何春生

(北京市第八十中學(xué)　北京　100102)

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一種證明引力大小與質(zhì)量乘積成正比的數(shù)學(xué)方法*

何春生

(北京市第八十中學(xué)北京100102)

若z=k1x，z=k2y，兩式相乘可得z2=k1k2xy．貌似可以得到z2與xy的乘積成正比．可在高中物理教材上，在行星與太陽間引力大小的推導(dǎo)中，由圓周運(yùn)動知識、開普勒定律和牛頓第三定律得出：引力大小與行星質(zhì)量成正比，與太陽的質(zhì)量成正比，可結(jié)論卻是引力大小與它們質(zhì)量的乘積成正比，這是為什么呢？

萬有引力大小成正比牛頓第三定律

1　問題的提出

關(guān)于萬有引力大小，現(xiàn)行人教版教材《物理·必修2》和教科版教材《物理·必修2》的處理方式幾乎相同．將行星的運(yùn)動軌跡簡化為圓，將行星繞太陽的運(yùn)動簡化為勻速圓周運(yùn)動．認(rèn)為太陽對行星的引力提供行星繞太陽做圓周運(yùn)動的向心力．結(jié)合圓周運(yùn)動和開普勒第三定律，推導(dǎo)出太陽對行星的引力與行星的質(zhì)量成正比，與它們之間的距離的平方成反比．即

(1)

然后指出：從相互作用的角度來看，行星與太陽的地位相同，所以太陽所受的引力也應(yīng)與太陽的質(zhì)量成正比，與它們距離的平方成反比．即

(2)

根據(jù)牛頓第三定律有

F=F′

(3)

所以

(4)

由式(1)、式(2)和式(3)真的能導(dǎo)出式(4)嗎？引力大小與太陽的質(zhì)量成正比，與行星的質(zhì)量也成正比，就一定能證明引力大小與二者質(zhì)量的乘積成正比嗎？

關(guān)于引力和兩天體的質(zhì)量關(guān)系，有學(xué)生做過這樣的推導(dǎo)．設(shè)在r不變的情況下，若將式(1)和式(2)變?yōu)榈仁?，分別表述為

F=k1m

(5)

F′=k2M

(6)

將(5)、(6)兩式相乘可得

F2=k1k2Mm

(7)

從式(7)中不難看出F不是與M，m的乘積成正比，而是F與M，m的乘積的平方根成正比．問題出在哪兒？是萬有引力定律出問題了嗎？

2　錯因分析

該同學(xué)的推導(dǎo)過程貌似合理．但實際上只有當(dāng)k1，k2與M，m無關(guān)，相對M，m獨(dú)立時，他的推導(dǎo)過程才能成立．而k1，k2真的與M，m無關(guān)嗎？

我們回顧一下式(1)推導(dǎo)過程：

若認(rèn)為行星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)向心力公式有

(8)

由根據(jù)開普勒第三定律有

(9)

聯(lián)立(8)、(9)兩式可得

(10)

所以

因為式(9)中k與太陽的質(zhì)量有關(guān)，可見在r不變的情況下，式(5)中k1與M有關(guān)，是M的函數(shù)．同樣的道理，可見在r不變的情況式(6)中k2也與m有關(guān)，是一個關(guān)于m的函數(shù)．所以上述學(xué)生的推導(dǎo)是有問題的．

3　一種解決問題的辦法

在r不變時，可將中心天體對行星的引力大小表述為

F=f1(M)m

(11)

同理也可將行星對中心天體的引力表述為

F′=f2(m)M

(12)

因為F與F′為相互作用力，所以

F=F′

(13)

聯(lián)立式(11)、(12)和(13)可得

又因為當(dāng)m為某一定值時，f2(m)也為定值，所以

f1(M)∝M

代入式(11)，可得F∝Mm

所以在兩物體間距離不變時，萬有引力的大小與兩物體的質(zhì)量乘積成正比，而不是與兩物體質(zhì)量乘積的平方根成正比．

同樣可以看出在兩天體間距離不變時，萬有引力大小與兩天體的質(zhì)量乘積成正比．

2016-02-29)

*北京市中小學(xué)名師發(fā)展工程首都師范大學(xué)基地成果.