王 亮，滕克難，呂衛(wèi)民，金永川

（1.海軍航空工程學(xué)院a.七系;b.訓(xùn)練部，山東 煙臺(tái) 264001；2.中國人民解放軍 91681部隊(duì)，浙江 寧波 315731）

0 引言

灰色系統(tǒng)理論是我國學(xué)者鄧聚龍于20世紀(jì)80年代創(chuàng)立的一種處理“部分信息已知，部分信息未知”的“小樣本，貧信息”不確定系統(tǒng)的理論，其中灰色預(yù)測建模技術(shù)是灰色系統(tǒng)最重要的內(nèi)容之一，也是預(yù)測理論體系中一個(gè)新的研究分支[1]。GM(1,1)模型是灰色預(yù)測技術(shù)的基礎(chǔ)模型，在其發(fā)展過程中得到了深入的研究，并有很多學(xué)者提出了不少改進(jìn)方法，主要包括：殘差修正法[1]、背景值構(gòu)造法[2]、中心逼近法[3]、時(shí)間響應(yīng)函數(shù)法[4]等。雖然這些方法在一定程度上提高了模擬與預(yù)測精度，但始終無法克服GM(1,1)模型利用離散方程進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，而利用連續(xù)時(shí)間響應(yīng)方程進(jìn)行預(yù)測造成的跳躍性誤差。2005年，謝乃明[5]提出了離散灰色預(yù)測模型，將參數(shù)估計(jì)和預(yù)測模型統(tǒng)一為離散形式，有效地避免了由離散序列到連續(xù)方程造成的誤差。之后有學(xué)者對(duì)DGM(1,1)模型進(jìn)行了進(jìn)一步的優(yōu)化與改進(jìn)。姚天祥等[6]針對(duì)經(jīng)典DGM(1,1)模型的不足，研究了離散灰色模型選取不同初始迭代點(diǎn)的模擬數(shù)據(jù)增長率特點(diǎn)，并提出了兩類分段修正離散灰色模型。劉衛(wèi)鋒等[7]通過選取三種不同修正形式初始迭代值，分別建立了三種優(yōu)化離散灰色模型。李偉等[8]針對(duì)傳統(tǒng)DGM(1,1)模型建模過程中假定原始數(shù)據(jù)序列服從近似指數(shù)增長規(guī)律，且以數(shù)據(jù)序列的第1個(gè)數(shù)據(jù)保持不變得出預(yù)測結(jié)果的缺陷，利用組合函數(shù)“對(duì)數(shù)—冪函數(shù)”對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，使其符合灰色預(yù)測模型的建模規(guī)律，并引入遺傳算法尋求離散灰色模型初始迭代值的最優(yōu)解。但實(shí)際上傳統(tǒng)的GM(1,1)與DGM(1,1)模型在工程應(yīng)用中仍存在一些共同的缺陷與弊端。

本文分析了GM(1,1)及DGM(1,1)模型對(duì)數(shù)據(jù)要求上的限制，指出對(duì)于非定值增長的數(shù)據(jù)序列，GM(1,1)與DGM(1,1)模型的模擬及預(yù)測效果并不理想?？紤]到系統(tǒng)行為發(fā)展的復(fù)雜時(shí)變性，為提高對(duì)各類型趨勢(shì)數(shù)據(jù)的預(yù)測能力，引入非線性時(shí)間項(xiàng)，構(gòu)造了一種拓展的非線性時(shí)變參數(shù)離散灰色模型（NTDGM(1,1)模型），利用粒子群算法（PSO）優(yōu)化得到模型中各參數(shù)，并說明應(yīng)用該模型進(jìn)行建模和預(yù)測的步驟。最后通過實(shí)例比較該模型與其他模型的模擬及預(yù)測精度，結(jié)果顯示本文模型對(duì)各類型趨勢(shì)的數(shù)據(jù)模擬及預(yù)測均具有更高的精度。

1 GM(1,1)與DGM(1,1)模型的不足

由上式可知GM(1,1)模型的模擬數(shù)據(jù)是一個(gè)等比序列，數(shù)據(jù)序列的增長率為一個(gè)定值，而且由于在時(shí)間響應(yīng)序列中假定了x(1)(1)=x(0)(1)，在應(yīng)用中也會(huì)導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果精確度不高。同時(shí)，由于樣本數(shù)據(jù)初始值的改變不影響模型的發(fā)展系數(shù)和模擬值，因此，這也從某種程度上反映了初始值信息的損失。

GM(1,1)模型的離散形式，即離散灰色模型（Discrete grey model,DGM(1,1)）為

由上式可知，與GM(1,1)模型相同，利用DGM(1,1)模型計(jì)算的模擬序列增長率也是一個(gè)定值。而且與GM(1,1)模型一樣，DGM(1,1)模型也假設(shè)x(1)(1)=x(0)(1)，這將導(dǎo)致初始值信息的丟失。

通過以上分析可知，無論是GM(1,1)還是DGM(1,1)模型的模擬值和預(yù)測值始終保持固定的增長率，因此這兩個(gè)模型對(duì)近似指數(shù)規(guī)律的數(shù)據(jù)序列具有較好的模擬和預(yù)測效果。但在實(shí)際工程應(yīng)用中，數(shù)據(jù)序列往往并不具備指數(shù)規(guī)律，兩種模型的計(jì)算誤差均較大。

2 拓展的非線性時(shí)變離散灰色預(yù)測模型

進(jìn)一步分析DGM(1,1)模型可以看出，該模型中參數(shù)β是固定值，即表明DGM(1,1)模型適用于線性時(shí)不變系統(tǒng)的分析建模。但是在工程技術(shù)領(lǐng)域中，系統(tǒng)行為序列自身及不同行為序列間的相互作用導(dǎo)致系統(tǒng)輸出序列呈現(xiàn)出復(fù)雜的非線性，而且系統(tǒng)隨著時(shí)間的推移，其參數(shù)及結(jié)構(gòu)也不斷發(fā)生演化，因此利用恒定參數(shù)對(duì)現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)行為進(jìn)行模擬和預(yù)測是不合理、不科學(xué)的。為克服這種不足，本文將非線性時(shí)變參數(shù)引入，代替?zhèn)鹘y(tǒng)DGM(1,1)模型中的恒定參數(shù)，構(gòu)造一種拓展的非線性時(shí)變參數(shù)灰色離散預(yù)測模型。

為拓展的非線性時(shí)變參數(shù)灰色離散預(yù)測模型（NT-DGM(1,1)）。

該模型主要由三部分構(gòu)成：第一部分稱作趨勢(shì)項(xiàng)，為(β1+β2sin(β3k+β4))x(1)(k)，引入非線性時(shí)變正弦函數(shù)，通過4個(gè)參數(shù)的變化實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)行為總體趨勢(shì)的模擬及預(yù)測；第二部分稱作新信息項(xiàng)，為β5x(0)(k)，主要表現(xiàn)了最新信息對(duì)系統(tǒng)行為的影響；第三部分稱作調(diào)整項(xiàng)，為β6k2+β7k+β8，對(duì)模型的模擬精確度進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)整。同時(shí)，令 x(1)(1)=x(0)(1)+ε，利用參數(shù)ε修正x(1)(1)，以解決初始值信息丟失的問題。

3 基于粒子群算法的建模流程

鑒于模型的復(fù)雜性，本文利用粒子群算法計(jì)算模型的各個(gè)參數(shù)。

粒子群算法[9.10]（PSO）最早是由Eberhart和Kennedy于1995年提出，它的基本概念源于對(duì)鳥群覓食行為的研究。設(shè)想這樣一個(gè)場景：一群鳥在隨機(jī)搜尋食物，在這個(gè)區(qū)域里只有一塊食物，所有的鳥都不知道食物在哪里，但是它們知道當(dāng)前的位置離食物還有多遠(yuǎn)。那么找到食物的最優(yōu)策略是什么呢？最簡單有效的就是搜尋目前離食物最近的鳥的周圍區(qū)域。

PSO從這種模型中得到啟示并用于解決優(yōu)化問題。PSO中，每個(gè)優(yōu)化問題的解都是搜索空間中的一只鳥。我們稱之為“粒子”。所有的粒子都有一個(gè)由被優(yōu)化的函數(shù)決定的適應(yīng)值（fitness value），每個(gè)粒子還有一個(gè)速度決定他們飛翔的方向和距離,然后粒子們就追隨當(dāng)前的最優(yōu)粒子在解空間中搜索。

PSO初始化為一群隨機(jī)粒子（隨機(jī)解）。然后通過迭代找到最優(yōu)解。在每一次迭代中，粒子通過跟蹤兩個(gè)“極值”來更新自己。第一個(gè)就是粒子本身所找到的最優(yōu)解，這個(gè)解叫做個(gè)體極值pBest。另一個(gè)極值是整個(gè)種群目前找到的最優(yōu)解，這個(gè)極值是全局極值gBest。另外也可以不用整個(gè)種群而只是用其中一部分作為粒子的鄰居，那么在所有鄰居中的極值就是局部極值。其數(shù)學(xué)描述如下：

設(shè)搜索空間為D維，總粒子數(shù)為n。第i個(gè)粒子位置表示為向量Xi=(xi1，xi2，…，xiD)，第 i個(gè)粒子迄今為止搜索到的最優(yōu)位置為Pi=(pi1，pi2，…，piD)，整個(gè)粒子群迄今為止搜索到的最優(yōu)位置為 Pg=(pg1，pg2，…，pgD)，第i個(gè)粒子位置的變化率（速度）為向量Vi=(vi1，vi2，…，viD)。每個(gè)粒子的位置按如下公式進(jìn)行變化：

其中，c1，c2為正常數(shù)，稱為加速常數(shù)；rand()為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)；ω為慣性權(quán)重。公式由三部分組成，第一部分是粒子先前的速度，說明了粒子目前的狀態(tài)；第二部分是認(rèn)知部分，表示粒子本身的思考；第三部分為社會(huì)部分。三個(gè)部分共同決定了粒子的空間搜索能力。第一部分起到了平衡全局和局部搜索的能力；第二部分使粒子有了足夠強(qiáng)的全局搜索能力，避免局部極小；第三部分體現(xiàn)了粒子間的信息共享。在這三部分的共同作用下粒子才能有效地達(dá)到最好位置。

利用PSO計(jì)算NTDGM(1,1)模型中各個(gè)參數(shù)，以模擬值與原始值的總絕對(duì)百分誤差為適應(yīng)度函數(shù)：

綜上所述，基于粒子群算法的非線性時(shí)變參數(shù)離散灰色預(yù)測模型的建模及求解過程可分為如下步驟：

（1）以(11)式作為適應(yīng)度函數(shù)，利用PSO算法求解NTDGM(1,1)模型中各個(gè)參數(shù)，算法終止條件設(shè)置為最大迭代次數(shù)。

（2）將各個(gè)參數(shù)帶入(9)式，計(jì)算 x?(1)(k)的數(shù)值解，k=1，2，…，n。

（3）利用累減還原算子計(jì)算 x?(0)(k)，k=2，3，…，n 。

4 算例分析

算例1：文獻(xiàn)[11]研究提出了一種拓展的DGM(1,1)模型，但是并未考慮系統(tǒng)行為發(fā)展的非線性特點(diǎn)，利用其算例對(duì)比分析兩種模型的模擬效果，NTDGM(1,1)1模型中各參數(shù)利用粒子群算法得到，令加速常數(shù)c1=c2=2，慣性權(quán)重ω設(shè)定為0.8，粒子數(shù)設(shè)定為60，迭代次數(shù)為600，并循環(huán)200次，得到各模型結(jié)果如下表所示。圖1表示利用粒子群算法使適應(yīng)度函數(shù)最小時(shí)，適應(yīng)度函數(shù)值（總絕對(duì)百分誤差）的收斂情況。

表1 與文獻(xiàn)[11]對(duì)比各模型模擬預(yù)測值及平均絕對(duì)百分誤差（%,MAPE）

圖1 適應(yīng)度函數(shù)收斂情況

由表1可以看出，相對(duì)傳統(tǒng)GM(1,1)模型和文獻(xiàn)[11]提出的模型，本文提出的NTDGM(1,1)模型對(duì)13個(gè)數(shù)據(jù)的模擬預(yù)測值的平均絕對(duì)值相對(duì)誤差僅為2.283%，大幅提高了精度。另外從圖1中可以看出，大約在迭代360次左右時(shí)，適應(yīng)度函數(shù)值（總絕對(duì)百分誤差）逐漸收斂為0.2967（29.67%）。

算例2：文獻(xiàn)[12]研究提出了一些特殊序列的改進(jìn)的DGM(1,1)模型，并給出了幾種模型的比較，本文以該文獻(xiàn)所給出的算例進(jìn)行驗(yàn)證。

利用粒子群算法計(jì)算本文所提出模型的參數(shù)，令加速常數(shù)c1=c2=2，由于數(shù)據(jù)趨勢(shì)各不相同，為得到更精確地預(yù)測模型，本文將粒子數(shù)設(shè)定為100，迭代次數(shù)為600，并循環(huán)500次，慣性權(quán)重ω從0.4到1.2分別進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，得到各類型數(shù)據(jù)序列的模擬結(jié)果如表2所示。

由表2可以看出，相對(duì)于傳統(tǒng)的DGM(1,1)模型以及文獻(xiàn)[12]提出的DDGM(1,1)和IDGM(1,1)模型，本文提出的拓展非線性時(shí)變參數(shù)灰色離散預(yù)測模型的模擬精度極高，對(duì)各種類型趨勢(shì)的數(shù)據(jù)均具有極好的模擬能力。對(duì)比算例1還以可看出，對(duì)于只有幾個(gè)數(shù)據(jù)（算例2中每類數(shù)據(jù)序列只有5個(gè)數(shù)據(jù)）的序列進(jìn)行模擬預(yù)測時(shí)，NTDGM(1,1)模型基本可以完全一致的模擬預(yù)測出原始數(shù)據(jù)序列。

5 結(jié)論

本文分析了傳統(tǒng)的GM(1,1)及DGM(1,1)模型的模擬數(shù)據(jù)的增長率是一個(gè)定值，指出對(duì)非近似指數(shù)增長的數(shù)據(jù)序列，GM(1,1)與DGM(1,1)的模擬機(jī)預(yù)測效果較差。為解決實(shí)際工程中系統(tǒng)行隨時(shí)間變化的復(fù)雜性，針對(duì)離散灰色模型參數(shù)恒定的缺陷，通過引入非線性時(shí)變項(xiàng)，并加入新信息構(gòu)造了非線性時(shí)變參數(shù)離散灰色預(yù)測模型，鑒于模型的復(fù)雜性提出利用PSO算法求解模型參數(shù)，通過2個(gè)算例的對(duì)比分析可以看出NTDGM(1,1)模型很大程度上提高了模擬精度，特別是對(duì)“貧信息，少數(shù)據(jù)”的系統(tǒng)，幾乎可以完全模擬各種類型趨勢(shì)的數(shù)據(jù)序列。

表2 與文獻(xiàn)[12]對(duì)比各模型模擬預(yù)測值及平均絕對(duì)百分誤差（%,MAPE）

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