桑桂

摘 要：高中物理解決問題的方法主要基于高中數(shù)學(xué)，亦即用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法來描述物理情景。函數(shù)思想、方程思想是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在高中物理教學(xué)中，許多問題從函數(shù)與方程的角度研究比較簡(jiǎn)單。本文以勻變速直線運(yùn)動(dòng)、類平拋運(yùn)動(dòng)、力學(xué)、電功率、電磁場(chǎng)中的幾個(gè)案例來闡明這一觀點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：函數(shù)思想；方程思想；高中物理

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2014）12（S）-0028-4

初中物理和高中物理的相同之處是都基本涵蓋了經(jīng)典物理學(xué)的各個(gè)分支，即力、電、光、熱、磁。它們的不同之處在于初中物理形象化，從物理現(xiàn)象中總結(jié)物理規(guī)律；高中物理抽象化，主要從理論上推導(dǎo)理解物理規(guī)律，較初中物理更加嚴(yán)密。尤其是數(shù)學(xué)方法在物理學(xué)中的應(yīng)用更為突出，成為高考物理考察的五個(gè)基本能力之一。本文主要從勻變速直線運(yùn)動(dòng)、類平拋運(yùn)動(dòng)、力學(xué)、電磁場(chǎng)、電功率的基本內(nèi)容和個(gè)別案例的角度說明高中數(shù)學(xué)中函數(shù)思想和方程思想在高中物理中的應(yīng)用。

1 方程思想在勻變速直線運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用

在一個(gè)確定的勻變速直線運(yùn)動(dòng)中，涉及到5個(gè)基本的物理量，其中狀態(tài)量是初速度v0，末速度vt，時(shí)間t，位移S，加速度a。

在勻變速直線運(yùn)動(dòng)中由這5個(gè)物理量可以根據(jù)其意義每四個(gè)物理量列一個(gè)等式，由排列組合知識(shí)得到可以列5個(gè)方程。我們將方程一一列出。

①速度隨時(shí)間的變化vt=v0+at

②位移隨時(shí)間的變化S=v0t+ at2

③位移與速度的關(guān)系v -v =2aS

④平均速度公式表示位移：S= t

⑤逆向看勻變速直線運(yùn)動(dòng)S=vtt- at2

在這五個(gè)方程中，課本中從函數(shù)的角度給出了前三個(gè)方程，分別是速度隨時(shí)間的變化，位移隨時(shí)間的變化，位移與速度的關(guān)系。將這三個(gè)方程看做函數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)這三個(gè)方程的共同的物理量是初速度v0和加速度a。這也是勻變速直線運(yùn)動(dòng)的初始條件，根據(jù)牛頓的經(jīng)典物理學(xué)，初始條件確定了，之后的運(yùn)動(dòng)形式就確定了，但沒有將末狀態(tài)確定，故只確定了上述三個(gè)變化關(guān)系。從方程的角度看，五個(gè)物理量完全將勻變速直線運(yùn)動(dòng)的一個(gè)過程確定了。那么，根據(jù)上述五個(gè)方程，只要已知三個(gè)物理量，就可直接將剩余的兩個(gè)物理量求出來。

例1 （山西省2014-2015年度高三第二次診斷物理試題）“自由落體機(jī)”是一種使人體驗(yàn)超重和失重的巨型娛樂器械，一個(gè)可乘十多人的環(huán)形座艙套在豎直柱子上，由升降機(jī)送上幾十米的高處，然后讓座艙自由下落（加速度可看作g），落到一定位置時(shí)，制動(dòng)加速度大小為a，到達(dá)地面時(shí)剛好停止。若已知開始下落時(shí)座艙離地高度為h，求：

①其在下落過程中的最大速度v；

②其在整個(gè)下落過程經(jīng)歷的時(shí)間t。

分析 升降機(jī)的下落過程分為兩個(gè)過程，屬于單物體多過程問題，前一個(gè)過程為自由落體運(yùn)動(dòng)，后一個(gè)過程為勻減速直線運(yùn)動(dòng)。前一個(gè)過程知道了初速度為0，加速度為g，后一個(gè)過程加速度大小為a，末速度為0。根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，只要知道三個(gè)物理量就確定了整個(gè)過程，故設(shè)拐點(diǎn)速度（即前一個(gè)過程的末速度，后一個(gè)過程的初速度）為v，這樣用v和已知量就可以表示整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程的任意一個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)的物理量。題目告訴了全過程的位移h，據(jù)此列方程。求出v之后，再求時(shí)間t。

解：① + =h，

得： v= 。

② + =t，

得：t= 。

2 方程思想在類平拋運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用

類平拋運(yùn)動(dòng)涉及到的物理量有7個(gè)，初速度v0，加速度a，沿加速度方向的速度v⊥，時(shí)間t，沿初速度方向位移x，沿加速度方向位移y，速度偏向角θ，

①沿初速度方向：

x=v0t

②沿加速度方向：

v⊥=at，y= at2，v⊥=

③沿初速度方向和沿加速度方向的關(guān)系

=tanθ， = 。

若要確定平拋或類平拋的軌跡，就要知道初始條件，知道時(shí)間，就是確定了沿初速度方向和沿加速度方向具體的運(yùn)動(dòng)形式。所以，根據(jù)上述方程可以得知，每個(gè)式子都含有三個(gè)物理量。其實(shí)，只要知道三個(gè)物理量，平拋運(yùn)動(dòng)的7個(gè)物理量就都可求出來。但是，對(duì)于已知的三個(gè)物理量要求有限制條件，即這三個(gè)物理量要分布在①、②、③的至少兩個(gè)方面，因?yàn)橹挥羞@樣才可以將沿加速度和沿初速度方向的運(yùn)動(dòng)形式確定了，即確定了類平拋的軌跡。

例2 （2013上海高考試題） 如圖1，轟炸機(jī)沿水平方向勻速飛行，到達(dá)山坡底端正上方時(shí)釋放一顆炸彈，并垂直擊中山坡上的目標(biāo)A。已知A點(diǎn)高度為h，山坡傾角為θ，由此可算出（ ）

A.轟炸機(jī)的飛行高度

B.轟炸機(jī)的飛行速度

C.炸彈的飛行時(shí)間

D.炸彈投出時(shí)的動(dòng)能

解析 此題直接或間接告訴的平拋的物理量有重力加速度g，水平位移x，速度偏向角 -θ，符合平拋運(yùn)動(dòng)的三個(gè)物理量，且能確定平拋軌跡，由于不知質(zhì)量，故本題選A、B、C。

圖1 案例2示意圖

3 函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用

函數(shù)思想體現(xiàn)了一個(gè)變量隨另一個(gè)變量的變化關(guān)系，可用來解決求解某個(gè)物理量的范圍或極值。在這類問題中要注意先找到自變量，求出自變量的范圍即定義域，然后找出應(yīng)變量與自變量的關(guān)系，中間可能會(huì)用若干個(gè)變量去傳遞，相當(dāng)于函數(shù)中的復(fù)合函數(shù)。寫出函數(shù)的解析式之后，就可以求出因變量的值域或極值。下面以一道力學(xué)習(xí)題和一道電磁場(chǎng)習(xí)題說明函數(shù)思想在高中物理解題中的應(yīng)用。

例3 （2013山東高考理綜試題）如圖2所示，一質(zhì)量m=0.4 kg的小物塊，以V0=2 m/s的初速度，在與斜面成某一夾角的拉力F作用下，沿斜面向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)t=2 s的時(shí)間物塊由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，A、B之間的距離L=10 m。已知斜面傾角θ=30°，物塊與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ= 。重力加速度g取10 m/s2。

①求物塊加速度的大小及到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小。

②拉力F與斜面的夾角多大時(shí)，拉力F最?。坷的最小值是多少？

圖2 案例3示意圖

分析 第①問根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)的條件，已知初速度、位移、時(shí)間三個(gè)物理量，可根據(jù)位移與時(shí)間關(guān)系，速度與時(shí)間關(guān)系求出加速度、速度。

第②問中問拉力F與斜面的夾角多大時(shí)，求拉力最小。說明拉力隨夾角變化，從函數(shù)的角度講，只要找出F與夾角的關(guān)系，夾角的范圍即定義域，然后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)去求極小值即可。

解 ①設(shè)物塊加速度的大小為a，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小為v，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得

L=v0t+ at2（1）

v=v0+at（2）

聯(lián)立（1）（2）得，

a=3 m/s2 （3）

v=8 m/s（4）

②設(shè)物塊所受支持力為FN，所受摩擦力為Ff，拉力與斜面間的夾角為α，受力分析如圖3所示，由牛頓第二定律得

圖3 案例3物塊受力分析示意圖

Fcosα-mgsinθ-Ff=ma（5）

Fsinα+FN-mgcosθ=0（6）

又Ff=μFN（7）

聯(lián)立（5）（6）（7）式得

F= （8）

由數(shù)學(xué)知識(shí)得

cosα+ sinα= sin（60°+α）（9）

由（8）（9）式可知對(duì)應(yīng)F最小的夾角為

α=30°（10）

聯(lián)立（3）（8）（10）式，代入數(shù)據(jù)得F的最小值為Fmin= N

例4 如圖4所示，在直角坐標(biāo)系xOy的第Ⅱ象限整個(gè)區(qū)域內(nèi)，存在著沿y軸負(fù)方向、場(chǎng)強(qiáng)大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)。在第Ⅳ象限整個(gè)區(qū)域內(nèi)存在著方向垂直于xOy平面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。從電場(chǎng)中P（-L，2L）、Q（-L， ）兩點(diǎn)連線上各處，沿x軸正方向同時(shí)射入許多質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，結(jié)果所有粒子都從坐標(biāo)原點(diǎn)O進(jìn)入磁場(chǎng)。不計(jì)粒子的重力及粒子之間的相互作用，求：

圖4 案例4示意圖

①粒子從射入到全部通過O點(diǎn)所用的時(shí)間t0。

②這些粒子從x軸上射出磁場(chǎng)時(shí)，所經(jīng)過區(qū)域的寬度Δd。

分析 所有粒子在電場(chǎng)中的加速度相同，做類平拋運(yùn)動(dòng)。故粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間取決于沿加速度方向的位移。因此，粒子從射入到全部通過O點(diǎn)所用的時(shí)間t0等于P點(diǎn)的粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。

這些粒子射出磁場(chǎng)時(shí)，與x軸有交點(diǎn)，形成區(qū)域的寬度Δd，這說明粒子打在x軸上的位置不同。引起位置不同的原因是進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小和方向不同。速度的大小和方向不同，是因?yàn)樵陔妶?chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不同，由此可得求，即求出O點(diǎn)到射出磁場(chǎng)時(shí)的位置的距離的d最大值和最小值之差。所以求的范圍是關(guān)鍵。而上述分析得出d隨時(shí)間變化，所以可寫出d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式，求出t的范圍即定義域，然后求值域。

解 ①粒子從射入到全部通過O點(diǎn)所用的時(shí)間t0 等于P點(diǎn)的粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)。

Eq=ma（1）

2L= at （2）

聯(lián)立（1）、（2），解之得

t0=2

②設(shè)某一粒子的初速度為v0，到O點(diǎn)時(shí)沿加速度方向的速度為v⊥，速度為v與x軸的夾角為θ，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，O點(diǎn)到出磁場(chǎng)的出射點(diǎn)的距離為d。

在磁場(chǎng)中，洛倫茲力提供向心力

Bqv=m （3）

由幾何關(guān)系得：

d=2rsinθ（4）

=sinθ（5）

v⊥=at（6）

聯(lián)立（1）（3）（4）（5）（6）得：d=2 t。

由第①問知，t的取值范圍為

≤t≤2 ，

故Δd=dmax-dmin= 。

4 利用函數(shù)圖像與方程的關(guān)系解決有關(guān)小燈泡伏安特性曲線的問題

例5 圖5甲所示為一個(gè)電燈兩端電壓與通過它的電流的變化關(guān)系曲線。由圖可知，兩者不成線性關(guān)系，這是由于焦耳熱使燈絲的溫度發(fā)生了變化的緣故，參考這條曲線回答下列問題（不計(jì)電流表內(nèi)阻，線路提供電壓不變）：

①若把三個(gè)這樣的電燈串聯(lián)后，接到電壓恒定為12 V的電路上，求流過燈泡的電流和每個(gè)燈泡的電阻；

②如圖5乙所示，將兩個(gè)這樣的電燈并聯(lián)后再與10 Ω的定值電阻R0串聯(lián)，接在電壓恒定為8 V的電路上，求通過電流表的電流值以及每個(gè)燈的實(shí)際功率。

甲 乙

圖5 案例5示意圖

分析 此類問題是利用函數(shù)圖像與方程的關(guān)系求解。題目給定了小燈泡的伏安特性曲線，相當(dāng)于知道了I與U的一個(gè)方程，但我們不知道它的具體表達(dá)式，所以用I=f（U）來表示。然后再根據(jù)閉合電路的歐姆定律，列I與U的方程。把第二個(gè)方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，在圖像中作函數(shù)圖像。根據(jù)高中數(shù)學(xué)兩函數(shù)的圖像的交點(diǎn)等于對(duì)應(yīng)方程組的解。在圖像中讀出I與U的坐標(biāo)，然后去求電阻、功率等電學(xué)量。

解 ①三個(gè)燈泡串聯(lián)到電壓恒定為12 V的電路上，每個(gè)燈泡電壓U=4 V，由圖5甲得I=0.4 A。根據(jù)歐姆定律得R= =10 Ω。

②設(shè)流過燈泡的電流為I，每個(gè)燈泡兩端的電壓為U。則IR0+2U=U1，且U1=8 V。在坐標(biāo)系中作I=-0.2U+0.8的圖像，與I=f（U）的圖像相交，則交點(diǎn)的坐標(biāo)就是I、U的解。I=0.32 A，U=2.2 V。則P=UI=0.70 V。

根據(jù)以上所涉及的問題，可知高中數(shù)學(xué)的方程、函數(shù)的思想在高中物理計(jì)算題中的應(yīng)用很廣泛。學(xué)生若深刻理解了數(shù)學(xué)函數(shù)，方程思想，將其應(yīng)用到物理計(jì)算中，對(duì)于數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系，必然會(huì)深入理解，對(duì)于學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)的提高將更有幫助。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：人民教育出版社，2003.

（欄目編輯 李富強(qiáng)）

①求物塊加速度的大小及到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小。

②拉力F與斜面的夾角多大時(shí)，拉力F最?。坷的最小值是多少？

圖2 案例3示意圖

分析 第①問根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)的條件，已知初速度、位移、時(shí)間三個(gè)物理量，可根據(jù)位移與時(shí)間關(guān)系，速度與時(shí)間關(guān)系求出加速度、速度。

第②問中問拉力F與斜面的夾角多大時(shí)，求拉力最小。說明拉力隨夾角變化，從函數(shù)的角度講，只要找出F與夾角的關(guān)系，夾角的范圍即定義域，然后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)去求極小值即可。

解 ①設(shè)物塊加速度的大小為a，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小為v，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得

L=v0t+ at2（1）

v=v0+at（2）

聯(lián)立（1）（2）得，

a=3 m/s2 （3）

v=8 m/s（4）

②設(shè)物塊所受支持力為FN，所受摩擦力為Ff，拉力與斜面間的夾角為α，受力分析如圖3所示，由牛頓第二定律得

圖3 案例3物塊受力分析示意圖

Fcosα-mgsinθ-Ff=ma（5）

Fsinα+FN-mgcosθ=0（6）

又Ff=μFN（7）

聯(lián)立（5）（6）（7）式得

F= （8）

由數(shù)學(xué)知識(shí)得

cosα+ sinα= sin（60°+α）（9）

由（8）（9）式可知對(duì)應(yīng)F最小的夾角為

α=30°（10）

聯(lián)立（3）（8）（10）式，代入數(shù)據(jù)得F的最小值為Fmin= N

例4 如圖4所示，在直角坐標(biāo)系xOy的第Ⅱ象限整個(gè)區(qū)域內(nèi)，存在著沿y軸負(fù)方向、場(chǎng)強(qiáng)大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)。在第Ⅳ象限整個(gè)區(qū)域內(nèi)存在著方向垂直于xOy平面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。從電場(chǎng)中P（-L，2L）、Q（-L， ）兩點(diǎn)連線上各處，沿x軸正方向同時(shí)射入許多質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，結(jié)果所有粒子都從坐標(biāo)原點(diǎn)O進(jìn)入磁場(chǎng)。不計(jì)粒子的重力及粒子之間的相互作用，求：

圖4 案例4示意圖

①粒子從射入到全部通過O點(diǎn)所用的時(shí)間t0。

②這些粒子從x軸上射出磁場(chǎng)時(shí)，所經(jīng)過區(qū)域的寬度Δd。

分析 所有粒子在電場(chǎng)中的加速度相同，做類平拋運(yùn)動(dòng)。故粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間取決于沿加速度方向的位移。因此，粒子從射入到全部通過O點(diǎn)所用的時(shí)間t0等于P點(diǎn)的粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。

這些粒子射出磁場(chǎng)時(shí)，與x軸有交點(diǎn)，形成區(qū)域的寬度Δd，這說明粒子打在x軸上的位置不同。引起位置不同的原因是進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小和方向不同。速度的大小和方向不同，是因?yàn)樵陔妶?chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不同，由此可得求，即求出O點(diǎn)到射出磁場(chǎng)時(shí)的位置的距離的d最大值和最小值之差。所以求的范圍是關(guān)鍵。而上述分析得出d隨時(shí)間變化，所以可寫出d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式，求出t的范圍即定義域，然后求值域。

解 ①粒子從射入到全部通過O點(diǎn)所用的時(shí)間t0 等于P點(diǎn)的粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)。

Eq=ma（1）

2L= at （2）

聯(lián)立（1）、（2），解之得

t0=2

②設(shè)某一粒子的初速度為v0，到O點(diǎn)時(shí)沿加速度方向的速度為v⊥，速度為v與x軸的夾角為θ，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，O點(diǎn)到出磁場(chǎng)的出射點(diǎn)的距離為d。

在磁場(chǎng)中，洛倫茲力提供向心力

Bqv=m （3）

由幾何關(guān)系得：

d=2rsinθ（4）

=sinθ（5）

v⊥=at（6）

聯(lián)立（1）（3）（4）（5）（6）得：d=2 t。

由第①問知，t的取值范圍為

≤t≤2 ，

故Δd=dmax-dmin= 。

4 利用函數(shù)圖像與方程的關(guān)系解決有關(guān)小燈泡伏安特性曲線的問題

例5 圖5甲所示為一個(gè)電燈兩端電壓與通過它的電流的變化關(guān)系曲線。由圖可知，兩者不成線性關(guān)系，這是由于焦耳熱使燈絲的溫度發(fā)生了變化的緣故，參考這條曲線回答下列問題（不計(jì)電流表內(nèi)阻，線路提供電壓不變）：

①若把三個(gè)這樣的電燈串聯(lián)后，接到電壓恒定為12 V的電路上，求流過燈泡的電流和每個(gè)燈泡的電阻；

②如圖5乙所示，將兩個(gè)這樣的電燈并聯(lián)后再與10 Ω的定值電阻R0串聯(lián)，接在電壓恒定為8 V的電路上，求通過電流表的電流值以及每個(gè)燈的實(shí)際功率。

甲 乙

圖5 案例5示意圖

分析 此類問題是利用函數(shù)圖像與方程的關(guān)系求解。題目給定了小燈泡的伏安特性曲線，相當(dāng)于知道了I與U的一個(gè)方程，但我們不知道它的具體表達(dá)式，所以用I=f（U）來表示。然后再根據(jù)閉合電路的歐姆定律，列I與U的方程。把第二個(gè)方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，在圖像中作函數(shù)圖像。根據(jù)高中數(shù)學(xué)兩函數(shù)的圖像的交點(diǎn)等于對(duì)應(yīng)方程組的解。在圖像中讀出I與U的坐標(biāo)，然后去求電阻、功率等電學(xué)量。

解 ①三個(gè)燈泡串聯(lián)到電壓恒定為12 V的電路上，每個(gè)燈泡電壓U=4 V，由圖5甲得I=0.4 A。根據(jù)歐姆定律得R= =10 Ω。

②設(shè)流過燈泡的電流為I，每個(gè)燈泡兩端的電壓為U。則IR0+2U=U1，且U1=8 V。在坐標(biāo)系中作I=-0.2U+0.8的圖像，與I=f（U）的圖像相交，則交點(diǎn)的坐標(biāo)就是I、U的解。I=0.32 A，U=2.2 V。則P=UI=0.70 V。

根據(jù)以上所涉及的問題，可知高中數(shù)學(xué)的方程、函數(shù)的思想在高中物理計(jì)算題中的應(yīng)用很廣泛。學(xué)生若深刻理解了數(shù)學(xué)函數(shù)，方程思想，將其應(yīng)用到物理計(jì)算中，對(duì)于數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系，必然會(huì)深入理解，對(duì)于學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)的提高將更有幫助。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：人民教育出版社，2003.

（欄目編輯 李富強(qiáng)）

①求物塊加速度的大小及到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小。

②拉力F與斜面的夾角多大時(shí)，拉力F最?。坷的最小值是多少？

圖2 案例3示意圖

分析 第①問根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)的條件，已知初速度、位移、時(shí)間三個(gè)物理量，可根據(jù)位移與時(shí)間關(guān)系，速度與時(shí)間關(guān)系求出加速度、速度。

第②問中問拉力F與斜面的夾角多大時(shí)，求拉力最小。說明拉力隨夾角變化，從函數(shù)的角度講，只要找出F與夾角的關(guān)系，夾角的范圍即定義域，然后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)去求極小值即可。

解 ①設(shè)物塊加速度的大小為a，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小為v，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得

L=v0t+ at2（1）

v=v0+at（2）

聯(lián)立（1）（2）得，

a=3 m/s2 （3）

v=8 m/s（4）

②設(shè)物塊所受支持力為FN，所受摩擦力為Ff，拉力與斜面間的夾角為α，受力分析如圖3所示，由牛頓第二定律得

圖3 案例3物塊受力分析示意圖

Fcosα-mgsinθ-Ff=ma（5）

Fsinα+FN-mgcosθ=0（6）

又Ff=μFN（7）

聯(lián)立（5）（6）（7）式得

F= （8）

由數(shù)學(xué)知識(shí)得

cosα+ sinα= sin（60°+α）（9）

由（8）（9）式可知對(duì)應(yīng)F最小的夾角為

α=30°（10）

聯(lián)立（3）（8）（10）式，代入數(shù)據(jù)得F的最小值為Fmin= N

例4 如圖4所示，在直角坐標(biāo)系xOy的第Ⅱ象限整個(gè)區(qū)域內(nèi)，存在著沿y軸負(fù)方向、場(chǎng)強(qiáng)大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)。在第Ⅳ象限整個(gè)區(qū)域內(nèi)存在著方向垂直于xOy平面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。從電場(chǎng)中P（-L，2L）、Q（-L， ）兩點(diǎn)連線上各處，沿x軸正方向同時(shí)射入許多質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，結(jié)果所有粒子都從坐標(biāo)原點(diǎn)O進(jìn)入磁場(chǎng)。不計(jì)粒子的重力及粒子之間的相互作用，求：

圖4 案例4示意圖

①粒子從射入到全部通過O點(diǎn)所用的時(shí)間t0。

②這些粒子從x軸上射出磁場(chǎng)時(shí)，所經(jīng)過區(qū)域的寬度Δd。

分析 所有粒子在電場(chǎng)中的加速度相同，做類平拋運(yùn)動(dòng)。故粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間取決于沿加速度方向的位移。因此，粒子從射入到全部通過O點(diǎn)所用的時(shí)間t0等于P點(diǎn)的粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。

這些粒子射出磁場(chǎng)時(shí)，與x軸有交點(diǎn)，形成區(qū)域的寬度Δd，這說明粒子打在x軸上的位置不同。引起位置不同的原因是進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小和方向不同。速度的大小和方向不同，是因?yàn)樵陔妶?chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不同，由此可得求，即求出O點(diǎn)到射出磁場(chǎng)時(shí)的位置的距離的d最大值和最小值之差。所以求的范圍是關(guān)鍵。而上述分析得出d隨時(shí)間變化，所以可寫出d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式，求出t的范圍即定義域，然后求值域。

解 ①粒子從射入到全部通過O點(diǎn)所用的時(shí)間t0 等于P點(diǎn)的粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)。

Eq=ma（1）

2L= at （2）

聯(lián)立（1）、（2），解之得

t0=2

②設(shè)某一粒子的初速度為v0，到O點(diǎn)時(shí)沿加速度方向的速度為v⊥，速度為v與x軸的夾角為θ，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，O點(diǎn)到出磁場(chǎng)的出射點(diǎn)的距離為d。

在磁場(chǎng)中，洛倫茲力提供向心力

Bqv=m （3）

由幾何關(guān)系得：

d=2rsinθ（4）

=sinθ（5）

v⊥=at（6）

聯(lián)立（1）（3）（4）（5）（6）得：d=2 t。

由第①問知，t的取值范圍為

≤t≤2 ，

故Δd=dmax-dmin= 。

4 利用函數(shù)圖像與方程的關(guān)系解決有關(guān)小燈泡伏安特性曲線的問題

例5 圖5甲所示為一個(gè)電燈兩端電壓與通過它的電流的變化關(guān)系曲線。由圖可知，兩者不成線性關(guān)系，這是由于焦耳熱使燈絲的溫度發(fā)生了變化的緣故，參考這條曲線回答下列問題（不計(jì)電流表內(nèi)阻，線路提供電壓不變）：

①若把三個(gè)這樣的電燈串聯(lián)后，接到電壓恒定為12 V的電路上，求流過燈泡的電流和每個(gè)燈泡的電阻；

②如圖5乙所示，將兩個(gè)這樣的電燈并聯(lián)后再與10 Ω的定值電阻R0串聯(lián)，接在電壓恒定為8 V的電路上，求通過電流表的電流值以及每個(gè)燈的實(shí)際功率。

甲 乙

圖5 案例5示意圖

分析 此類問題是利用函數(shù)圖像與方程的關(guān)系求解。題目給定了小燈泡的伏安特性曲線，相當(dāng)于知道了I與U的一個(gè)方程，但我們不知道它的具體表達(dá)式，所以用I=f（U）來表示。然后再根據(jù)閉合電路的歐姆定律，列I與U的方程。把第二個(gè)方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，在圖像中作函數(shù)圖像。根據(jù)高中數(shù)學(xué)兩函數(shù)的圖像的交點(diǎn)等于對(duì)應(yīng)方程組的解。在圖像中讀出I與U的坐標(biāo)，然后去求電阻、功率等電學(xué)量。

解 ①三個(gè)燈泡串聯(lián)到電壓恒定為12 V的電路上，每個(gè)燈泡電壓U=4 V，由圖5甲得I=0.4 A。根據(jù)歐姆定律得R= =10 Ω。

②設(shè)流過燈泡的電流為I，每個(gè)燈泡兩端的電壓為U。則IR0+2U=U1，且U1=8 V。在坐標(biāo)系中作I=-0.2U+0.8的圖像，與I=f（U）的圖像相交，則交點(diǎn)的坐標(biāo)就是I、U的解。I=0.32 A，U=2.2 V。則P=UI=0.70 V。

根據(jù)以上所涉及的問題，可知高中數(shù)學(xué)的方程、函數(shù)的思想在高中物理計(jì)算題中的應(yīng)用很廣泛。學(xué)生若深刻理解了數(shù)學(xué)函數(shù)，方程思想，將其應(yīng)用到物理計(jì)算中，對(duì)于數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系，必然會(huì)深入理解，對(duì)于學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)的提高將更有幫助。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：人民教育出版社，2003.

（欄目編輯 李富強(qiáng)）