劉 明

（天津師范大學(xué)津沽學(xué)院理學(xué)系天津市 300387）

1.問(wèn)題的提出

“中國(guó)教學(xué)傳統(tǒng)素以孔子開(kāi)創(chuàng)的儒學(xué)為主導(dǎo)主流，它對(duì)中國(guó)教學(xué)的影響已經(jīng)形成深厚的文化積淀，成為中國(guó)教學(xué)的一種不以個(gè)人意志為轉(zhuǎn)移的內(nèi)在精神?！盵1]“數(shù)學(xué)教育理論并不能被看成與整體性的變化環(huán)境完全無(wú)關(guān)”，“由于‘中國(guó)文化’（更為準(zhǔn)確地說(shuō)就是‘儒家文化’）在東亞各國(guó)具有十分重要的影響，因此我們就可以此為對(duì)象提出這樣的問(wèn)題：是否存在有特殊的‘東亞數(shù)學(xué)教育’[2]？”

2.儒家教育思想對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟迪

儒家關(guān)于教學(xué)的論述主要有：?jiǎn)l(fā)誘導(dǎo)、精講多練、循序漸進(jìn)等，對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)教育有著深遠(yuǎn)影響。

2.1 啟發(fā)誘導(dǎo)

孔子認(rèn)為啟發(fā)要建立在學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性的基礎(chǔ)上，一旦學(xué)生的頭腦中出現(xiàn)了問(wèn)題，有所感悟有還不很明朗的時(shí)候，便是進(jìn)了心求通而未得，口欲言而未能‘憤’、‘悱’狀態(tài)，這就是啟發(fā)的最好火候。

啟發(fā)式是關(guān)于教學(xué)方法的一個(gè)原理，數(shù)學(xué)教學(xué)中無(wú)論采用什么具體方法教學(xué)，都應(yīng)該符合這一原理。在上世紀(jì)80年代廣為宣傳的波利亞的解題表，所主張的對(duì)學(xué)生給予含蓄的、有目標(biāo)的幫助，其思想與孔子的啟發(fā)誘導(dǎo)是一致的。啟發(fā)誘導(dǎo)是植根于我國(guó)文化傳統(tǒng)的先進(jìn)的教學(xué)原理，是數(shù)學(xué)教學(xué)中開(kāi)啟學(xué)生智慧的鑰匙，與建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀的主動(dòng)建構(gòu)是相同的，又不拘泥主動(dòng)建構(gòu)，并且它還符合“外因是變化的條件，內(nèi)因是變化的根據(jù)，外因通過(guò)內(nèi)因而起作用?！边@一辯證唯物主義原理。

“啟發(fā)誘導(dǎo)”在選修2-2推理與證明的教學(xué)中有非常完美的體現(xiàn)，如已知：等差數(shù)列{an}的公差d，前項(xiàng)和為Sn，有如下性質(zhì)：

（1）通項(xiàng)an=am+（n-m）d

（2）若 m+n=p+q，m、n、p、q∈N*，則 am+an=aP+aq；

（3）若 m+n=2p，且 m、n、p∈N*，，則 am+an=2aP；

（4）Sn，S2n-Sn，S3n-S2n構(gòu)成等差數(shù)列。

類(lèi)比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，寫(xiě)出相類(lèi)似的性質(zhì)。

解析：實(shí)物的各個(gè)性質(zhì)之間不是孤立的，而是相互關(guān)聯(lián)的、相互制約的，等差數(shù)列和等比數(shù)列之間有著很多相似的性質(zhì)，可以利用類(lèi)比推理得出。該題考查利用類(lèi)比推理從等差數(shù)列的性質(zhì)得出等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列{bn}中，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn。

在上述題目的講解上，要對(duì)學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)式的闡述，讓他們把握題目的“題眼”，記住歸納推理的幾個(gè)特點(diǎn)以及類(lèi)比推理的一般步驟，這樣在解題過(guò)程中就可以先會(huì)模仿，再到理解。

2.2 精講多練

宋代數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家楊輝：“好學(xué)君子自能觸類(lèi)而考，何必輕傳[3]?！闭J(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該觸類(lèi)旁通，不需要所有的東西都由教師來(lái)傳授，教師只要精講而給學(xué)生留有自己學(xué)習(xí)和思維的空間。精講多練是從儒家主張的“熟讀精思”的讀書(shū)方法演化來(lái)的。朱熹認(rèn)為“熟讀”要達(dá)到“使其言皆若出自吾之口”，朱熹是理學(xué)家兼通數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)教學(xué)中自然就應(yīng)該“多練”了。這一最早的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中，提出的學(xué)習(xí)方法里就有熟讀深思和重視演題，他強(qiáng)調(diào)計(jì)算能力，提出了技能培訓(xùn)的要求，并指出要在熟練后才考慮下一步。這就要求多練，練多了就熟了，從而就“熟能生巧”了。

數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性話動(dòng)和反省抽象都須以操作運(yùn)算為基礎(chǔ)。在對(duì)學(xué)生活動(dòng)過(guò)程和概念形成的發(fā)展過(guò)程進(jìn)行分析后，“解題訓(xùn)練作為一種教學(xué)法，其機(jī)制并不只是在讓學(xué)生接觸、熟悉和記住解題技能和技巧。運(yùn)算操作是數(shù)學(xué)思維的發(fā)生之處，是完整的概念形成的一塊基石。它為學(xué)生的理解領(lǐng)會(huì)提供了必要條件，或者說(shuō)，熟能生巧的合理性表現(xiàn)在必要性上[4]?！睂?duì)“熟能生巧”的理論根據(jù)進(jìn)行了分析闡述。也就為我國(guó)“學(xué)好雙基”這一寶貴經(jīng)驗(yàn)中解題訓(xùn)練的必要和作用給出了理論上的依據(jù)。

“熟能生笨“與“熟能生厭”則是支流，是可能出現(xiàn)的情況，而不是普遍規(guī)律，此其一。其二是“熟能生巧”是指學(xué)習(xí)者在自已的學(xué)習(xí)括動(dòng)中，“熟練了就能找到竅門(mén)[4]”，而“熟能生笨”和“熟能生厭”的可能產(chǎn)生是在教師強(qiáng)加給學(xué)生過(guò)度常規(guī)訓(xùn)練的情況之下。前者能“生巧”就在于主動(dòng)學(xué)習(xí)、思考、領(lǐng)悟。后者的問(wèn)題就在于被動(dòng)、自己不愿意但不得已而勉強(qiáng)為之。解決后者的問(wèn)題其實(shí)也并不十分困難，關(guān)鍵就在于還學(xué)生以學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)。這樣，當(dāng)學(xué)生感到自己已經(jīng)熟練掌握某個(gè)知識(shí)技能時(shí)，不再去做那些已不必要的重復(fù)練習(xí)。也就不至于“多練”到“生笨”和“生厭”的程度了。“精講多練”反映了對(duì)“講”和“練”辯證關(guān)系的恰當(dāng)處理與把握。不僅和課程改革中強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體地位與數(shù)學(xué)話動(dòng)、重視教師的組織與指導(dǎo)作用是一致的，而且對(duì)講與練的關(guān)系表達(dá)得十分精辟與準(zhǔn)確?？梢哉f(shuō)精講多練是數(shù)學(xué)教學(xué)的基石。

對(duì)于很復(fù)雜的題目，一般多指綜合性的大題，涉及知識(shí)點(diǎn)很多，綜合性很強(qiáng)，學(xué)生想“一口吃個(gè)胖子”并非易事，就得通過(guò)“精講多練”來(lái)實(shí)施。

下面以天津卷2010年理科數(shù)學(xué)最后的壓軸題為例進(jìn)行說(shuō)明。在數(shù)列中{an}，a1=0，且說(shuō)對(duì)任意 k∈N*，a2k-1，a2k，a2k+1成等差數(shù)列，其公差為 dk·（Ⅰ）若 dk=2k，證明 a2k-1，a2k，a2k+1成等比數(shù)列（k∈N*）；

（Ⅱ）若對(duì)任意 k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等比數(shù)列，其公比為 qk.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)、方法思想眾多，涉及等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，并且還考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力及分類(lèi)討論的思想方法。對(duì)于本題來(lái)說(shuō)，學(xué)生并不是完全無(wú)從下手，教師在講解此類(lèi)題目時(shí)，要做到“先拆解，再合并”的原則，先標(biāo)注出每個(gè)要考的知識(shí)點(diǎn)是什么，再將它們有機(jī)的綜合在一起。由于此類(lèi)題目所考查的知識(shí)點(diǎn)和能力都非常多，教師在黑板上講解的同時(shí)，要用不同顏色的粉筆勾畫(huà)出知識(shí)點(diǎn)并精心講解，引導(dǎo)學(xué)生逐一、反復(fù)練習(xí)，在平時(shí)的訓(xùn)練中積累經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于最后的壓軸題也不是說(shuō)沒(méi)有機(jī)會(huì)。

2.3 循序漸進(jìn)

朱熹認(rèn)為“循序而漸進(jìn)，熟讀面精思，可也。”“循序漸進(jìn)”，是我國(guó)教師所熟知的。由于數(shù)學(xué)內(nèi)容的抽象性和數(shù)學(xué)知識(shí)問(wèn)的邏輯聯(lián)系，許多教學(xué)教師在教學(xué)中總是格外注重“循序漸進(jìn)”，按照由淺入深、由易到難、由簡(jiǎn)到繁、由常規(guī)到變式、由具體到抽象、由特殊到一般來(lái)組織教學(xué)，逐步展開(kāi)和深入。

在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，會(huì)想讓學(xué)生從對(duì)空間幾何體的觀察入手，認(rèn)識(shí)空間圖形；再以長(zhǎng)方體為載體，直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系；能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定，并對(duì)某些結(jié)論進(jìn)行論證。學(xué)生還將了解一些簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積的計(jì)算方法。由此，一步一步，按部就班，從整體到局部，循序漸進(jìn)。

“循序漸進(jìn)”符合人的認(rèn)識(shí)規(guī)律，一是降低了難度，學(xué)生易于掌握所學(xué)內(nèi)容；二是“循序漸進(jìn)”包含了學(xué)習(xí)內(nèi)容之問(wèn)的系統(tǒng)性、邏輯性，使新內(nèi)容容易與學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)發(fā)生密切聯(lián)系和相互作用，新內(nèi)容容易被接納進(jìn)去；三是循序漸進(jìn)能養(yǎng)成逐步展開(kāi)和深入的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生學(xué)會(huì)追求思維的廣度和深度，不致淺嘗輒止。四是能讓學(xué)生建立信心和增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣。

3.儒家學(xué)習(xí)思想對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的啟迪

儒家把教育、教學(xué)活動(dòng)的重點(diǎn)放在了學(xué)習(xí)者自主的“學(xué)”上面。中國(guó)古代的教育理論基礎(chǔ)，從總體上說(shuō)，是學(xué)的理論，這是中國(guó)古代教育觀的一大特點(diǎn)，也是一大優(yōu)點(diǎn)。與現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育中強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體地位，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)，強(qiáng)調(diào)教是為學(xué)服務(wù)的，十分一致。儒家關(guān)于學(xué)習(xí)的許多論述，是儒家教育思想的重要組成部分，學(xué)思結(jié)合、溫故知新等都對(duì)我國(guó)學(xué)子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)具有相當(dāng)重要的指導(dǎo)意義。

3.1 學(xué)思結(jié)合

孔子認(rèn)為，只學(xué)習(xí)別人傳授的知識(shí)而自己不去思考，就會(huì)停留在混沌迷惘的階段，不能學(xué)到真正有用的東西；而如果只憑空思考卻不去學(xué)習(xí)和利用前人的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，那將會(huì)一事無(wú)成。因此，要想真正獲取知識(shí)，必須做到學(xué)思結(jié)合。在“學(xué)”和“思”的關(guān)系上，孔子認(rèn)為，二者并不是不分主次的，其中“學(xué)”是主要方面?？鬃訌?qiáng)調(diào)“學(xué)”，同時(shí)也重視“思”在認(rèn)識(shí)中的作用，正確地處理了學(xué)和思的辯證關(guān)系?？鬃訉?duì)于“學(xué)”與“思”及相互關(guān)系的闡述符合認(rèn)識(shí)規(guī)律。一方面，任何人都必須學(xué)習(xí)前人的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，因?yàn)橐粋€(gè)人不可能事事親身實(shí)踐，獲得知識(shí)必須以間接經(jīng)驗(yàn)為主。但是在學(xué)習(xí)過(guò)程中必須經(jīng)過(guò)自己的思考、理解和消化，必須以意義學(xué)習(xí)為主。

數(shù)學(xué)具有抽象的特點(diǎn)，是在幾千年中逐步形成發(fā)展的。一方面，不可能都讓學(xué)生在有限的教學(xué)時(shí)間內(nèi)自己去發(fā)現(xiàn)；另一方面，必須特別強(qiáng)調(diào)理解、學(xué)懂。所以既扎扎實(shí)實(shí)地抓好“雙基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能）教學(xué)，又特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生要獨(dú)立思考，實(shí)際上就是要按孔子的以學(xué)為主、學(xué)思結(jié)合的思想來(lái)教學(xué)。在今天進(jìn)行課程改革的情況下，又要防止什么都要由學(xué)生自己通過(guò)活動(dòng)來(lái)獲得，而導(dǎo)致一些學(xué)生思而不學(xué)，一元所獲。學(xué)思結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。

3.2 溫故知新

學(xué)習(xí)要時(shí)時(shí)溫習(xí)，才能熟練掌握。這符合認(rèn)識(shí)規(guī)律，符合心理學(xué)中與遺忘作斗爭(zhēng)的規(guī)律。“溫故而知新”則指出溫習(xí)舊知識(shí)，要有新認(rèn)識(shí)；或溫習(xí)舊知識(shí)，可引出新知識(shí)；或溫習(xí)可把對(duì)舊知識(shí)的認(rèn)識(shí)遷移到對(duì)新知識(shí)的研究上。這與我們對(duì)概念的認(rèn)識(shí)不是一次就完成，而是逐步深化的相符；也符合數(shù)學(xué)教學(xué)中的鞏固與發(fā)展相結(jié)合的原則。要把鞏固舊知識(shí)與學(xué)習(xí)新知識(shí)相結(jié)合，把鞏固知識(shí)與發(fā)展思維相結(jié)合。溫故知新是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新起點(diǎn)[5]。

在學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)知識(shí)時(shí)，教師一般會(huì)先給學(xué)生復(fù)習(xí)指數(shù)函數(shù)相關(guān)知識(shí)，因?yàn)橹?、?duì)互為一對(duì)反函數(shù)。關(guān)鍵點(diǎn)先要從其定義域入手，做出圖像，列表對(duì)照比對(duì)。學(xué)生可以根據(jù)先前學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的方法，溫故知新，來(lái)自己探究學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)。

3.3 追求領(lǐng)悟

孔子“由博返約”的思想反映了他主張?jiān)诓W(xué)的基礎(chǔ)上掌握精髓，領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)?？鬃臃磳?duì)不加分析地照搬照套提出“擇其善者而從之，其不善者而改之?！敝祆涑珜?dǎo)“熟讀精思”的學(xué)習(xí)方法，認(rèn)為在熟讀的基礎(chǔ)上，要進(jìn)行深人思考，不僅要“知其然”，而且還要“知其所以然”。“知其所以然”就是真懂，就是領(lǐng)悟，這在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中特別重要。

華羅庚先生曾經(jīng)說(shuō)過(guò)說(shuō)：學(xué)習(xí)中首先要注意好好消化，如果不消化的話，即使胸藏萬(wàn)卷書(shū)，也是用不上的，只有消化了，才能運(yùn)用自如，得追求的一種高境界。

4.總結(jié)

孔子豐富的教育思想在全世界享有崇高的地位，一定程度上影響著整個(gè)東西方文明。素質(zhì)教育是一種先進(jìn)的教育思想和具有時(shí)代精神的教育理念，在素質(zhì)教育實(shí)施的過(guò)程中，我們需要不斷探索，不斷研究。在但提倡素質(zhì)教育的同時(shí)，我們對(duì)孔子的教育思想進(jìn)行深入的發(fā)掘探析，從而更深入地了解孔子教育思想的精髓，并從中得到有益的啟示，以推動(dòng)素質(zhì)教育的發(fā)展。直到今天，他的教育思想仍然閃爍著時(shí)代的價(jià)值之光，并滲透在我們的數(shù)學(xué)教育理論中，對(duì)于數(shù)學(xué)教育實(shí)踐與發(fā)展給予了相當(dāng)大的借鑒與幫助。

[1]楊啟亮，儒、墨、道教學(xué)傳統(tǒng)比較及其對(duì)現(xiàn)代教學(xué)的啟示[J].南京師范大學(xué)學(xué)報(bào)（社科版），2002，23（4）:78-79.

[2]鄭毓信，中國(guó)學(xué)習(xí)者的悖論[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2001，10（1）:22.

[3]馬忠林等.教學(xué)教育史簡(jiǎn)編[M].南寧：廣西教育出版社，1991:63-68.

[5]宋曉平，儒家教育思想與中國(guó)數(shù)學(xué)教育傳統(tǒng)[J]，甘肅高師學(xué)報(bào)，2006，29（3）:77.