鞠 銀/上海電機(jī)學(xué)院數(shù)理教學(xué)部

MATLAB軟件在微積分教學(xué)中的應(yīng)用

鞠 銀/上海電機(jī)學(xué)院數(shù)理教學(xué)部

微積分課程是高校開設(shè)的重點(diǎn)基礎(chǔ)課程之一，由于其內(nèi)容抽象、枯燥，不少學(xué)生在學(xué)習(xí)微積分的過程中缺乏興趣，以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣同時(shí)提高教學(xué)質(zhì)量為目的，利用MATLAB軟件作圖和數(shù)值計(jì)算的優(yōu)勢，將一些抽象的，不容易理解的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)通過圖形等直觀的方式展示出來，從而來激發(fā)學(xué)生對微積分的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也提高分析和解決問題的能力。

微積分；M atlab；難點(diǎn)；實(shí)例分析

1.問題的提出

隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，世界上涌現(xiàn)了很多計(jì)算軟件，如MATLAB,SSPS,MATHMETICA等，這些軟件的出現(xiàn)為科學(xué)工程計(jì)算注入了活力，也給微積分課程的學(xué)習(xí)帶來了根本的變革。利用MATLAB軟件輔助微積分的教學(xué)將會幫助學(xué)生對一些難點(diǎn)的理解，同時(shí)還能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力。

2.MATLAB在微積分教學(xué)中的實(shí)例分析

2.1 在極限中的應(yīng)用

在微積分中求函數(shù)極限是非常重要的，極限的基本思想就是用無限逼近的方式來研究函數(shù)的變化趨勢。比如重要極限Ⅱ?qū)W(xué)生來說就比較難理解時(shí)，我們可以利用MATLAB中的limit命令來求此函數(shù)極限?？疾旌瘮?shù)f(x)=(1+1/x)x當(dāng)x→∞時(shí)的極限。

＞＞symsx

＞＞y=(1+1/x)^x

＞＞lim it(y,x,inf)

ans=

exp(1)

我們也可以通過繪出函數(shù)的圖形（圖1）來觀察其變化趨勢。x=1:20:1000;y=(1+1./x).^x;p lot(x,y)

通過上述的例子可以學(xué)生直觀的感受到未定式的極限不一定是不存在的。

圖1

2.2 在taylor公式中的應(yīng)用

微積分中的taylor公式是很多學(xué)生認(rèn)為太難理解了，覺得很抽象，其實(shí)taylor公式的思想是用多項(xiàng)式函數(shù)來近似表達(dá)函數(shù)f(x)的，我們可以通過MATLAB軟件強(qiáng)大的函數(shù)圖形描繪讓學(xué)生直觀感受到多項(xiàng)式函數(shù)在一定的范圍和函數(shù)f(x)擬合得非常好。下面考察y=sinx;y=x;,y=x-x3/3!;y=x-x3/3!+x5/5!的圖形特征（圖2），我們發(fā)現(xiàn)這些多項(xiàng)式在一定的范圍可以近似函數(shù)y=sinx,這樣可以讓學(xué)生更好的理解如此抽象的公式。

圖2

2.3 在定積分中的應(yīng)用

定積分的主要思想是“化整為零，積零為整”，實(shí)質(zhì)是和式的極限，其幾何意義是曲邊梯形的面積。要理解這樣一個(gè)概念，我們可以通過MATLAB計(jì)算出當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系（圖3）．這樣更利于學(xué)生理解定積分的定義。

圖3

2.4 在微分方程中的應(yīng)用

在科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理中有些實(shí)際問題，有時(shí)需要列出含有要求的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)所滿足的關(guān)系式，這樣的關(guān)系式就叫做微分方程。我們知道，有大量的常微分方程雖然從理論上講，其解是存在的，但我們卻無法求出其解析解，此時(shí)，我們需要尋求方程的數(shù)值解，在求常微分方程數(shù)值解方面，MATLAB具有非常豐富的函數(shù)，我們將其統(tǒng)稱為solver，其一般格式為：

[T,Y]=solver(odefun,tspan,y0)

如求方程ml t"=mgsin(t)，t(0)=t0,t’(0)=0的數(shù)值解。

不妨取l=1,g=9.8,t(0)=15,則上面方程可化為t"=9.8s in(t), t(0)=15,t’(0)=0

先看看有沒有解析解.運(yùn)行MATLAB代碼：

＞＞c l ea r;

＞＞s=dsolve('D2y=9.8?sin(y)','y(0)=15','Dy(0)=0','t')

＞＞simp l i f y(s)

知原方程沒有解析解.下面求數(shù)值解。令y1=t,y2=t’可將原方程化為如下方程組：

非醫(yī)學(xué)生入校后因?yàn)閷W(xué)校新環(huán)境適應(yīng)能力和挫折承受能力較低而容易導(dǎo)致心理障礙，如因?yàn)楦改敢庠富驅(qū)I(yè)調(diào)配等因素進(jìn)入非醫(yī)學(xué)專業(yè)，不適應(yīng)大學(xué)課堂教育方式，現(xiàn)實(shí)情況與想象的大學(xué)生活產(chǎn)生碰撞，產(chǎn)生失落情緒等。因此做好他們的適應(yīng)性教育，培養(yǎng)學(xué)生的心理素質(zhì)，我們需要通過形式多樣的群體活動，讓學(xué)生表達(dá)想法，對他們加深了解，掌握思想狀況，對極個(gè)別的偏執(zhí)學(xué)生要加大感情投入，重點(diǎn)關(guān)注家庭困難的學(xué)生，要經(jīng)常深入到學(xué)生生活中，到寢室和他們談心，多關(guān)心、多指導(dǎo)。

建立M文件fun2.m如下：

％M文件f u n 2.m

functionf=fun2(t,y)

f=[y(2),9.8?sin(y(1))]';

運(yùn)行MATLAB代碼：

＞＞c lear;c lose;

＞＞[t,y]=ode45('fun2',[0,10],[15,0]);

＞＞xlabel('t'),ylabel('y1')

圖4

結(jié)果見圖4；由圖4可見，t隨時(shí)間周期變化。

由以上介紹的幾個(gè)應(yīng)用不難看出，運(yùn)用MATLAB軟件的符號運(yùn)算及繪圖功能可以使我們比較容易的掌握所學(xué)微積分知識，在微積分的教學(xué)過程中,把抽象的數(shù)學(xué)概念與現(xiàn)代科技手段適當(dāng)相結(jié)合,無疑是一種行之有效的教學(xué)輔助方法,有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,又提高了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和計(jì)算機(jī)技術(shù)分析和解決實(shí)際問題的能力.

[1]同濟(jì)大學(xué)編，高等數(shù)學(xué)(第五版)[M]北京:高等教育出版社,2007.[2].

[2]孫祥徐流美吳清編著，MATLAB7.0基礎(chǔ)教程[M]清華大學(xué)出版社，2005.[1].