王浩

把三視圖列為初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的必學(xué)內(nèi)容也是這一輪課改中一個突出的亮點.由于教師自身的知識結(jié)構(gòu)（多數(shù)教師沒有學(xué)過機械制圖）和缺乏教學(xué)經(jīng)驗等原因，如何落實好課標中規(guī)定的關(guān)于三視圖教學(xué)的各項目標，很多教師都感到困難.本文就三視圖教學(xué)的意義，三視圖的概念、畫法及應(yīng)用等方面的教學(xué)，談?wù)剛€人的一些經(jīng)驗和體會.

一、正確認識三視圖教學(xué)的意義

三視圖作為“圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容之一，它與其他“圖形與幾何”的內(nèi)容一樣，在培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和發(fā)展空間想象能力方面有著重要的作用.且三視圖教學(xué)中這方面的作用表現(xiàn)為這樣的一種特性：讓學(xué)生逐步適應(yīng)、并學(xué)會三維與二維的空間形式的轉(zhuǎn)換.

三視圖是設(shè)計者與制作者之間相互溝通交流的一種不可替代的語言.如設(shè)計人員要把他設(shè)計的一個螺帽毛坯形狀、尺寸要求告訴工人，把螺帽毛坯畫成如圖1那樣的立體圖. 此圖雖然很有立體感，但仍然無法把螺帽毛坯的底面、側(cè)面是怎樣的幾何圖形、中間的圓孔與整個毛坯有怎樣的位置關(guān)系等說清楚. 只有用圖2那樣的三視圖，才能清楚地說明螺帽外形是一個正六棱柱，正中位置有一個上下穿透的圓柱形的孔.也正因為三視圖的這種獨特功能，使它在人們生產(chǎn)、生活實踐中有著廣泛的應(yīng)用.

也許有人認為三視圖的內(nèi)容太專業(yè)化，質(zhì)疑作為基礎(chǔ)教育的數(shù)學(xué)教學(xué)的必學(xué)內(nèi)容是否合適？對此我們還需從我國教育事業(yè)的發(fā)展來認識，近幾年來我國職業(yè)教育有了迅速的發(fā)展，升入職業(yè)高中的學(xué)生與普通高中學(xué)生比例已經(jīng)達45.06∶54.94（2013年數(shù)據(jù)）.三視圖這部分內(nèi)容對升入職業(yè)高中的許多學(xué)生來說則是十分重要的基礎(chǔ)課程，從這個角度來看，把三視圖列為初中數(shù)學(xué)的必學(xué)內(nèi)容也是我國教育事業(yè)發(fā)展新格局的需要.

我們在教學(xué)中應(yīng)努力使學(xué)生認識學(xué)習三視圖的重要性，這樣就能調(diào)動學(xué)生學(xué)習三視圖的積極性.

二、正確解讀三視圖的概念

在這輪課程改革的初期，不少教材把三視圖解釋成人們觀察物體時，從正面、上面、左面三個不同方向看到的圖形，這種說法是不正確的. 這種模糊解釋給學(xué)生畫三視圖、識讀三視圖帶來許多困難.

用正投影來定義三視圖才是唯一正確的方法. 同樣都從同一個方向去觀察一個圓柱體，不同的人觀察到的圖形可能是不同的，而當圓柱體與投影面的相對位置確定的情況下，圓柱體在投影面上的正投影則是唯一確定的，這可以通過實驗來驗證，如圖3.

同樣也只有用物體在正投影面、側(cè)投影面、水平投影面上的正投影，并在把三個投影面旋轉(zhuǎn)展平（如圖4）后所得的平面圖形來定義三視圖，才能得到. 使學(xué)生理解畫三視圖的基本法則：長對正，高平齊，寬相等.在這輪課改的初期不少教材連這條畫三視圖的基本法則都沒有給出.

在講解三視圖概念時必須講清楚以下三點：

（1）每一個視圖分別是物體在哪一個投影面上的正投影.

（2）三個視圖的相對位置，如圖4.值得注意的是有些教輔讀物、甚至是中考題把三個視圖畫在同一水平線上（如圖5），這會對學(xué)生正確理解三視圖的概念造成負面的影響.

（3）圖4中三個視圖的相對位置是要符合“長對正，高平齊，寬相等”的畫法法則.

講視圖的概念必然要涉及空間點、線、面的位置關(guān)系，對這些關(guān)系應(yīng)采用實驗、實例等合情推理的方法使學(xué)生認同. 切忌用像立體幾何中那樣嚴格的推理方法.例如，我們可以用電線桿與地面的位置關(guān)系的實例來幫助學(xué)生認識投射線與投影面的垂直，而不去追究直線與平面垂直的定義.

增加一些辨認三視圖與視圖之間點、線、面之間對應(yīng)關(guān)系的訓(xùn)練，對理解三視圖的概念是很有幫助的.

案例1 ?一個幾何體和它的三視圖如圖6.請完成下面的填空：

（1） 幾何體中棱B1B2，A1B1在主視圖中的正投影分別是 ? ? ? ? ? 、 ? ? ? ? ? .

（2）幾何體中棱A2D2在主視圖、俯視圖、左視圖中的正投影分別是 ? ? ? ? ? 、 ? ? ? ? ? ?、 ? ? ? ? ? .

（3） 幾何體中側(cè)面B1C1C2B2在主視圖、俯視圖、左視圖中的正投影分別是 ? ? ? ? ? 、 ? ? ? ? ? ?、

.

（4）主視圖中矩形PQKJ是幾何體中側(cè)面

的正投影，正投影為左視圖中矩形的邊XS的幾何體的面是 ? ? ? ? ? ?.

（5）三視圖中與線段SU相等的線段是 ? ? ? ? ? .

三、掌握畫三視圖、識讀三視圖的關(guān)鍵

正確理解三視圖的正投影本質(zhì)，搞清三個視圖之間的關(guān)系，以及它們與實物之間的對應(yīng)關(guān)系是正確畫三視圖，識讀三視圖的關(guān)鍵所在.講解這些關(guān)系要著重講清以下兩個方面.

（1）尺寸關(guān)系：也就是要遵循“長對正、高平齊、寬相等”.

（2）方位關(guān)系：方位關(guān)系指的是每個視圖的上、下、左、右，分別表示物體的哪一個方位.具體的說：主視圖的上、下表示物體的上、下，主視圖的左、右表示物體的左、右;俯視圖的上、下表示物體的后、前，俯視圖的左、右表示物體的左、右;左視圖的上、下表示物體的上、下，左視圖的左、右表示物體的后、前，如圖7所示.endprint

案例2 ? 用一個過兩條母線的平面截一個圓柱所得幾何體如圖8.請畫出三視圖，并在三視圖上標出相應(yīng)尺寸.

分析：畫三視圖通常先選一個合適的主視方向，選取的依據(jù)是如何使主視圖、俯視圖簡明、易畫. 本題可選圖8中的正視的方向為主視方向，那么俯視圖就是和幾何體底面相同的一個弓形.由立體圖中的尺寸可得這個弓形弦所對的圓心角為120°，這樣就很容易畫出俯視圖.畫出俯視圖后，根據(jù)“長對正、高平齊、寬相等”就可依次畫出主視圖、左視圖.

解 ? 所求三視圖如圖9.

注意：左視圖矩形的水平方向的邊長應(yīng)畫成和俯視圖弓形的高相等.

案例3 ?由若干個單位立方體壘成的一個幾何體的三視圖如圖10.請描述這個幾何體的形狀，嘗試畫出立體示意圖.

解 ?由主視圖、左視圖，知這個幾何體有三層.由俯視圖，知底層有3個小立方體.由主視圖、左視圖，知這個幾何體中間位置靠前有兩層，第二層有一個小立方體，右邊位置靠后有三層，第二、三層各有一個小立方體，畫出立體示意圖，如圖11.

從上例可以看到，搞清各個視圖與實物之間的方位關(guān)系是十分重要的.

為了更好地培養(yǎng)學(xué)生畫三視圖、識讀三視圖的能力，我們還可以進行一些補畫三視圖的訓(xùn)練.

案例4 ?已知一個幾何體的主視圖和俯視圖如圖12，請根據(jù)已知視圖想象幾何體的可能形狀，并按照你的想象補畫左視圖.

這是一道開放題，它含了畫三視圖和識讀三視圖的兩方面的訓(xùn)練，它既能幫助學(xué)生熟練掌握三視圖的畫圖法則和三視圖與物體的方位關(guān)系，又能培養(yǎng)學(xué)生豐富的想象力，且富有趣味.有意思的是教師給出的答案大多如圖13，而學(xué)生給出的答案有六、七種之多，如圖14等.

在三視圖的教學(xué)中我們還可以增加一些實用性很強的案例，讓學(xué)生感受三視圖的魅力.

案例5 ?一家緊固件進出口公司收到國外一家公司訂購球頭螺栓的一份訂單，訂單中附上該螺栓的三視圖（這里省略了左視圖）如圖15，制作的材料是不銹鋼，訂數(shù)為180000枚，該進出口公司接單后考慮到今后托運等環(huán)節(jié)的需要，要估算一下這批貨物的總質(zhì)量是多少？你能幫助該公司完成立這項任務(wù)嗎？怎樣完成？

分析：根據(jù)國外客商所給的圖紙，我們可以判斷這批螺栓的上部是球被一個平面截得的部分（叫做球缺），可以從網(wǎng)上查出它的體積計算公式是V= （3r2+h2）（r表示球缺的底面半徑，h表示球缺的高），下部是一個圓柱.這樣我們就可以求出每一個螺栓的體積，再查出所用材料不銹鋼的密度約7.8g/cm3，于是就可以算出每個螺栓的質(zhì)量，繼而估計出整批貨物的總質(zhì)量.

解 ?由視圖，知螺栓的上部是球缺，球缺的底面半徑r=15mm，高h=4mm.球缺的體積V= （3r2+h2）= （3×152+42）= （mm3）.下部圓柱的底面半徑r=5mm，高h=40mm，圓柱的體積V=πhr2=40×52×π=1000π.（ +1000π）÷1000×7.8÷1000×180000≈6442.7（kg）.也就是這批貨物總質(zhì)量約為6442.7kg.endprint