷時的真實接觸面積最大,因此此時的接觸應力最小,接觸承載能力最強。

這一結論的總體趨勢與文獻[25]的結論一致,即分形維數(shù)與表面粗糙度大體成負指數(shù)關系,即減小表面粗糙度,分形維數(shù)增加,表面承載能力提高。但由于分形維數(shù)與表面粗糙度并非一一對應關系[25],因此降低表面粗糙度,并不一定提高分形維數(shù),即不一定對提高表面承載能力有利。本文仿真結果也反映了該問題,即分形維數(shù)對兩球體的接觸承載能力影響并非是簡單的線性關系,而是存在一個最優(yōu)值。鑒于篇幅,分形維數(shù)的優(yōu)化理論研究本文不再贅述。

2.3 粗糙度幅值對兩球體承載能力的影響

粗糙度幅值對兩球體接觸承載的影響如圖4所示。由圖4可以看出,隨著粗糙度幅值的降低,相同真實接觸面積的法向載荷也降低,因此減小粗糙度幅值對于提高兩球體之間的接觸承載能力有利。

由文獻[16]可知,粗糙度幅值G*是反映表面粗糙度的參數(shù),且兩者成正比關系。即減小粗糙度幅值,表面粗糙度隨之降低,表面承載能力可相應提高。由以上分析可知,上述結論與實際經驗和已有的結論一致,因此結論可信。

圖4 粗糙度幅值對兩球體接觸承載的影響

2.4 接觸形式對兩球體承載能力的影響

接觸形式對兩球體接觸承載的影響如圖5所示。由圖5可知,內接觸時比外接觸時的承載能力要高,因此盡量選用內接觸的高副產品可降低接觸應力,改善接觸條件。

這一結論與Hertz理論對于接觸形式的分析一致[26-27]。因此上述結論合理。

圖5 接觸形式對兩球體接觸承載的影響

3 結 論

本文考慮摩擦因素的影響,通過引入存在摩擦的彈塑性變形臨界面積公式,并結合兩球體接觸面積分布公式,建立了考慮摩擦的兩球體分形接觸模型。通過對模型的仿真和預測,得到了模型中主要參數(shù)對兩球體接觸承載能力影響分析的主要結論:① 摩擦系數(shù)與兩球體表面承載能力成反比關系,即隨著摩擦系數(shù)的降低,有利于提高兩球體的接觸承載能力；② 分形維數(shù)與兩球體的表面承載能力大體成正比關系,但并非是一個線性關系,而是存在一個分形維數(shù)的最優(yōu)值。因此,對于特定工況,需要進行分形維數(shù)的優(yōu)化設計；③ 粗糙度幅值與兩球體的表面承載成正比關系,即降低粗糙度幅值有利于提高表面承載能力；④ 內接觸時比外接觸時的球面副表面應力要低,因此盡量選用內接觸的結合形式。

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(責任編輯 胡亞敏)

Research on fractal contact model for contact carrying capacity of spherical pair considering friction factor

FAN Hao, YAN Weiqing, LIU Peng, CHEN Qi

(School of Machinery and Automobile Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

In order to set up a more realistic fractal contact model of spherical pairs for contact carrying capacity analysis, the fractal contact model of spherical pairs considering the factor of friction is deduced by introducing the equation of calculating critical contact area of elasto-plastic deformation with friction and referring to an earlier fractal contact model of spherical pairs. By the simulation and prediction in Matlab, the influence of some parameters in the model on the contact carrying capacity is acquired. The numerical results show that reducing the friction coefficient, decreasing the roughness amplitude and choosing the style of inner contact can help to improve the contact carrying capacity; the relationship between fractal dimension and contact carrying capacity is not simply linear, but there is an optimal value of fractal dimension. Because the spherical pair is a simplified model for ball bearing, the presented research can lay a theoretic basis for the contact carrying capacity analysis of ball bearings and related products.

friction spherical pair; contact carrying capacity analysis; fractal theory

2015-06-17；

2015-07-22

國家自然科學基金資助項目(51305116)

樊 浩(1993-),男,安徽肥東人，合肥工業(yè)大學碩士生; 陳 奇(1979-),男,安徽肥東人,博士,合肥工業(yè)大學副教授,碩士生導師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.11.006

TH114

A

1003-5060(2016)11-1468-05