趙 玲，劉小峰，婁 路（.重慶交通大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院 重慶，400074）（.重慶大學(xué)機(jī)械傳動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 重慶，400044）

復(fù)小波分解聯(lián)合SVD提取振動信號非平穩(wěn)特征*

趙 玲1，劉小峰2，婁 路1
（1.重慶交通大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院 重慶，400074）（2.重慶大學(xué)機(jī)械傳動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 重慶，400044）

針對齒輪箱故障信號的多分量多頻調(diào)制特點(diǎn)，提出了一種基于奇異值分解的最優(yōu)小波解調(diào)技術(shù)。首先，采用小波變換的最小Shannon熵作為時(shí)間尺度分辨率的度量指標(biāo)，將其應(yīng)用到Morlet分析小波的參數(shù)優(yōu)化選擇中；其次，對常規(guī)小波參數(shù)選擇方法進(jìn)行了改進(jìn)，利用奇異值分解技術(shù)對最優(yōu)小波變化尺度進(jìn)行了迭代搜索。該方法可以很好地降低噪聲信號，有效提取信號中的周期成分，具有較好的瞬態(tài)信息提取能力。試驗(yàn)結(jié)果也表明了該方法在齒輪箱故障特征提取中的重要性以及降噪方法的有效性。

奇異值分解；連續(xù)小波變換；參數(shù)選擇；特征提取

引 言

利用振動信號的診斷方法是故障診斷技術(shù)中最有效的方法之一。設(shè)備早期故障信號包含尖峰、突變的非平穩(wěn)信號，還可能包含非平穩(wěn)的白噪聲，這些是信號的高頻部分［1-2］。受到設(shè)備運(yùn)行環(huán)境、電磁干擾和采樣儀器的限制，采集到的數(shù)據(jù)中不可避免地含有噪聲。由于信號中包含的故障信息一般較弱，常淹沒在噪聲信號中，所以必須對信號進(jìn)行消噪處理，需要在消除噪聲所表現(xiàn)的高頻量的同時(shí)，保留反映信號突變部分的高頻量。

解析小波變換是一種特殊的連續(xù)小波變換，其小波參數(shù)的選擇非常靈活，在低頻段具有細(xì)致的信號刻畫能力，可以有效分析信號內(nèi)部分量的相位和包絡(luò)幅值［3-5］。對于強(qiáng)噪聲背景下的微弱突變信號的提取采用常規(guī)的解析小波變換去噪方法就顯得有些困難，需要對分析小波的參數(shù)進(jìn)行最優(yōu)化的選擇［6］。筆者采用奇異值分解技術(shù)聯(lián)合復(fù)解析小波解調(diào)法可實(shí)現(xiàn)良好的降噪效果并提取出有效成分進(jìn)行診斷分析。

1 奇異值分解的基本理論

奇異值分解（singular value decomposition，簡稱SVD）是非線性濾波方法，廣泛應(yīng)用于信號的降噪和檢測。它從矩陣的角度出發(fā)，將包含信號信息的矩陣分解為一系列奇異值以及奇異值矢量對應(yīng)的時(shí)頻子空間，在信號處理和統(tǒng)計(jì)學(xué)等領(lǐng)域有重要應(yīng)用［7］。奇異值分解具有理想的去相關(guān)特性?；赟VD的信號分析方法可以對信號進(jìn)行重構(gòu)，較好分離出有用信號的特征信息，在故障診斷領(lǐng)域已有成功應(yīng)用。

設(shè)A為M×N階矩陣，矩陣A可表示為

其中：U為M×M階正交矩陣；V為N×N階正交矩陣；D=diag（σ1，σ2，σ3，…σn）為M×N階對角矩陣，D的對角元素σi稱為矩陣A的奇異值，且σ1≥σ2≥…≥σM≥0（M＜N）。

由于D為對角陣，因此SVD可以將一個(gè)秩為r 的m×n階矩陣D表示為r個(gè)秩為1的m×n階子矩陣之和。每個(gè)子矩陣由兩個(gè)特征向量（矩陣U和矩陣V）和權(quán)值相乘得到，即式（1）可表示為

其中：r為矩陣A的秩，上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置；ui為矩陣AAT的第i個(gè)特征向量；vi為矩陣ATA的第i個(gè)特征向量；Ai為包含ui和vi的子矩陣；uivTi為單秩M×N階矩陣，表示矩陣的第i個(gè)特征圖像，它們形成一個(gè)正交基，可用來重建矩陣A。

若設(shè)矩陣ATA或AAT的特征值為λi，可以證明

由于奇異值是按數(shù)值從大到小順序排列的，所以前面幾個(gè)特征值作用最大。如果矩陣A的秩為r（r＞0），那么A存在著r個(gè)正的奇異值，即σr＞0，σr+1，…，σM=0。如果矩陣A為滿秩M，則所有的奇異值都不為零。

式（2）表明，矩陣A經(jīng)過SVD變成一系列的子矩陣Ai和其對應(yīng)的奇異值σi（反映該子矩陣包含信息的多少），也就是將矩陣分解成相互正交的子空間，從而將矩陣包含的信息分解到不同的子矩陣中。在實(shí)際應(yīng)用中，若A表示時(shí)頻信息，那么對應(yīng)的ui和vi分別表示頻率和時(shí)間信息。通常而言，對式（2）的應(yīng)用是根據(jù)有效的奇異值個(gè)數(shù)k得到A的估計(jì)值?A，從而實(shí)現(xiàn)信號的降噪和有用信號的提?。?-9］，即

2 復(fù)解析小波解調(diào)法

復(fù)解析小波變換是一種特殊的連續(xù)小波變換，其小波參數(shù)的選擇非常靈活，在低頻段具有細(xì)致的信號刻畫能力，可以有效分析信號內(nèi)部分量的相位和包絡(luò)幅值。由于Morlet小波具有良好的時(shí)頻局部化能力，解析小波變換通常采用Morlet作為分析小波［10］。Morlet小波函數(shù)的表達(dá)式為

其中：σ為正實(shí)數(shù)，它決定小波時(shí)域和頻域的寬度，控制小波形狀的參數(shù)；ω0也為一正實(shí)數(shù)，它確定了小波的衰減振蕩頻率。

將φ（t）伸縮平移后得到一個(gè)子波簇，即

其中：a為尺度參數(shù)；b為位置參數(shù)。

設(shè)s（t）為能量有限信號，關(guān)于小波函數(shù)φ（t）的連續(xù)小波變換為

其中：φ*（t）為φ（t）的復(fù)共軛；s（ω）和φ（ω）分別為s（t）和φ（t）的傅里葉變換。

式（7）相當(dāng)于利用帶通濾波器φ（2πaf）對s（t）進(jìn)行帶通，該濾波器的中心頻率和帶寬是隨尺度變化而變化。小波變換的系數(shù)Cs（a，b）為復(fù)函數(shù)，即

其中

在尺度a下s（t）分量幅值為

小波包絡(luò)解調(diào)譜為

其中：FFT為快速傅里葉變換。

算法流程圖如圖1所示。

圖1 復(fù)解析小波解調(diào)法Fig.1 Complex analytical wavelet demodulation

3 小波參數(shù)優(yōu)化選擇

機(jī)械測試中許多特征信號表現(xiàn)為瞬態(tài)的沖擊信號，Morlet小波函數(shù)為平方指數(shù)衰減的余弦信號，其波形與沖擊信號十分相像，非常適于這類信號的檢測。筆者采用最小Shannon熵方法和奇異值分解技術(shù)相結(jié)合來設(shè)計(jì)最佳的Morlet小波及變換尺度a。

在信號檢測及故障診斷中，希望能夠突出特征成分抑制無關(guān)成分，這種情況下的參數(shù)選擇需要使基小波與特征成分盡量相似，通常采用“稀疏性（sparse）”作為相似程度的評價(jià)，認(rèn)為使小波變換后的系數(shù)矩陣最稀疏的小波函數(shù)與信號最相似。最小Shannon熵就是一種很好“稀疏性”評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)［11］。

（p1，p2，…pn）為一不確定的概率分布，根據(jù)這一理論，最不確定的概率分布（等概率分布）具有最大的熵值；同時(shí)，概率分布越接近這種等概率分布，其熵值也就越大，Shannon熵值的大小反映了概率分布的均勻性。如果把小波變換的系數(shù)處理成一個(gè)概率分布序列，由它計(jì)算得到的熵值就反映了這個(gè)系數(shù)矩陣的稀疏程度，這種熵稱作小波熵。因此，當(dāng)小波熵最小時(shí)對應(yīng)的基小波就是與特征成分最匹配的小波。在一定的范圍內(nèi)變化σ，選擇使得信號小波熵最小的σ，a作為最優(yōu)值，從而確定了與信號特征成分十分相似的最佳Morlet小波，此方法就是基于Shannon小波熵的參數(shù)選擇方法。

通過最小Shannon熵標(biāo)準(zhǔn)確定了基小波的形狀參數(shù)σ，而小波濾波的頻率響應(yīng)是同時(shí)隨著基小波ψ（t）的形狀參數(shù)σ和尺度參數(shù)變化而變化的。參數(shù)a控制著小波濾波的頻帶范圍，通過選取適當(dāng)?shù)腶，就可以很好地提取含噪信號中的周期沖擊信號。

假設(shè)一個(gè)周期信號X=［x1，…，xl］的周期為n，將信號X按如下矩陣重新排列，矩陣的每一行恰好包含一個(gè)周期的數(shù)據(jù)

其中

由于矩陣X有m個(gè)重復(fù)的行且矩陣的秩為1，因此信號僅有一個(gè)非0的奇異值σ1和m-1個(gè)0奇異值。

假設(shè)一個(gè)含噪聲的周期信號X=［x1，…，xl］，其周期仍然為n，由于噪聲信號的幅值是隨時(shí)間變化而不規(guī)則變化的，可按式（13）的方式重新排列成M1×N1的矩陣，矩陣的每一行包括N1個(gè)序列。由于噪聲的影響，矩陣的秩為滿秩m，并且當(dāng)N1=n時(shí)，奇異值σ1為最大，即比率

也最大。因此，可用δN1來評價(jià)信號的周期性，從而計(jì)算出最佳尺度參數(shù)a。

計(jì)算出基小波的最佳形狀參數(shù)σ和尺度參數(shù)a后，就可以按式（11）得到信號的小波包絡(luò)解調(diào)譜。

4 試驗(yàn)分析

在齒輪箱故障診斷中，齒輪、軸或滾動軸承發(fā)生故障時(shí)，往往會出現(xiàn)以齒輪所在軸的轉(zhuǎn)頻或滾動軸承通過頻率為調(diào)制頻率的調(diào)制邊頻帶，應(yīng)用解調(diào)分析就可以提取出調(diào)制頻率，分析其強(qiáng)度和頻次就可以判斷齒輪箱的故障部位和損傷程度［12］。據(jù)此，下面采用本研究方法對低速齒輪上存在磨損故障的齒輪箱振動信號進(jìn)行分析。

圖2為齒輪傳動故障檢測試驗(yàn)裝置。齒輪箱為兩級變速，低速部分嚙合齒輪的齒數(shù)比為41∶37，大齒輪所在軸的轉(zhuǎn)速為600 r/min，計(jì)算出齒輪的嚙合頻率為410 Hz，大齒輪所在軸的轉(zhuǎn)頻為10.0 Hz，小齒輪所在軸的轉(zhuǎn)頻為11.081 Hz。通過安裝在箱體表面上的加速度傳感器，用30 k Hz的采樣頻率測得的變速箱Ⅱ檔運(yùn)行時(shí)的振動信號如圖3所示。為去除高次諧波的影響，模擬濾波器上限截止頻率為3 k Hz。

圖2 試驗(yàn)裝置及故障齒輪Fig.2 Experimental installation and the gear

圖3 振動信號時(shí)域波形Fig.3 Wave of the vibration signals

首先，采用最小Shannon熵方法確定出最優(yōu)morlet小波的形狀參數(shù)為σ=470。然后，初始化一個(gè)尺度變化范圍a∈［1，32］，利用奇異值分解技術(shù)確定最佳變換尺度a，變化步長為0.1，當(dāng)式（14）表示的值為最大時(shí)的a即為最佳尺度值，通過計(jì)算得出當(dāng)尺度a=6.1，比率δN1最大，此時(shí)能更好地提取信號的周期沖擊信號。確定了形狀參數(shù)a和變換尺度β后，就可以對信號進(jìn)行濾波消噪處理。去噪后的故障信號如圖4所示，信號的信噪比提高21.2％，其去噪效果相當(dāng)明顯。

圖4 去噪后的振動信號時(shí)域波形Fig.4 Wave of the signals after noise reduction

尺度為a=6.1時(shí)分解出的為最優(yōu)小波系數(shù)包絡(luò)幅值譜如圖5所示。進(jìn)行解調(diào)分析并細(xì)化得到最優(yōu)小波系數(shù)的解調(diào)細(xì)化譜如圖6所示。

圖5 最優(yōu)小波系數(shù)的包絡(luò)幅值譜Fig.5 Envelop spectrum of optimal wavelet coefficient

圖6 最優(yōu)小波系數(shù)解調(diào)細(xì)化譜Fig.6 Detailed spectrum of optimal wavelet coefficient

圖6中的主頻成分為小齒輪所在軸的轉(zhuǎn)頻11.093 Hz（與理論值11.081 Hz非常接近）及其倍頻22.174 Hz。結(jié)合頻譜分析的結(jié)果可斷定是小齒輪出現(xiàn)了磨損或斷齒故障，事實(shí)上本試驗(yàn)裝置中軸2上的小齒輪確實(shí)出現(xiàn)了磨損缺陷。采用本研究方法得到的齒輪故障診斷結(jié)果與事實(shí)是相符合的，進(jìn)而驗(yàn)證了該方法的可行性。

5 結(jié)束語

齒輪出現(xiàn)故障時(shí)，振動信號表現(xiàn)為多分量調(diào)制特征，復(fù)解析小波變換具有自適應(yīng)帶通濾波能力，能夠靈活地選擇變化尺度分離出故障分量所在的頻段并進(jìn)行解調(diào)分析。筆者提出的復(fù)解析最優(yōu)小波的解調(diào)方法對分析小波參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化選擇，可以很好地降低噪聲信號，有效提取信號中周期成分，具有較好的瞬態(tài)信息提取能力，能準(zhǔn)確捕捉到信號的故障信息。試驗(yàn)驗(yàn)證了采用本研究方法提取出的齒輪故障信號的邊帶結(jié)構(gòu)更加清晰，提高了齒輪故障診斷的準(zhǔn)確性。

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TH115；TP395.02

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.04.012

趙玲，女，1979年11月生，博士、副教授。主要研究方向?yàn)樾盘柼幚?、設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測與診斷。曾發(fā)表《Fault diagnosis method based on fractal theory and application in wind power systems》（《Journal of China Ordnance》2012，No.3）等論文。

E-mail：zhao.ling@163.com

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61304104）；重慶市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（cstc2015jcyj A0540）

2013-05-13；

2013-07-30