柏露枝 姚文友

（北郊高級中學(xué)，江蘇 常州 213031）

有關(guān)研究表明，雨滴在空中下落的過程中，速度v較小時(shí)，雨滴受到空氣阻力f與下落的速度v成正比，即f＝kv；速度v較大時(shí)，雨滴受到空氣阻力f與下落速度v的二次方成正比，即f＝kv2.對此，筆者對雨滴在重力和空氣阻力作用下下落加速度隨時(shí)間變化的圖像進(jìn)行了研究.

1 雨滴下落速度較小的過程

雨滴下落速度較小時(shí)，雨滴受到的阻力f＝kv.根據(jù)牛頓第二定律有mg－f＝ma，即

此式兩邊對時(shí)間求導(dǎo)

對此式兩邊積分，并代入初始條件t＝0時(shí)，a＝g得

由圖可見，雨滴下落速度較小時(shí)f＝kv，下落加速度隨時(shí)間的增大呈指數(shù)衰減，且加速度隨時(shí)間的變化率越來越小.

圖1

2 雨滴下落速度較大的過程

雨滴下落速度較大時(shí)，雨滴受到的阻力f＝kv2.根據(jù)牛頓第二定律有

此式兩邊對時(shí)間求導(dǎo)

圖2

圖3

因此，在雨滴下落速度較大的過程中，雨滴加速度隨時(shí)間的變化圖像，如圖3所示.由圖像可見，雨滴下落的加速度隨時(shí)間而單調(diào)減小，但是加速度隨時(shí)間的變化率先增大后減小.

將（1）式兩邊對v求導(dǎo)得

復(fù)習(xí)資料中有這樣一道題：已知雨滴在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)所受空氣阻力f＝kr2v2，其中k為比例系數(shù)，r為雨滴半徑，v為其運(yùn)動(dòng)速率.t＝0時(shí)，雨滴由靜止開始下落，加速度用a表示.落地前雨滴已做勻速運(yùn)動(dòng)，速率為v0.下列圖像（圖4）中不正確的是

圖4

原答案：（D），此題出處很多，而且都認(rèn)為雨滴下落過程受到空氣阻力與下落速度的二次方成正比時(shí)，加速度隨時(shí)間的變化圖像都如圖4（A）.通過上述的分析可見，雨滴下落過程受到空氣阻力與速度的一次方成正比，雨滴下落加速度隨時(shí)間按指數(shù)衰減，即雨滴下落加速度圖像如圖1；雨滴下落過程受到空氣阻力與下落速度的二次方成正比，雨滴下落加速度隨時(shí)間的變化率先增大后減小，即雨滴下落加速度圖像如圖3.顯然，“聯(lián)考”中的圖像（A）對雨滴下落受阻力與速度的一次方成正比是正確的，而對阻力與速度的二次方成正比就是錯(cuò)誤的.此問題應(yīng)引起大家的注意.