唐國(guó)維 張 巖 王苫社 李井輝

(1.東北石油大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院，黑龍江 大慶 163318；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，哈爾濱 150001)

從傅里葉分析到小波分析再到多尺度幾何分析(Multiscale Geometric Analysis，MGA)，多年來(lái)數(shù)學(xué)工作者和信號(hào)處理專家一直試圖尋找更有效的信號(hào)表示和分析方法。在過(guò)去的幾十年中，小波分析的快速發(fā)展和成熟無(wú)疑使信號(hào)處理工作達(dá)到了一次高潮，其應(yīng)用領(lǐng)域也迅速?gòu)臄?shù)學(xué)、信號(hào)處理拓展到物理、天文、地理、生物及化學(xué)等學(xué)科。盡管如此，研究者們也發(fā)現(xiàn)，由于小波變換只能反映信號(hào)的零維奇異性，即只能表達(dá)奇異點(diǎn)的位置和特性，而對(duì)于更高維的特征則顯得力不從心。另外，由于小波變換核為各向同性(isotropy)，因而只能表達(dá)圖像過(guò)邊緣的特性，無(wú)法表達(dá)圖像沿邊緣的特性。因此小波在表示具有點(diǎn)奇異性的函數(shù)時(shí)是最優(yōu)基，但是對(duì)于自然圖像而言，小波基并不是最優(yōu)基[1]。

約十年前，出現(xiàn)了一門嶄新的信號(hào)分析工具——多尺度幾何分析[2]。多尺度幾何分析包括一系列的方法，主要有：Candès E J和Donoho D于1998年提出的脊波變換(Ridgelet Transform)、1999年提出的單尺度脊波變換(Monoscale Ridgelet Transform)和Curvelet變換，Pennec E L和Mallat S于2000年提出的Bandelet變換及Do M N和Vetterli M于2002年提出的Contourlet變換等。其中，Contourlet變換是一種基于多分辨率多方向的幾何分析方法，能夠較好地捕捉圖像本身所特有的幾何特性[3]，其基本思想是首先利用一個(gè)類似于小波的多尺度分解捕捉邊緣奇異點(diǎn)，再根據(jù)方向信息將臨近的奇異點(diǎn)連接成輪廓，且使用一個(gè)系數(shù)表示。但由于變換中使用了LP變換，使得Contourlet變換本身并不適合直接用于圖像編碼等處理。

為解決Contourlet變換中的冗余問(wèn)題，Eslami R和Radha H提出了基于小波的Contourlet變換(Wavelet-Based Contourlet Transform，WBCT)[4]。該方法去除了LP濾波器結(jié)構(gòu)引入的數(shù)據(jù)冗余，形成了非冗余且完全重構(gòu)的濾波器組，能夠有效地逼近圖像。相比于Contourlet，WBCT更適合于圖像壓縮。但是，WBCT在進(jìn)行方向分解的時(shí)，為避免能量流失，對(duì)最低頻子帶未進(jìn)行方向分解；而對(duì)高頻子帶，采取不同子帶方向分解數(shù)目固定的分解方式，沒(méi)有充分考慮圖像本身的特性。特別是高頻子帶通常包含大量細(xì)節(jié)信息，這給編碼等后續(xù)操作帶來(lái)直接影響。因此筆者提出一種基于熵的WBCT自適應(yīng)方向分解優(yōu)化算法，在對(duì)圖像進(jìn)行L級(jí)小波完全分解的基礎(chǔ)上，對(duì)i(1≤i≤L)級(jí)高頻子帶進(jìn)行2L-i+1個(gè)方向分解，然后分析各子帶不同方向分解數(shù)目時(shí)熵的變化情況，并根據(jù)最小熵原則給出各個(gè)子帶的最優(yōu)方向分解數(shù)目。

1 基于小波的Contourlet變換①

Contourlet變換是在Curvelet變換的基礎(chǔ)上提出的一種多分辨率、多方向、局域的幾何分析方法，由于變換中使用了LP變換，在處理高頻信息時(shí)沒(méi)有進(jìn)行下采樣操作，導(dǎo)致Contourlet存在1/3的冗余。為此，Eslami R和Radha H提出了基于小波的Contourlet變換，其基本思想是用小波變換中的Mallat塔式分解代替Contourlet變換中的LP分解，從而消除了Contourlet變換中存在的冗余，這一過(guò)程用可分離的濾波器組實(shí)現(xiàn)。然后用方向?yàn)V波器分別對(duì)Mallat分解中的非LL子帶進(jìn)行卷積處理，以更“稀疏”地表示圖像，這一過(guò)程由不可分離的具有迭代層次結(jié)構(gòu)的扇形濾波器組實(shí)現(xiàn)，其原理如圖1所示。

圖1 WBCT方向分解原理

對(duì)于高頻細(xì)節(jié)部分的方向分解，WBCT采用了與Contourlet相同的方法，即將高頻部分分解于各個(gè)頻帶方向上，每一層頻域分解成2l個(gè)子帶。圖2給出了八方向的頻域子帶分解示意圖，與ω0軸正方向夾角45～135°之間的頻帶稱作第一通道，其余為第二通道。

圖2 楔型頻域子帶分解

圖3 四方向?yàn)V波器組示意圖

WBCT繼承了小波變換和Contourlet變換的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)又彌補(bǔ)了二者的不足，從而更容易捕捉圖像的幾何結(jié)構(gòu)和紋理特性。圖4給出了Babara圖像的DWT系數(shù)和WBCT系數(shù)的對(duì)比，從中可看出Contourlet的方向?yàn)V波對(duì)小波系數(shù)高頻部分的紋理捕捉能力。

圖4 Babara圖像的DWT系數(shù)和WBCT系數(shù)分布

2 基于熵的自適應(yīng)方向優(yōu)化分解

在進(jìn)行方向分解的時(shí)候，考慮到低頻分量的特殊地位，WBCT對(duì)最低頻子帶不進(jìn)行方向分解，而對(duì)高頻子帶采取不同子帶的方向分解數(shù)目固定的分解方式。由于高頻子帶包含豐富的細(xì)節(jié)信息，方向分解數(shù)目合適與否將對(duì)后續(xù)處理(如編碼等)產(chǎn)生較大影響。筆者以PSNR值對(duì)其特性進(jìn)行分析。對(duì)512×512的Babara圖像進(jìn)行4級(jí)小波變換，并對(duì)高頻子帶按不同方向分解數(shù)目進(jìn)行方向分解，然后采用SPECK算法[5]對(duì)其進(jìn)行壓縮處理，并計(jì)算重構(gòu)圖像的PSNR值。表1給出了碼率為0.25b/p時(shí)的PSNR值。

表1 Babara圖像各高頻子帶不同方向分解數(shù)的PSNR值對(duì)比

從表1中可以看出，對(duì)高頻子帶進(jìn)行不同數(shù)目的方向分解，壓縮后其重構(gòu)圖像PSNR值是不同的，因此如何確定高頻子帶最佳方向分解數(shù)目是一個(gè)值得研究的問(wèn)題。理論上可通過(guò)計(jì)算變換域迭代投影過(guò)程中圖像的量化誤差并使其最小而得到，但該方法的實(shí)際操作性差[6]。文獻(xiàn)[7]結(jié)合實(shí)驗(yàn)，給出了如下的方向分解策略：對(duì)原始圖像進(jìn)行L級(jí)小波分解以后，僅在除第L級(jí)和第L-1級(jí)外的各級(jí)小波子帶上進(jìn)行方向分解，且最高分辨率上方向分解數(shù)為2L-1。顯然該方法對(duì)圖像內(nèi)容還考慮得不夠深入。筆者緊密結(jié)合圖像自身特性，從熵的角度對(duì)方向分解數(shù)目進(jìn)行研究。

根據(jù)文獻(xiàn)[8,9]，描述高頻子帶紋理/邊緣特征的一個(gè)重要指標(biāo)是熵。由于Contourlet根據(jù)方向信息將臨近的奇異點(diǎn)連接成輪廓，且使用一個(gè)系數(shù)表示，因此方向分解必然引起子帶熵的變化，而且變化和分解的方向數(shù)目有關(guān)。根據(jù)熵的定義，如果方向分解后小波系數(shù)分布更加有規(guī)律(對(duì)編碼有利)，其熵值必定減小。因此，最佳的方向分解數(shù)應(yīng)使小波子帶的熵達(dá)到最小值。

設(shè)s為經(jīng)Contourlet方向分解后的任一子帶，則定義該方向子帶的熵如下：

Es=-∑p(i)log2p(i)

(1)

其中，p(i)為像素灰度值為i的概率，p(i)=ni/ns，ni為灰度值為i的像素?cái)?shù)目，ns為子帶s的像素總數(shù)。當(dāng)對(duì)小波子帶進(jìn)行不同數(shù)目的方向分解時(shí)，其熵值發(fā)生變化。熵值變大，表明有輪廓被打散；熵值變小，則表明有系數(shù)被合并成為輪廓。為此，對(duì)某一小波高頻子帶S，若其方向分解數(shù)目為2d，d=0,1,2,…，則定義該小波子帶的平均熵為：

(2)

其中，Es(s=1,2，…，2d)為Contourlet方向分解后的各子帶熵。則基于熵的Contourlet方向分解優(yōu)化過(guò)程如下：

a. 小波子帶完全方向分解，即假定對(duì)圖像進(jìn)行L級(jí)小波變換，則對(duì)第i(1≤i≤L)級(jí)高頻子帶確定其首次方向分解數(shù)為2L-i+1；

b. 確定最佳方向分解數(shù)；

c. 對(duì)所有高頻小波子帶均進(jìn)行步驟b的處理。

假設(shè)對(duì)某一小波子帶S進(jìn)行2j個(gè)方向分解，步驟b的具體方法為：

3 方向分解和壓縮實(shí)驗(yàn)

3.1 方向分解實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證上述算法的有效性，選取512×512的標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像Boat進(jìn)行方向分解實(shí)驗(yàn)。小波基選取D9/7雙正交小波基，分解級(jí)數(shù)L=4?？紤]到pkva濾波器在定位邊緣方向上更加有效，因此在進(jìn)行方向分解時(shí)采用pkva濾波器取代扇形濾波器以減少方向間的交互信息。按照式(1)計(jì)算得到小波分解各高頻子帶的熵見(jiàn)表2。

表2 Boat圖像小波分解后各高頻子帶的熵

對(duì)各小波高頻子帶采取不同的方向分解數(shù)進(jìn)行方向分解，并按式(2)計(jì)算每個(gè)小波子帶不同方向分解數(shù)時(shí)的平均熵，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3，并按最小熵原則確定最佳方向分解數(shù)目。

表3 Boat圖像各高頻子帶不同方向分解數(shù)時(shí)的平均熵

表4 Boat圖像兩種算法下各子帶的方向分解數(shù)

圖5給出了根據(jù)原始WBCT和筆者改進(jìn)的算法進(jìn)行的實(shí)際方向分解的情況，后者系數(shù)分布規(guī)律更加合理，更有利于后續(xù)進(jìn)一步編碼處理。

3.2 圖像編碼壓縮實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證方向分解的合理性，選取Boat等6幅常用標(biāo)準(zhǔn)圖像，采用SPECK算法對(duì)方向分解后的圖像進(jìn)行壓縮處理，并計(jì)算其重構(gòu)圖像的PSNR值(表5)?？梢钥闯?，與原始WBCT算法方向分解數(shù)目固定相比，筆者提出的最優(yōu)方向分解數(shù)算法可以明顯提高重構(gòu)圖像的峰值信噪比。

圖5 Boat圖像兩種算法方向分解情況對(duì)比表5 采用SPECK算法壓縮后不同碼率下的PSNR值

圖像1.00b·p-10.50b·p-10.25b·p-10.10b·p-1WBCT筆者算法WBCT筆者算法WBCT筆者算法WBCT筆者算法Boat36.4337.1832.4033.9329.2829.5826.2326.35Baboon28.7329.3025.8126.1923.8124.1022.3322.47Man33.9534.8530.7431.4428.3828.8725.9026.23Goldhill34.8835.1031.8832.0529.4029.5326.8827.09Plant37.6338.5933.5934.2730.2930.8726.8227.10Peppers35.6636.4633.0634.0930.8431.7627.7028.13

4 結(jié)束語(yǔ)

Contourlet變換將小波的優(yōu)點(diǎn)延伸到高維空間，具有多分辨率、局部化及各向異性等優(yōu)良特性，是一種真正意義上的圖像二維表示方法。筆者針對(duì)基于小波的Contourlet方向分解沒(méi)有考慮子帶內(nèi)系數(shù)分布特性的問(wèn)題，提出基于熵的子帶方向分解優(yōu)化算法，使得各方向子帶內(nèi)部的局部相關(guān)性加強(qiáng)，而子帶間相關(guān)性減弱，這對(duì)提高圖像的壓縮比是至關(guān)重要的。通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以看出，重構(gòu)圖像的峰值信噪比得到有效提高，這說(shuō)明筆者將熵作為方向分解的依據(jù)是正確的。

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