靳寶霞/廣西科技大學鹿山學院

線性代數(shù)在實際生活中應用實例

靳寶霞/廣西科技大學鹿山學院

線性代數(shù)理論有著悠久的歷史和豐富的內(nèi)容。隨著科學技術的發(fā)展，特別是電子計算機使用的日益普遍，作為重要的數(shù)學工具之一，線性代數(shù)的應用已經(jīng)深入到了自然科學、社會科學、工程技術、經(jīng)濟、管理等各個領域。但是對于剛接觸線性代數(shù)的大多數(shù)學生而言，仍然感到其理論比較枯燥，不知道學習線性代數(shù)到底能用到生活中的哪些地方，本文將舉出幾個其在實際生活中的例子來展示線性代數(shù)應用的廣泛性，同時也能更好的加深學生對知識點的理解。

線性代數(shù)； 矩陣； 方程組

1 交通問題

四個城市的單向航線圖如下

2 藥方配置問題

問題：某中藥廠用九種中草藥（A-I）根據(jù)不同的比例配制成了7中特效藥，各用量成份見表一（單位：克）

?

(1)某醫(yī)院要購買這七種特效藥，但藥廠的第3號藥和第6號藥已經(jīng)賣完，請問能否用其它特效藥配制出這兩種脫銷的藥品？

(2)現(xiàn)在醫(yī)院想用這7種草藥配制三種新的特效藥，表2給出了三種新的特效藥的成份，請問能否配制？如何配制？

1號新藥2號新藥3號新藥A 40 162 88 B 62 141 67 C 14 27 8 D 44 102 51 E 53 60 7 F 50 155 80 G 71 118 38 H 41 68 21 I 14 52 30

解：（1）把每一種特效藥看成一個九維列向量，分析7個列向量構成向量組的線性相關性。

若向量組線性無關，則無法配制脫銷的特效藥；

若向量組線性相關，并且能找到不含 u3,u6的一個最大線性無關組，則可以配制3號和6號藥品。

經(jīng)計算該向量組線性相關，一個最大無關組為u1,u2,u4,u5,u7且u3=u1+2u2，u6=3u2+u4+u5.所以可以配置處這兩種脫銷的藥品。

（2）三種新藥用v1,v2,v3表示，問題化為v1,v2,v3能否由u1—u7線性表示，若能表示，則可配制；否則，不能配制。

經(jīng)計算可得：v1=u1+3u2+2u4，v2=3u1+4u2+2u4+u7，v3則不能被線性表示，所以無法配藥。

3 產(chǎn)品成本的計算

某廠生產(chǎn)三種成品，每件產(chǎn)品的成本及每季度生產(chǎn)件數(shù)已知。試提供該廠每季度在每種產(chǎn)品上的成本表。

解 將M和P相乘，得到的矩陣設為Q，Q的第一行第一列元素為Q(1,1)=0.10×4000+0.30×2000+0.15×5800=1870

不難看出，Q表示了夏季消耗的原材料總成本。

4 人口遷徙模型

設在一個大城市中的總人口是固定的。人口的分布則因居民在市區(qū)和郊區(qū)之間遷徙而變化。每年有6％的市區(qū)居民搬到郊區(qū)去住，而有2％的郊區(qū)居民搬到市區(qū)。假如開始時有30％的居民住在市區(qū)，70％的居民住在郊區(qū)，問10年后市區(qū)和郊區(qū)的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？

解 這個問題可以用矩陣乘法來描述。把人口變量用市區(qū)和郊區(qū)兩個分量表示。

從初始到k年，此關系保持不變，因此上述算式可擴展為

經(jīng)Mablab計算可得：

當無限增加時間k，市區(qū)和郊區(qū)人口之比將趨向一組常數(shù)0.25/0.75。

5 化學方程的配平

試確定x1,x2,x3,x4，配平上面化學方程式。

解 使方程兩邊原子數(shù)相同稱為方程式的配平。則可得到下列方程

寫成矩陣方程為

以上是幾個簡單的能用線性代數(shù)的知識解決的案例，其中比較復雜的計算可用數(shù)學軟件Matlab來解決，隨著計算機的發(fā)展，線性代數(shù)的應用會越來越多，越來越簡單。

【1】線性代數(shù)∕段復建主編.— 北京：科學出版社，2010.

【2】線性代數(shù)的應用 西安理工大學數(shù)學系.

【3】黃玉梅，彭濤.線性代數(shù)中矩陣的應用典型案例 蘭州大學學報（自然科學版）

2014年廣西高等教育教學改革重點項目《數(shù)學軟件在獨立學院數(shù)學類課程中的應用研究與實踐》（項目編號：2014JGZ192）;2015年廣西科技大學鹿山學院轉(zhuǎn)型發(fā)展專項項目《公共數(shù)學課“教、學、評”的研究與實踐》（項目編號：2015ZXZD004）。