白 晶

（南京市第一中學，江蘇 南京 210001）

1 感應(yīng)電流的方向也就是感生電場的方向嗎？

圖1

人教社普通高中課程標準實驗教科書《物理》選修3－2第4章“電磁感應(yīng)”第5節(jié)“電磁感應(yīng)現(xiàn)象的兩類情況”中有這樣一段表述：“假定導體中的自由電荷是正電荷，它們定向移動的方向就是感應(yīng)電流的方向，也就是感生電場的方向.”［1］這段表述是基于教材中的插圖（如圖1）描述的物理情景：一個閉合電路（圖中圓環(huán)所示）靜止于磁場中，磁場變化時在空間激發(fā)感生電場，閉合電路中產(chǎn)生了感應(yīng)電流.

感應(yīng)電流的方向也就是感生電場的方向嗎？用簡單的例子就可以說明.假設(shè)有一隨時間增強的勻強磁場，在其中位置A處分別放置一閉合導體框，如圖2所示.根據(jù)楞次定律判斷導體框中有逆時針方向的電流，A處的電流方向是向上的，如圖中箭頭所示.改變閉合電路的位置，如圖3，導體框中仍然是逆時針電流，A處的感應(yīng)電流方向卻是向下的，如圖中箭頭所示.而某時刻A處的感生電場方向只能有一個，不會因為閉合電路的位置變化而變化.

圖3

即使對于教材中給出的圖1所示的閉合電路，其感應(yīng)電流的方向也不一定就是感生電場的方向.由于圖1給出的閉合電路是圓環(huán)狀，學生容易產(chǎn)生如下的誤解：認為感生電場的電場線就一定是一組同心圓的形狀.感生電場是渦旋電場，但一定是如同心圓的形狀分布嗎？由法拉第電磁感應(yīng)定律可得

（1）式右邊曲面S的法線方向應(yīng)選得與左邊的曲線L的積分方向成右手螺旋關(guān)系，表明感生電場是渦旋場，但是積分路徑上某處感生電場的方向是怎樣的呢？舉例說明如下：在一圓形截面的筒狀區(qū)域內(nèi)有空間均勻的時變磁場，見圖4中的虛線圓內(nèi)部.根據(jù)（1）式和磁場邊界條件的對稱性，取與截面圓同心的圓周回路（如圖4中實線圓）作積分路徑，可以證明筒狀區(qū)域內(nèi)外的感生電場方向沿圓上各點的切線方向.［2］若將圖4中的磁場改為矩形截面的筒狀區(qū)域分布，見圖5中的虛線框內(nèi)部，積分路徑選與截面中心同心的圓形回路（如圖5中實線圓），可以證明此感生電場的電場線一定不是圓，圖中圓上各點的感生電場方向也不是沿該點的切向方向.［3］感生電場的分布受磁場邊界條件的影響.感生電場線是同心圓的情況是在很苛刻的對稱性條件得到滿足后才能得到的特例.

圖4

圖5

感應(yīng)電流的方向與閉合回路的形狀、閉合回路在感生電場中的位置有關(guān).而感生電場的存在不依賴于閉合電路的有無，所以無論怎樣分布的感生電場，其方向與其中閉合電路的感應(yīng)電流方向一定都沒有必然聯(lián)系.

本節(jié)教材在課后“思考與練習”中有這樣的習題（教材中第2題）：［1］

如圖6（甲），100匝的線圈（圖中只畫了2匝）兩端A、B與一個電壓表相連.線圈內(nèi)有指向紙內(nèi)方向的磁場，線圈中的磁通量在按圖6（乙）所示的規(guī)律變化.

（1）電壓表的讀數(shù)應(yīng)該等于多少？

（2）請在線圈位置上標出感應(yīng)電場的方向.

（3）（略）

圖6

該題第2問要求在線圈位置上標出感生電場的方向.由于已知條件沒有給出磁場的邊界條件，因此不能確定感生電場的分布情況，不能判斷線圈上某點的感生電場方向.由于回路確定，感應(yīng)電流的方向是可以判斷的.建議將本題中“感應(yīng)電場的方向”改為“感應(yīng)電流的方向”.

2 有感生電場存在時，電壓表該怎樣測量電路中的電勢差？

下面討論該習題的第1問，問電壓表的讀數(shù)是多少.該題命題的原意應(yīng)該是將圖6（甲）中右側(cè)的線圈看成電源，電壓表測量A、B兩端的電壓，認為電壓表的讀數(shù)等于電路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢.應(yīng)當指出的是，即使是理想電壓表，其讀數(shù)實際上和閉合電路產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢在數(shù)值上也是有差別的.原因在于，本題的感應(yīng)電動勢是由感生電場引起的，感生電場不僅存在于磁場區(qū)域，而且存在于磁場區(qū)域之外.磁場區(qū)域之外的電路也會產(chǎn)生感應(yīng)電動勢.將圖6（甲）中線圈缺口標記為CD，如圖7所示，線圈缺口CD左側(cè)的電路也存在感應(yīng)電動勢.

圖7

圖8

整個回路的感應(yīng)電動勢設(shè)為E，CD右側(cè)部分電路的感應(yīng)電動勢設(shè)為E1，電阻設(shè)為R1，CD左側(cè)部分電路的感應(yīng)電動勢設(shè)為E2，電阻設(shè)為R2，則圖7的等效電路如圖8所示（電阻未標出）.電壓表的讀數(shù)為CD兩端的電壓設(shè)為UCD.

對于理想電壓表，有

比較（3）式和（4）式可以看出，磁場區(qū)域外的部分電路產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢影響了電壓表的讀數(shù).鑒于教材中這道習題的命題意圖，不妨分析一下如何減小這種影響.

圖9

設(shè)在一圓形截面的筒狀區(qū)域內(nèi)有空間均勻的時變磁場，如圖9所示，截面邊界上放置一含有缺口AB的圓形導體線框，圓心為O.在磁場區(qū)域外將另一部分導體ACB接入AB缺口.

磁場外區(qū)域中ACB部分電路的感應(yīng)電動勢E感可以用下面的式子計算，

圖10

由（1）式和（5）式可以得出，ACB部分電路產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢大小與扇形OAMB的面積成正比.若在磁場區(qū)域外將另一部分導體ADB接入AB缺口，如圖10，則ADB部分電路產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢大小與扇形OANB的面積成正比.兩者之所以會有不同，因為感生電場的線積分不僅跟始末位置有關(guān)，還與積分路徑有關(guān).

以上分析雖然基于一個特例，但可以推測，對感生電場中電路的電勢差進行測量和計算時，電路連接電壓表的接線方式會影響測量結(jié)果.另外可以發(fā)現(xiàn)在圖7的電路中，可通過減小線圈缺口CD的間距，來減小磁場外區(qū)域的部分電路產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢的影響.

1 普通高中課程標準實驗教科書物理選修3-2（第3版）［M］.北京：人民教育出版社，2010：19－21.

2 梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學［M］.北京：高等教育出版社，1980：380－384.

3 毛全寧，周雨青.應(yīng)該重視感生（渦旋）電場的方向性教學［J］.物理與工程，2013，23（6）：12－14.