王 婧

(伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆伊寧835000)

近年來，由異質(zhì)交易者關(guān)系引起的金融市場(chǎng)價(jià)格動(dòng)態(tài)模型文獻(xiàn)得到了較好的發(fā)展，如Hommes[1]等.一方面，這些文獻(xiàn)說明異質(zhì)交易者如何相互影響，并產(chǎn)生偏離基準(zhǔn)價(jià)格的持續(xù)價(jià)格偏差;另一方面，模型能夠說明經(jīng)典的收益時(shí)間序列及分布的特征，這些特征的出現(xiàn)與非線性因素密切相關(guān).其中，基本面分析者－技術(shù)分析者關(guān)系模型扮演特定的角色，能夠捕捉基本的價(jià)格波動(dòng)機(jī)制.從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看，在強(qiáng)趨勢(shì)推斷下阻止價(jià)格發(fā)散是一些非線性調(diào)整機(jī)制.Day and Huang[2]分析指出，非線性因素與基本面分析者關(guān)于資本損益的已知機(jī)會(huì)相關(guān).由Brock and Hommers[3]提出的相關(guān)模型，之后由Chiarella and He[4－5]作了更進(jìn)一步的研究，即代理商依據(jù)基于已知收益的非線性機(jī)制在消費(fèi)理性與不理性預(yù)計(jì)法則之間轉(zhuǎn)變.遵循同樣的觀點(diǎn)，本文根據(jù)Chiarella et al.[6]研究提出，基本面分析者由于具有穩(wěn)定市場(chǎng)的力量，隨著價(jià)格偏差變大也最終會(huì)帶動(dòng)價(jià)格回饋到基準(zhǔn)價(jià)格.

我們考慮具有兩種異質(zhì)交易者的金融動(dòng)態(tài)模型，即基本面分析者與技術(shù)分析者.技術(shù)分析者采用GDP過程形成期望，而非簡(jiǎn)單的AR(1)過程，因?yàn)锳R(1)過程在實(shí)證分析當(dāng)中缺乏收益的自相關(guān)性.Chiarella et al.[7]研究中的技術(shù)分析者采用GDP過程，并引入噪聲交易者，用S＆P數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，得到了很好的金融市場(chǎng)典型的程式化事實(shí):尖峰厚尾以及波動(dòng)聚集性，而基本面交易者被假定是通過良好的經(jīng)濟(jì)環(huán)境來形成期望，然而預(yù)測(cè)的自信度是狀態(tài)相依的，價(jià)格偏離基準(zhǔn)價(jià)格較大，其更傾向于回饋到基準(zhǔn)價(jià)格，同時(shí)，我們考慮市場(chǎng)分?jǐn)?shù)的變化，Dieci et al.[8]采用時(shí)變的市場(chǎng)分?jǐn)?shù)，考慮了市場(chǎng)情緒與發(fā)展適應(yīng)性.這是對(duì)He[9](考慮了市場(chǎng)分?jǐn)?shù)的情形，即MF模型，被用來解釋金融市場(chǎng)行為的各個(gè)方面，并建立隨機(jī)模型和其潛在的確定性系統(tǒng)之間的聯(lián)系)的發(fā)展延伸.

1 建立模型

根據(jù) Chiarella et al.[6]的模型

這里假定有兩類投資者，即基本面分析者和技術(shù)分析者，分別用類型1和類型2表示.但我們引入時(shí)變的市場(chǎng)分?jǐn)?shù)，根據(jù)Dieci et al.[10]分別令q1，t，q2，t為投資者的市場(chǎng)分?jǐn)?shù).假定市場(chǎng)分?jǐn)?shù)為固定部分和時(shí)變部分.在t 時(shí)的市場(chǎng)分?jǐn)?shù)(q1，t，q2，t)表達(dá)為

其中，n1和n2=1－n1表示基本面分析者和技術(shù)分析者在時(shí)間t的“不改變”投資者的比例.n1，t和n2，t表示時(shí)間 t的時(shí)變投資者比例.令 n0=n1+n2，m0=(n1－n2)/n0，mt=n1，t－n2，t.

那么市場(chǎng)分?jǐn)?shù)又可重新寫為

1.1 異質(zhì)期望

下面分析其本面分析者和技術(shù)分析者是如何采用不同的機(jī)制形成未來價(jià)格的預(yù)期.這里基本面分析者采用相同的價(jià)格預(yù)期.對(duì)于技術(shù)分析者來說，技術(shù)分析者一方面考慮過去的價(jià)格及價(jià)格的改變，另一方面他們用移動(dòng)平均法則，通過比較短期移動(dòng)平均和長(zhǎng)期移動(dòng)平均形成期望，對(duì)移動(dòng)平均過程加入一個(gè)套利滯后長(zhǎng)度，所以使用幾何衰減過程(GDP).這樣技術(shù)分析者的期望可以寫為

其中，τt為幾何衰減函數(shù)，ω∈[0，1]為記憶衰減率.ω越大，過去的價(jià)格對(duì)目前的趨勢(shì)影響越大.d代表推斷強(qiáng)度.如果d≥0則稱技術(shù)分析者為追風(fēng)者，若d＜0則稱其為逆風(fēng)者.

1.2 動(dòng)力系統(tǒng)

利用以上分析，基本面分析者和技術(shù)分析者的需求函數(shù)可以寫為

其中，πh，t+1為兩類投資者從 t到 t+1 時(shí)期的已知收益，πh，t+1=zh，t(pt+1+yt+1－Rpt)，h=1，2.

遵循Brock and Hommes[3][11]的方法，假定時(shí)變投資者的比例由離散選擇模型決定，有

其中，Ch≥0是策略的固定成本，而參數(shù)β是選擇強(qiáng)度用來測(cè)度適應(yīng)性理性交易者的比例對(duì)最優(yōu)策略的敏感度.記 mt+1=n1，t+1－n2，t+1，那么此時(shí)價(jià)格制定為

這里令 A1=1/(a1[+])，A2=1/(a2[+]).

以下的動(dòng)力學(xué)分析是通過假定σε=0來做的，得到了所謂的確定性動(dòng)力系統(tǒng)模型.

2 映射及其特性

3維確定性動(dòng)力系統(tǒng)由3維映射 T:(p，τ，m)→(p'，τ'，m')給出:

現(xiàn)在，簡(jiǎn)要地討論一下平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性、穩(wěn)定性區(qū)域及分支情況.概括為如下定理.

定理2 (i)若ω =0，當(dāng)0＜μ＜μ*時(shí)，基本平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，這里=[n0(1+m0)+(1－n0)(1+]/2=[n0(1－m0)+(1－n0)(1－]/2.另外，在μ = μ*處產(chǎn)生Flip分支.(ii)若0＜ω＜1，由參數(shù)(d，μ)確定的區(qū)域Ω為平衡狀態(tài)的局部漸近穩(wěn)定區(qū)域，Ω =ΩF∪ΩN，這里 ΩF={(d，μ):d≤d0，0＜μ＜μF(d)}，ΩN={(d，μ):d ＞ d0，0＜μ＜μN(yùn)(d)}，且當(dāng)d≤d0時(shí)，在 μ=μF(d)的邊界上產(chǎn)生Flip分支，當(dāng)d＞d0時(shí)，在μ=μN(yùn)(d)的邊界上產(chǎn)生Hopf分支.其中

證明在平衡點(diǎn)處的特征方程為λΓ(λ)=λ[λ2－(A+ω+(1－w)B)λ+Aω]=0.其中A=知0是特征根，其它兩個(gè)特征根滿足Γ(λ)=λ2－(A+ω+(1－ω)B)λ +Aω =0.

當(dāng)ω =0時(shí)，Γ(λ)=λ[λ－(A+B)]，基本平衡點(diǎn)穩(wěn)定只需滿足－1＜λ =A+B ＜1，即0＜μ ＜，且當(dāng)λ =A+B=－1時(shí)，即μ=μ*時(shí)產(chǎn)生Flip分支.

當(dāng)0＜ω＜1時(shí)，由Jury判據(jù)知，特征根在單位圓內(nèi)，即基本平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，需滿足以下條件:(i)Γ(1)＞ 0;(ii)Γ(－1)＞ 0;(iii)ωA＜1.

上述式子成立需1－μA1＞0，則(i)Γ(1)＞0恒成立;(ii)Γ(－1)＞0等價(jià)于d≥d1或d＜d1，0＜μ＜ μF(d)，其中(iii)ωA ＜1等價(jià)于d≤d2或d＞d2，0 ＜μ ＜μN(yùn)(d)，其中

當(dāng)μF(d)= μN(yùn)(d)時(shí)解得d0，有d2＜d0＜ d1，而

因此，穩(wěn)定性條件就降為:當(dāng)d≤d0時(shí)，0＜μ＜μF(d);當(dāng)d＞d0時(shí)，0＜μ＜μN(yùn)(d).

另外，當(dāng)μ = μF(d)時(shí)，Γ(λ)=0的兩個(gè)特征根滿足λ1=－1以及λ2∈(－1，1);當(dāng)μ = μN(yùn)(d)時(shí)滿足|λ1，2|＜1.因此當(dāng)d≤d0時(shí)，在μ=μF(d)邊界上發(fā)生Flip分支;當(dāng)d＞d0時(shí)，在μ=μN(yùn)(d)邊界上發(fā)生Hopf分支.

圖1 (d，μ)平面上穩(wěn)定區(qū)域示意圖

圖1畫出了(d，μ)平面上的穩(wěn)定區(qū)域，從分支邊界表達(dá)式易得出不同的參數(shù)對(duì)穩(wěn)定區(qū)域的影響.即參數(shù)在一定范圍時(shí)，增大，β，a1，a2，減小 m0，n0，ω，C，可以使穩(wěn)定區(qū)域增大，反之亦然.

3 結(jié)語

本文研究了在簡(jiǎn)單的做市商定價(jià)機(jī)制下含兩類異質(zhì)期望投資者，即基本面分析者與技術(shù)分析者，并加入了時(shí)變的市場(chǎng)分?jǐn)?shù)的三維離散時(shí)間資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)力學(xué)模型.所不同的特點(diǎn)是假定基本面交易者擁有經(jīng)濟(jì)環(huán)境的良好信息(包括技術(shù)分析者的信念)，并以此形成將來價(jià)格的期望，而且當(dāng)價(jià)格偏離基準(zhǔn)價(jià)格變大時(shí)，他們會(huì)置更過的權(quán)重于均值回饋到基準(zhǔn)價(jià)格.這個(gè)機(jī)制能夠保證當(dāng)基本平衡點(diǎn)局部不穩(wěn)定時(shí)模型的全局穩(wěn)定性，以此避免價(jià)格的發(fā)散.并在討論確定性系統(tǒng)時(shí)，得到了相應(yīng)的分支邊界以及不同參數(shù)對(duì)穩(wěn)定區(qū)域的影響.

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